關于一類求直線問題的討論

郭佳

摘要：討論了求平行于定方向并與兩條已知直線相交的直線問題可能的解的情況，在有唯一解的情況下給出該問題的解法

關鍵詞：直線；平面；平行；相交；方向向量

在空間解析幾何中，直線和平面是一個很重要的內(nèi)容對這部分內(nèi)容的考查方法也很靈活，在各類教材和習題冊中都會出現(xiàn)如下一道求直線的問題：

問題：給定空間一非零向量

由于空間兩直線的位置關系有平行，相交，重合與異面幾種情況，因此當題目中

l，l的位置關系不同時，該問題也會相應地出現(xiàn)無解，有無數(shù)多解和有唯一解幾種情況下面先對這幾種情況進行討論，再對有唯一解的情況給出幾種不同的解法為方便起見，認為已知向量v既不平行于

l又不平行于l

一、對問題的分析

l，l重合時，過l（l）上任一點以

v為方向向量作直線l，則直線l都滿足題意，即平行于

v且與l，l都相交的直線有無數(shù)多個

當l，l平行時，l，l確定的平面記為π，

（）若v平行于π，則過

l（l）上任一點以

v為方向向量作直線l，直線

l都與l（l）相交，此時平行于

v且與l，l都相交的直線有無數(shù)多個

（）若v不平行于π，則平行于

v

且與l（l）相交的直線一定與l（l）異面，即平行于

v且與l，l都相交的直線不存在

3當l，l相交時，

l，l確定的平面記為π

（）若

v平行于π，則過l（l）上任一點以

v為方向向量作直線l，直線l都與l（l）相交，此時平行于

v且與l，l都相交的直線有無數(shù)多個

（）若v不平行于π，則平行于

v過l與l交點所作的直線滿足題意，而過

l（l）上任一點（除交點外）以

v為方向向量的直線一定與

l（l）異面，即此時平行于

v且與l，l都相交的直線唯一確定

上面討論了問題（）的解的情況，當然，對于一道考查直線和平面問題的習題，只有上述第（4）中的（ⅱ）成立時才是有意義的，下面對這種情況給出解法

二、對問題的解法探究

直線的點向式方程，兩點式方程，參數(shù)方程，一般方程，平面的點位式方程，空間直線和平面，直線和直線的位置關系等知識點，通過這些解法，能鍛煉學生的發(fā)散思維，引導他們對知識進行靈活運用，并根據(jù)具體問題采用不同的思路去分析，培養(yǎng)他們分析問題和解決問題的能力

例求與直線l：

都相交的直線方程