基于藤結構Copula-SV模型的外匯投資組合風險分析

馬超群，金 鳳，楊文昱，鄧 嶺

（湖南大學 工商管理學院，長沙410082）

0 引言

外匯風險是指匯率波動使得從事涉外投資的主體隨時面臨著經濟損失的可能性。在固定匯率時代，外匯市場波動較弱，因而避險需求不強。隨著“布雷頓森林體系”的解體，有管理的浮動匯率制度的盛行以及全球跨國投資活動的激增，外匯市場發生了巨大變化，市場參與者不斷增加，交易規模和交易量不斷增大，匯率波動日益頻繁，波動幅度逐漸加大,外匯投資風險問題日益為理論界和實業界所重視。

不少學者對分散外匯投資組合風險的原理和方法進行深入分析，并應用馬柯維茨的均值-方差模型對外匯投資組合進行優化[1]。考慮到金融資產收益分布的非正態性以及金融資產間的非線性相關性，學者們引入Copula模型來描述外匯資產間的非線性相依結構。早期的研究主要集中在運用二元Copula模型對兩個外匯資產的相關性建模[2]，盡管普通的Copula模型容易拓展到高維情形，可以描述大量外匯資產組合之間的相關關系。然而，由于“維數災難”的緣故，在高維情形下先驗地選擇合適的Copula模型困難重重。針對普通Copula模型的諸多限制，Bedford和Cooke在Joe[3]的研究基礎上提出一種可以分解多元聯合分布密度函數的藤結構Copula[4]。在Bedford和Cooke的研究基礎上，許多學者對藤結構Copula進行了拓展與應用[5～6]，盧穎和杜子平對藤結構Copula的基本原理和算法進行了簡要介紹，并將其引入中國的金融研究領域[7]，黃喜恩等人的研究表明藤結構Copula可以很好地描述高維資產的相關性[8]。

運用Copula模型對資產收益之間的相關性進行研究時，資產收益之間的相關結構由Copula模型概括，Copula模型的選擇可以與單個資產收益的邊際分布建模分離開來。對于單個資產收益的建模，現有文獻主要采用GARCH族模型或者隨機波動模型(Stochastic Volatility，SV)。GARCH族模型具有參數估計簡單易實現，且波動率的預測十分方便等優點，在實際中應用廣泛。然而，Andresson等人的研究表明GARCH族模型對金融時間序列高峰厚尾、杠桿效應等非線性特征的刻畫欠精確[9]。SV族模型假定波動是不可觀察的隨機過程，能更好地擬合實際波動過程，但是SV模型的參數估計較為困難。Durbin和Koopman提出能有效估計SV模型的馬爾科夫鏈蒙特卡洛模擬方法(MCMC)，極大地促進了SV模型的應用[10]。SV模型和GARCH模型的大量比較研究結果表明，與GARCH模型相比，SV模型能更好地描述金融資產時間序列的波動異方差性[11～12]。

綜上可知，基于藤結構Copula-SV模型的外匯投資組合風險分析具有堅實的理論基礎。本文綜合考慮了外匯資產的波動異方差性和外匯資產間的復雜相關性特征，并采用對偶變量法控制模擬誤差，將藤結構Copula和SV模型有機結合，得到基于藤結構Copula-SV模型的外匯投資組合的聯合條件分布，最后以CVaR作為風險度量指標，在風險最小化框架下對外匯投資組合進行風險分析。

1 模型設定

1.1 藤結構Copula-SV模型

SV模型最早由Taylor于1986年提出，Harvey[13]等人將其應用到金融研究領域。如今SV模型族包含的內容十分豐富，常見的模型有標準SV模型，厚尾SV模型以及均值SV模型等。厚尾SV模型能夠較好地刻畫金融時間序列的波動異方差和尖峰厚尾特征，被廣泛應用于金融時間序列，厚尾SV模型的具體形式如下：

