改進的結構振動傳遞矩陣法

萬浩川，李以農，鄭 玲

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044;2.樂山職業技術學院，四川 樂山 614000)

傳遞矩陣法自上世紀20年代提出，于60～70年代在結構振動中廣泛應用［1］。傳遞矩陣法最初用于薄殼結構的自由振動分析，但精度較低。向宇［2］運用微分方程與矩陣分析理論，將傳遞矩陣表示成封閉形式，直接得出傳遞矩陣的精確形式，大大提高了傳遞矩陣法的計算精度。因此傳遞矩陣法被廣泛應用于鋼橋結構分析［3］、轉子系統振動分析［4］、軸系扭振［5－7］、旋轉殼振動［8］等領域。

若將結構控制微分方程寫成一階微分方程組的形式，則起點與終點的狀態向量間即可用傳遞矩陣建立簡單關系，利用邊界條件可得問題答案。因此，傳遞矩陣法計算精度主要取決于狀態向量的選取與矩陣方程的積分。動力方程積分方法研究較多，如精細時程積分法［9－12］、龍格庫塔法［13－14］、齊次擴容積分法［15］。隨著計算機技術的發展，積分計算精度不斷提高，已基本能滿足要求。而隨著傳遞矩陣法在多自由度系統中的應用，狀態向量一階方程的推導卻越加困難。因為之前研究基本根據邊界條件確定狀態向量，而狀態向量并不能從振動方程中直接獲得，造成狀態向量一階微分方程推導過程非常復雜，不僅工作量增加，且常有錯誤出現。

本文以圓柱殼與約束阻尼圓柱殼振動為例，對傳遞矩陣法進行改進，直接由振動方程選擇狀態向量，可減輕推導狀態向量一階導數的工作量。在狀態向量與邊界條件之間引入關聯矩陣，并代入傳遞矩陣求解，在減少出錯的同時可獲得與原方法相同計算精度。

1 圓柱殼振動的改進傳遞矩陣法

1.1 圓柱殼振動方程

如圖1所示，圓柱殼長L，半徑R，厚度H。取圓柱殼體母線與緯線方向為正交曲線坐標系主方向。中面上一點坐標用(s，θ)表示，s為頂點至該點母線長度，θ定義同一般旋轉殼。Ρ為材料密度、E為彈性模量，μ為泊松比。

圖1 圓柱殼示意圖Fig.1 A cylindrical shell

若殼體中曲面上一點的軸向、切向、法向位移分別為 u、v、w，則據克希霍夫假定［16］，圓柱殼振動方程為:

對軸向半波數為m、周向波數為n的振動模態，ωmn為固有頻率，則式(1)的解可寫為:

式中:U(s)，V(s)，W(s)分別為軸向位置s的函數。將式(2)代入式(1)，并化簡得:

1.2 傳遞矩陣

圓柱殼邊界條件為:

文獻［8，16］均將邊界條件向量 ζ={U，V，W，φ，N，F，S，M}設為狀態向量，雖解方程容易，但狀態向量的一階微分計算較復雜，且易出錯。本文選ξ=為狀態向量，其一階微分可直接由式(3)獲得:八階矩陣C中的非零元素為:

由式(4)可得ζ=Dξ，八階矩陣D中非零元素為:

稱D為狀態向量與邊界條件之間的關聯矩陣。有:ζ(s)=Dξ(s)=DeCsξ(0)=DeCsD－1Dξ(0)=DeCsD－1ζ(0)令:T=DeCsD－1，有:ζ(s)=Tζ(0)，其中 T 為傳遞矩陣。通過引入關聯矩陣D，使其求解更簡單。

1.3 方程求解

以兩端簡支邊界為例:

ζ(L)=［U(L)，0，0，φ(L)，0，F(L)，Ss(L)，0］ζ(0)=［U(0)，0，0，φ(0)，0，F(0)，S(0)，0］

有:

令:

式(5)有非零解條件為T'=0。而T'為頻率函數。由此可得各階模態固有頻率值。對不同的邊界約束，可得不同的T'，但均T'=0。

表1 兩端簡支鼓筒固有頻率計算結果(m=0)Tab.1 Natural frequency shell by different methods

1.4 算例

為驗證計算方法與計算程序的正確性，對具有解析解的兩端簡支柱殼進行計算。圓柱殼尺寸與材料參數為(單位均為國際標準單位):L=0.06，R=0.142 7，H=0.002 4，E=2.1E+11，μ =0.3，ρ=7 850 。

兩端簡支、n取不同值時采用解析法與傳遞矩陣法所得固有頻率f(Hz)見表1。

由表1看出，本文改進的傳遞矩陣法因原理完全一致，計算精度未受任何影響。

2 約束阻尼圓柱殼振動的改進傳遞矩陣法

2.1 約束阻尼圓柱殼振動方程

將克希霍夫假定引入約束阻尼圓柱殼，并忽略粘彈層拉伸變形，可得約束阻尼圓柱殼振動方程為［17］:

式(6)各變量定義同前，下標1、2、3分別代表基層、粘彈層、約束層。其它變量見文獻［17］。其解的形式為:

2.2 傳遞矩陣

將式(7)代入式(6)，得:

邊界條件為:

十二階矩陣C中非零元素為:

十二階矩陣D中的非零元素為:

由運算可較易獲得傳遞矩陣T。

2.3 方程求解

與圓柱殼求解相同，據邊界條件選擇傳遞矩陣子矩陣T’，并令其行列式為零，即可求解。

2.4 算例

取約束阻尼圓柱殼基層［17］為:半徑 R1=0.3 m，長L=0.1 m，hl=0.003 m，h2=0.001 m，h3=0.002 m，El=E3=70 GPa，ρl= ρ3=2 700 kg/m3，μl= μ3=0.3，G2*=0.896(1+0.968 3i)MPa，ρ2=999 kg/m3，邊界條件為兩端固支:

本文解與文獻［17］解的對比見表2。由表2看出本文方法計算結果非常精確。

表2 約束阻尼殼動力學特性計算結果對比Tab.2 Dynamic results of constrained damping shell

3 結論

(1)通過對狀態向量選取進行改進，可簡化一階導數求解。通過關聯矩陣將狀態向量與邊界條件相聯系，可使傳遞矩陣計算更簡單，從而簡化方程的求解過程。

(2)本文方法通過算例證明其正確性。尤其求解方程較復雜的多自由度振動系統優點更明顯。對傳遞矩陣法應用于更多領域具較好的推廣作用。

［1］朱靜清.結構振動計算中傳遞矩陣法的應用問題［J］.地震工程與工程振動，1984，4(1):36 －44.ZHU Jing-qing.Application problems of the transfer matrix method in calculating the vibration of structures［J］.Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1984，4(1):36－44.

［2］向 宇.分析結構自由振動的傳遞矩陣精確形式［J］.振動與沖擊，1999，18(2):69 －74.XIANG Yu.The exact form of transfer matrix for analysis of free vibration of structures［J］.Journal of Vibration and Shock，1999，18(2):69－74.

［3］張 杰.傳遞矩陣法在鋼橋結構分析中的應用研究［D］.南京:河海大學，2005.

［4］剛憲約.多轉子系統振動分析的整體傳遞矩陣法研究［D］.大連:大連理工大學，2002.

［5］陳奎孚，彭洪濤，焦群英.復雜傳動軸系扭振的遞歸傳遞矩陣法［J］.農業工程學報，1999，15(2):42 －45.CHEN Kui-fu， PENG Hong-tao， JIAO Qun-ying. The recursive transfer matrix method to calculate the torsional vibration of complex transmission system［J］.Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering， 1999，15(2):42－45.

［6］孟 杰，陳小安.電主軸動力學分析的傳遞矩陣法［J］.機械設計，2008，25(7):37 －40.MENG Jie，CHEN Xiao-an.Transference matrix method for dynamics of motorized spindle［J］.Journal of Machine Design，2008，25(7):37 －40.

［7］馮棟梁，魏來生.傳遞矩陣法在動力傳動系統扭振分析中的應用［J］.車輛與動力技術，2010(1):41－45.FENG Dong-liang，WEI Lai-sheng.Application of transfer matrix method in vehicle power train’s torsional vibration analysis［J］.Vehicle ＆ Power Technology，2010(1):41－45.

［8］蘇海東，黃玉盈.分析旋轉薄殼的傳遞矩陣法［J］.工程力學，2008，25(9):1 －6.SU Hai-dong，HUANG Yu-ying.A transfer matrix method for analyzing revolutionary shells［J］.Engineering Mechanics，2008，25(9):1 －6.

［9］鐘萬勰.結構動力方程的精細時程積分法［J］.大連理工大學學報，1994，34(2):131 －136.ZHONG Wan-xie.On precise time-integration method for structural dynamics［J］.Journal of Dalian University of Technology，1994，34(2):131 －136.

［10］張洪武.關于動力分析精細積分算法精度的討論［J］.力學學報，2001，33(6):847 －852.ZHANG Hong-wu.Discussion on the accuracy of precise integration method in dynamic analysis［J］.Acta Mechanic Sinica，2001，33(6):847 －852.

［11］王 忠，王雅琳，王 芳.任意激勵下結構動力響應的狀態方程精細積分［J］.計算力學學報，2002，19(4):419－422.WANG Zhong，WANG Ya-lin，WANG Fang.A high precise integration scheme for structural dynamics analysis under arbitrary excitation［J］.Journal of Computational Mechanics，2002，19(4):419－422.

［12］李青寧，李曉雷，閻艷偉.結構動力方程精細時程積分法的幾種改進［J］.西安建筑科技大學學報，2009，41(1):6－10.LI Qing-ning，LI Xiao-lei，YAN Yan-wei.Improvement on the structural dynamic equation precise time-integration［J］.Journal of Xi’an University of Architecture and Technology，2009，41(1):6 －10.

［13］Zhang S Y，Deng Z C，Li W C.A precise Rutta-Kutta integration and its application for solving nonlinear dynamical systems［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，184:496－502.

［14］富明慧，梁華力.一種改進的精細－龍格庫塔法［J］.中山大學學報(自然科學版)，2009，48(5):1 －5.FU Ming-hui，LIANG Hua-li.A improved precise rungekutta integration［J］Acta Scientiarum Naturalum Universities Sunyatseni，2009，48(5):1 － 5.

［15］Xiang Y，Huang Y Y.A semi-analytical and semi-numerical method for solving 2－D sound-structure interaction problems［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2003，16(2):1l6 －126.

［16］晏礪堂.結構系統動力特性分析［M］.北京:北京航空航天大學出版社，1989.

［17］李恩奇，李道奎，唐國金，等.約束阻尼圓柱殼動力學分析［J］.工程力學，2008，25(5):6 －11.LI En-qi， LI Dao-kui， TANG Guo-jin， et al. Dynamic analysis of constrained layer damping cylindrical shell［J］.2008，25(5):6 －11.