干摩擦振子雙粘著運動響應的級數形式解及粘滑邊界分析

錢大帥，劉占生，劉鎮星，葉建槐

(哈爾濱工業大學 動力機械振動與噪聲控制技術研究所，哈爾濱 150001)

干摩擦振動系統重要特性之一是當激勵與結構參數滿足一定條件時，系統響應出現“粘滑”現象。粘著發生時，摩擦單元無相對運動，干摩擦系統耗能減振特性會因此受影響。另外，摩擦副之間粘著可能會加劇某些運動結構中的有害摩擦。因此，研究粘滑運動對預防及利用干摩擦效應具有重要意義。

但干摩擦定律的間斷特性限制了各常規分析方法在干摩擦系統研究中的應用，為粘滑特性仿真與解析研究帶來了困難。目前對干摩擦系統響應的解析求解多采用等效粘性阻尼方法、光滑函數法或分段拼接法［1］，而分段與拼接方法應用最普遍。Hong 等［2］通過對無粘著運動響應進行分段解析與拼接分析，獲得響應表達式，并給出避免粘著所需最小簡諧力幅值。郭樹起等［3-4］在文獻［2］基礎上，通過分段解析方法，采用弱化的假設條件，給出不同粘性阻尼條件下純滑動運動的統一解析表達式及粘著發生的參數邊界。文獻［5］采用分段分析方法，獲得簡諧激勵下無粘性阻尼干摩擦振子的粘滑運動解析解，認為干摩擦振子運動為含有“滑動-粘著”轉換的兩階段運動，并給出形式簡單的“滑動-滑動”條件，繪制出在參數平面內無粘性阻尼干摩擦振子粘著次數分布圖。Liu等［6-7］對粘滑運動進行分段處理，認為采用依賴速度的干摩擦模型系統中存在發生粘著運動的臨界傳動速度。Duan等［8］采用光滑化方法，結合分段處理手段，研究純滑至粘滑狀態的邊界預測問題，發展了基于扭矩假設和速度輪廓的解析方法。楊紹普等［9］通過分段求解，給出激勵頻率為固有頻率的三分之一時，無粘性阻尼干摩擦振子雙stop粘滑運動的精確解，對響應特性及粘著條件進行了分析。

等效粘性阻尼法與光滑化方法是近似逼近方法，不能給出精確解;分段拼接法思路簡單，可給出精確解，但求解過程繁瑣，解的形式較復雜，且解析解非全局普遍解，因而限制其應用及推廣。故需對粘滑運動特性進行分析，給出形式簡單、能對粘著及滑動狀態進行統一描述的粘滑運動解析解。本文利用諧波平衡方法對單自由度干摩擦系統粘滑運動中最常見的雙粘著粘滑運動進行分析，尋求雙粘著運動響應的級數解析形式，分析雙粘著粘滑運動特性，研究參數對雙粘著運動影響，討論粘著條件及粘滑邊界。

1 干摩擦振子雙粘著運動

在簡諧激勵作用下，含粘性阻尼的單自由度干摩擦振動系統動力學方程為:

其中:F0，ω分別為簡諧激勵力幅值、角頻率，φ為位移響應落后于簡諧激勵力的相位角。Ff為摩擦力，遵守集值庫侖定律:

式中:μ為動摩擦系數，N為正壓力。取最大靜摩擦力值Fs等于滑動摩擦力幅值，即:

式(1)的干摩擦振動系統會出現雙粘著粘滑運動。雙粘著運動響應曲線示意圖見圖1。由動力學方程及響應曲線知:

(1)雙粘著運動響應具有周期性，其周期T即簡諧激勵周期;

(2)雙粘著運動響應具有對稱性，即:

(3)在一個時間周期內，系統穩態響應可劃分為“滑動(ta至tb)-粘著(tb至tc)-反向滑動(tc至td)-粘著(td至te)”四個階段。粘著階段，系統位移保持不變，靜摩擦力大小由受力平衡決定。

圖1 雙粘著運動的響應和摩擦力曲線Fig.1 Response and frictional force curves of double-stick motion

2 雙粘著運動級數形式解析解

2.1 摩擦力函數級數形式

摩擦力函數式(5)可展開為傅里葉級數形式:

其中:a0，an，bn為傅里葉級數系數。

定義半周期內滑動階段對應的幅角長度為:

則:

式(8)表示半周期內粘著階段對應的幅角長度。

積分得各項系數a0，an，bn為:

n=1時:

所得各諧波項級數表達式中只含奇次諧波項，與數值仿真頻譜分析結果一致。因此摩擦力函數可表達為:

2.2 諧波平衡過程

令:

利用式(14)、(15)，將動力學方程改寫為:據式(16)右端項力函數特點，設系統位移響應為:

將式(17)代入式(16)，并令方程兩端同次諧波項系數相等，可解出式(17)系數表達式，得位移響應級數形式解為:

由式(19)可看出，雙粘著運動響應與力幅比、頻率比、粘性阻尼比有關。

由推導過程與級數解形式知，粘著與滑動階段解的形式可統一。因此級數解為全局形式解。雖級數解各單項表達式形式復雜，但總體形式簡單、求解思路易理解、計算方便。且級數解推導無高次方程求根、開方及反三角函數等運算，可避免文獻［9］中解析求解對參數范圍及無意義解的取舍。

2.3 待定參數求解

式(19)的響應表達式中有三個未知參數:xa，T1，φ，其求解條件為:

(1)t=0 時，x|t=0=-xa，即:

由式(20)～式(22)導出關于xa，T1，φ的非線性代數方程組，求解三參數，可得雙粘著粘滑響應與摩擦力函數。

3 雙粘著運動特性分析

3.1 與仿真結果對比

取系統參數:F0=2 N，k=6π N/m，R=0.5，ζ=2.65 ×10-2，ξ=0.4。諧波項取前3 000 項。據上述方程組，解得:

圖2、圖3為上述參數對應級數解與數值解結果的對比圖。由響應曲線看出，級數形式解析解能較好地描述雙粘著運動，對系統粘著階段及滑動階段表述清晰，與數值結果吻合較好。由級數解所得響應振幅略小于數值解結果，但與數值解差異小于數值解幅值的0.4‰。將求得的參數值代入式(14)、式(5)，摩擦力函數的級數解與直接分段函數吻合較好(見圖4)，級數解對摩擦力函數的描述也是正確的。

圖2 雙粘著運動位移響應Fig.2 Displacement response of double-stick stick-slip motion

圖3 雙粘著運動速度響應Fig.3 Velocity response of double-stick stick-slip motion

圖4 雙粘著運動過程中摩擦力變化曲線Fig.4 Frictional force curve of double-stick stick-slip motion

3.2 參數對雙粘著運動粘著時間長度影響

據式(8)對β'的定義，考察參數對雙粘著運動粘著階段長度的影響。β'變化情況見圖5。由圖5看出，當力幅比R增大時，粘著時間變長。由于較大力幅比對應最大靜摩擦力，非摩擦合外力需更長時間以達到并克服最大靜摩擦力。

當激勵頻率比ξ大于1時(圖5(b)、(d))，隨著粘性阻尼增加，雙粘著運動的粘著時間增長。當激勵頻率比小于1時，粘著時間隨參數的變化更復雜(圖5(a))。當力幅比小于0.57時，粘性阻尼越大，粘著時間越短，而在力幅比大于0.57時，粘著阻尼增加會導致粘著時間增長。總之，力幅比與頻率比越大，粘性阻尼對粘著時間影響越小。

3.3 參數對雙粘著運動位移幅值影響

不同頻率比、不同粘性阻尼比情況下雙粘著運動位移幅值的變化曲線見圖6。摩擦力增大會導致響應幅值減小，當力幅比趨于1時，位移響應趨于零，即振子無法運動，始終粘著。粘性阻尼增大同樣會導致響應幅值減小，激勵頻率不同影響程度不一。在主共振頻率(ξ=1.0)處影響最明顯;頻率比 ξ=10.0時，粘性阻尼影響較小。

圖5 粘著階段長度變化Fig.5 Variation of sticking duration

圖6 粘著階段位移幅值變化Fig.6 Variation of sticking displacement amplitude

4 粘著發生參數邊界分析

無粘著運動過程中，摩擦力函數以方波形式變化:

此方波函數展的傅里葉系數為:

式(25)為式(10)～式(13)在 β=π時的化簡形式。因此無粘著運動響應解可由式(19)導出，據此可知參數平面內有、無粘著運動分界線。

將式(22)代入式(15)并消去xa，將An，Bn按 φ 整理為:

其中:n=1時有:

將式(26)、(27)代入式(20)、(21)，整理得:

式(28)可進一步變形為:

定義輔助函數f:

雙粘著運動系統參數應滿足:

由于β為上半周期內粘著階段開始點對應的相位角，因此干摩擦振子不發生粘著的純滑動參數條件為:

由式(32)可解出干摩擦振子粘著發生的臨界條件，即粘滑邊界線表達式為:

ξ-R參數平面內粘著邊界線見圖7。給定激勵頻率比，當系統力幅比R大于邊界力幅比時，系統將發生粘著，反之發生純滑動運動。粘性阻尼對粘滑邊界線影響較大，粘性阻尼增大導致純滑動參數區域范圍縮小，在頻率比較小(ξ＜30)時尤其顯著。當激勵頻率比較大(ξ＞30)時，粘性阻尼對粘著邊界線影響相對較小。當頻率比較大(ξ＞100)時，邊界力幅比趨向于穩定值R=0.537 1，粘性阻尼比對粘滑邊界線基本無影響。

ζ=0時，系統中不存在粘性阻尼，由式(18)，粘著邊界條件式(33)可簡化為:當 ξ=1/i(i=3，5，7，…)時，有:

當n≠i時，Pn為有限值，對式(34)進行極限分析可知:

上式說明:當ξ=1/i(i=3，5，7，…)時，粘著邊界線會無限接近于零。因此，當無粘性阻尼時，在奇次分數倍頻處，摩擦力再小，粘著總會發生。在該頻率比處，粘著邊界線取局部極小值，因此，粘滑邊界線在低頻范圍內會出現凸凹交替特征，如圖8所示。

考慮粘性阻尼情況下，據式(19)，位移響應第n階諧波項幅值可寫為關于頻率比ξ的函數:

圖7 粘滑邊界線Fig.7 Stick-slip boundary curve

圖8 粘滑邊界線凸凹交替曲線Fig.8 Concave-convex alternation of stick-slip boundary curve

式中:An，Bn與ξ無關，使xan取極值的駐點表達式為:

解得使xan取極值的駐點頻率比為:

式(33)可視為關于頻率比的函數R(ξ)。可以驗證，當粘性阻尼比足夠小(0≤ζ≤2)時，式(39)的頻率比值均滿足:

在此頻率比處，粘著邊界線為局部極小值(圖8)。隨著粘性阻尼比增大，力幅比函數R的局部極小值逐漸增大，力幅比函數曲線的局部極小谷值從左至右會依次消失。當粘性阻尼比增加至ζ≈0.165 2時，粘滑邊界線最右側對應頻率比為1/3的局部極小谷值消失，凸凹轉換特征消失，粘滑邊界線呈現單調變化。

5 結論

基于諧波平衡方法給出干摩擦振子雙粘著運動響應的級數形式解析解。利用該解析解對雙粘著運動特性及粘著參數邊界進行分析，結論如下:

(1)本文所給級數解形式簡單，能對粘著及滑動階段特性統一描述，為全局形式解。與數值結果對比表明，級數解能較好描述雙粘著運動;

(2)頻率比、力幅比及粘性阻尼對雙粘著運動的響應幅值及粘著時間影響較大。同一激勵頻率下，力幅比增大會導致位移幅值減小及粘著時間變長。粘性阻尼對幅值及粘著時間影響與頻率比與力幅比相關，頻率比與力幅比增加會削弱粘性阻尼影響;

(3)由所給參數平面內干摩擦振子的粘滑邊界線方程知，粘滑邊界線受粘性阻尼影響較大，粘性阻尼增加能縮小純滑動參數區域;頻率比較小時影響更明顯。當粘性阻尼較小時，粘滑邊界線在奇次分數倍頻處存在局部極小值，出現凹凸轉換特征。

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