此處，rt表示日對數收益率，π表示日對數收益率，xt和ηt為相互獨立的新息序列，xt服從自由度為σ=exp(θt/2)的t分布，ηt服從均值為0，方差為τ2的獨立正態同分布，μ表示波動水平參數，φ表示波動持續性參數。

根據Sklar定理，具有邊緣分布函數F1(x1),F2(x2),...,Fn(xn)的多元分布函數如下：

如果F(x1,x2,...,xn)嚴格單調遞增且連續，則其聯合密度函數為：

此處，fi(xi)表示Fi(xi)的概率密度函數，cx1,x2,...,xn表示n維的Copula函數，同時n維聯合密度函數滿足式(4)，

由(3)和(4)可求得其條件聯合概率密度函數如下：

此處，vj表示n維向量v中的任意一個分量，v-j表示向量v去掉vj后得到的向量。

藤結構Copula是在Copula的基礎上發展而來，能夠更好地描述高維資產間的復雜相關性。然而，對于高維的聯合分布，藤結構Copula的分解不唯一，存在多種可行邏輯結構，這給實際應用帶來了難題。Bedford和Cooke引入一種稱為規則藤的圖形分解工具來描述藤結構Copula分解的邏輯結構[4]。藤由樹、邊和節點組成，每棵樹上的節點代表一個藤結構Copula的密度函數，D藤和Canonical藤是規則藤中最常用最簡單的兩種藤結構。兩種藤結構由于邏輯結構不一樣適應的數據類型也不一樣，Canonical藤更適合數據集中出現且不相互獨立的數據類型，而D藤更適合于數據集中出現且相互獨立的數據類型。根據兩種藤結構各自的結構特點對n維聯合密度函數進行分解見式(6)和(7)，隨后的分析只考慮D藤和Canonical藤。

D藤分解下的概率密度函數表示為：

Canonical藤分解下的概率密度函數表示為：

在這里，j表示藤結構中的第j棵樹，i表示每棵樹中的第i個結點，n表示維數，f(xk)表示邊際分布的密度函數，(6)和(7)中的cxvj|v-j(?,?)表示每棵數上的藤結構 Copula的密度函數，cxvj|v-j(?,?)由兩個條件分布函數F(x|v)組成，Joe[6]的研究表明

其中，Cxvj|v-j表示二元Copula分布函數。

藤結構Copula中采用的二元Copula函數主要有Gaussian Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula和Student’t Copula四種類型，其中，Clayton Copula和Gumbel Copula只有一個參數，分別為下尾相關系數ρL和上尾相關系數ρU，Student’t Copula的參數有自由度γ和相關系數ρ兩個參數。Clayton Copula只能描述二元分布的下尾相關性，Gumbel Copula只能描述二元分布的上尾相關性，Student’t Copula既能描述二元分布的上尾相關性也能描述下尾相關性，由于外匯時間序列的非對稱性較弱，故本文選用Student’t Copula。

將藤結構Copula和SV結合可以得到藤結構Copula-SV模型如(9)所示：

此處，Tσi(xi,t)表示均值為0，方差為1，自由度為σi的t分布函數，PC(Tσ1(x1,t),Tσ2(x2,t),???,Tσn(xn,t))為n維服從t分布的藤結構Copula的分布函數。

藤結構Copula-SV模型的參數包括邊際分布的參數和各個Copula的參數。當隨機變量的個數為n時，二元Copula的數目可達n(n-1)/2，模型的待估參數數目可以達到n2數量級。因此，當n較大時，采用普通的極大似然估計方法將涉及高維優化問題，計算十分復雜。Patton[14]等人提出兩階段極大似然估計法，先對邊際分布的參數進行極大似然估計，然后再估計由Copula刻畫的相關結構的參數。兩階段極大似然估計法不僅計算簡單，而且其計算精度不亞于普通極大似然估計法，本文將選用兩階段極大似然估計法。對藤結構Copula-SV模型來說，首先估計描述單個序列的SV模型，得到其邊際分布；然后根據邊際分布分別對各個二元Copula估計得到其藤結構Copula中參數的初值，最后對藤結構Copula聯合估計，得到最終的參數估計結果。

SV模型的參數估計方法有廣義距估計法、偽極大似然估計法和馬爾科夫蒙特卡洛模擬法(MCMC)等。Jacquier等人的研究表明采用MCMC方法進行參數估計更準確[15]，故本文選用基于Gibbs抽樣的MCMC方法對SV模型進行參數估計。在估計出各邊際分布的參數后，求得各個二元Copula聯合密度函數并估計其相應的參數，即實證結果中的參數初值，最后以參數初值為起點，最大化n維聯合密度函數f(x1,x2,...,xn)，得到藤結構Copula模型的參數值，即實證結果中的參數終值。

1.2 風險測度與失敗率檢驗原理

風險價值(VaR)表示一定置信水平1-α下某一金融資產或投資組合在未來某一特定期間內的最大可能損失，其數學表達式為P{-r≥VaR}=α，條件風險價值(CVaR)是用來衡量損失超過VaR的平均水平，其數學表現形式如(10)所示[16]。

此處，r表示日對數收益率，VaRα(r)表示在給定置信水平1-α下的風險價值。以CVaR作為風險度量指標的外匯投資組合優化模型如下：

minCVaRα

此處，w=(w1,w2,...,wn)T表示組合中各資產所占的比例，假設資產不能賣空，即wi≥0，r=(r1,r2,...,rn)T表示組合中n種資產的期望收益率，rp表示組合收益率，E(rp)表示投資組合的預期收益率。

考慮到時間序列模型的擬合優度分析通常只對模型的整體分布擬合情況作出判斷，而本文隨后的實證分析需要精確計算出投資組合的CVaR，這與模型對分布的尾部擬合能力密切相關，因此，有必要對藤結構Copula-SV模型的尾部擬合能力作進一步考察。目前，對CVaR進行回測檢驗的理論尚不成熟，我們退而求其次，采用Kupiec失敗率檢驗方法[17]對基于藤結構Copula-SV模型的VaR進行回測檢驗。Kupiec失敗率檢驗方法是一種雙邊檢驗方法，失敗率過低或過高都會被拒絕，檢驗結果非常可靠。檢驗的基本原理是將rt的預期損失即VaR與實際損失即rt的數值進行比較，如果實際損失大于預期損失則認定為失敗，實際檢驗天數用T示，失敗次數用N表示，那么失敗率應為h=N T，檢驗的原假設為h=h0=α，Kupiec提出用LR似然比統計量進行檢驗，具體如(12)所示：

在原假設下，LR統計量是服從自由度為1的卡方分布，只要卡方檢驗的P值大于0.05即可接受原假設。

1.3 藤結構Copula-SV模型的Monte Carlo模擬

外匯資產收益率r的Monte Carlo模擬即采用Pair Copula對SV模型中殘差項xt建模，并通過Monte Carlo模擬得到殘差項xt的可能情景，然后通過SV模型得到模擬出來的外匯資產的收益率r，具體模擬過程如下：

第一步：隨機生成服從[0,1]均勻分布的序列{ψ1,ψ2,???ψn}；

第二步：令x1=ψ1，根據(8)可求得

第三步：令ψ2=F(x2|x1)，由(8)得

令ψ3=F(x3|x1,x2)，同理可得：

第四步：利用xi的邊緣分布函數求出ψi=F-1(xi|x1,x2,???,xi-1)，得到{x1,x2,???,xn}；

第五步：根據SV模型求得模擬出來的日對數收益率序列{r1,r2,???rn}，模擬m次的話就將上述模擬過程重復m次即可。

考慮到總體模型設定中擾動項的分布都是對稱的，為了減少模擬誤差和計算量，本文采用簡單有效的對偶變量法。具體地，如果需要模擬m個情景，產生m 2個xt和ηt的仿真樣本，然后對得到的仿真樣本xt和ηt取相反數得到余下的m 2個仿真樣本。

2 實證研究

2.1 樣本選取與數據處理

自2006年1月4日起，中國人民銀行授權中國外匯交易中心對外公布當日人民幣對美元(USD)、歐元(EUR)、日元(JPY)和港幣(HKD)匯率中間價，作為當日銀行間即期外匯市場(含OTC方式和撮合方式)以及銀行柜臺交易匯率的中間價。因此，本文選取2006年8月1日至2011年8月1日期間USD、EUR、JPY和HKD四種外匯的人民幣中間價格作為研究樣本數據。本文的樣本數據來自國家外匯管理局，表1給出了四種外匯日對數收益率的描述性統計特征。

表1 四種外匯資產日對數收益率的描述性統計

由表1可知，四種外匯的J-B統計量的P值均顯著小于0.05，均拒絕服從正態分布的假設，美元、歐元和港幣均稍微左偏，日元略微右偏，而且四種外匯的峰度均大于3，說明外匯資產具有尖峰厚尾特征。

2.2 模型參數估計與診斷

用厚尾SV模型對四種外匯消去均值后的日對數收益率進行擬合，采用MCMC方法進行參數估計，迭代100000次借助WinBUGS軟件得以實現，并選取5001～100000次為抽樣結果。參數估計之后根據估計出來的xt序列可求得ηt序列，通過概率積分轉換將服從t分布的xt序列轉換為[0,1]分布序列，然后對ηt序列和轉換后的xt序列進行K-S(Kolmogorov-Smirnov)檢驗，具體參數估計和K-S檢驗結果如表2所示。

表2 SV模型的參數估計及K-S檢驗結果

從表2可知，所有參數的t統計量的絕對值大于95%置信水平下的臨界值1.96，說明在95%置信水平下參數均顯著。從殘差項xt和隨機擾動項ηt的K-S檢驗來看，xt和ηt的K-S檢驗P值均大于0.05，說明xt和ηt均接受原假設，與模型假定分布相符。

為了更合理地確定藤結構Copula分解的邏輯結構，先用t Copula估計不同外匯收益率殘差項的自由度參數矩陣，具體如表3所示。

表3 不同外匯資產間二元t Copula自由度矩陣

根據表3中外匯資產兩兩間的自由度大小及藤結構原理可以得到四種外匯的Canonical藤結構和D藤結構見圖1和2，其中，u代表美元，h代表港幣，j代表日元，e代表歐元。

圖1 Canonical藤結構分解圖

圖2 D藤結構分解圖

根據分解出來的兩種藤結構，采用極大似然估計法對聯合分布密度函數進行參數估計，并通過概率積分變換檢驗對模型進行擬合優度檢驗，得到兩種藤結構下的參數估計的初終值和擬合優度檢驗的結果如表4所示。從表4可知，概率積分變換檢驗中K-S檢驗的P值均顯著大于0.05，說明模型擬合效果很好。

表4 Canonical藤和D藤下的藤結構Copula參數估計

至于D藤和Canonical藤哪種更合適，本文采用AIC和BIC準則予以判定，AIC值和BIC值越小越好。根據(13)和(14)可求得Canonical藤的AIC值為2131.8696，BIC值為2181.8737，D 藤 的 AIC值 為 -2094.7198，BIC值為-2044.7157。因此，D藤的AIC值和BIC值均小于Canonical藤的AIC值和BIC值，應當選擇D藤。

此處，L示對數極大似然函數值，K示待估參數的個數，T示樣本容量。

2.3 Kupiec失敗率檢驗結果分析

為了檢驗整體模型設定的準確性與有效性，采用Kupiec失敗率檢驗方法對樣本內的VaR進行檢驗，實際檢驗天數T=1216，在90%和95%兩種置信水平下，四種外匯資產的失敗率檢驗結果如表5所示。

表5 四種外匯資產的Kupiec失敗率檢驗

從表5可知，隨著置信水平提高，失敗次數減少，失敗率與原假設越接近，說明在較高置信水平下模型更可靠。此外，失敗率檢驗的P值均大于0.05，故認為在相應的置信水平下可以接受原假設，設定的模型準確有效。

2.4 藤結構Copula-SV模擬外匯收益率及外匯投資組合風險分析

在藤結構Copula-SV模型下通過Monte Carlo模擬得到四種外匯日對數收益率的可能情形，為保證在不同置信水平下大約有1000個尾部數值，在90%和95%的置信水平下分別模擬10000次和20000次，求得單個外匯資產的CVaR，以分析單個外匯資產的風險情況，模擬得到的四種外匯資產日對數收益率的均值和CVaR如表6所示。

表6 四種外匯日對數收益率的均值和CVaR

從表6可知，在90%和95%兩種置信水平下，歐元和日元的收益率均值大于美元和港幣的收益率均值，歐元和日元的CVaR均大于美元和港幣，表6的計算結果體現了簡單的經濟直覺，即風險與收益之間存在權衡關系：風險越大，收益越高。

CVaR的次可加性表明，通過投資組合可以有效分散投資風險。在不允許賣空的條件下通過比較各種限定外匯資產種類的最優組合，我們研究資產組合分散風險的實際效果。由于以不同置信水平下的CVaR為風險度量指標的分析結果相似，下面的分析只考慮置信水平為95%的情形。

圖3 95%置信水平下兩種外匯資產組合的有效前沿

圖3 給出了95%置信水平下兩種外匯資產組合形成的有效前沿，由圖3可知，港幣與日元的有效前沿相對于其他組合而言是嚴格占優的，美元與日元的有效前沿次之。因此，如果投資者只能投資兩種外匯資產，港幣與日元是首選的組合，其次是美元和日元。

圖4 95%置信水平下三種和四種外匯資產組合的有效前沿

圖4 給出了三種或三種以上外匯資產形成的有效前沿，由圖4可知，日元、港幣和美元三種外匯資產對應的有效前沿，日元、港幣和歐元三種外匯資產對應的有效前沿與四種外匯資產對應的有效前沿幾乎沒有差別，都是占優的有效前沿，這與前面兩種外匯資產有效前沿的分析是相吻合的。

圖5 95%置信水平下多資產組合的有效前沿

由圖5給出了兩種、三種和四種外匯資產組合中最優組合的有效前沿，由圖5可知，三種情況下的投資組合均包含港幣和日元，而且有效前沿幾乎重合。理論上講，四種外匯資產組合對應的有效前沿不可能劣于三種外匯資產組合對應的有效前沿和兩種外匯資產組合對應的有效前沿，三種外匯資產組合對應的有效前沿不可能劣于兩種外匯資產組合對應的有效前沿。如果對圖5仔細觀察，當組合收益率小于-0.001時，計算結果與理論預測完全吻合，當組合收益率在-0.001至0.013時，三種情況下的最優組合幾乎完全重合，因此，如果投資者可以在美元、日元、歐元和港幣四種主要外匯中自由選擇外匯投資品種，以CVaR作為風險度量指標時，投資者在四種外匯資產中只需要考慮投資港幣和日元，增加歐元和美元的投資幾乎不能改進組合的有效前沿。

3 結論

在外匯投資組合中，通常涉及到高維資產的投資組合，而單個資產的收益率特性和高維資產間的相關性是構建投資組合必須考慮的重要因素。采用厚尾SV模型對單個資產的收益率特征予以刻畫，運用藤結構Copula模型對資產間的復雜相關性進行描述，可以很好地克服現有時間序列統計模型對高維資產特征描述不充分問題，較好地刻畫單個資產的收益率特征和高維資產間的相依結構。本文采用的處理方法還可以根據金融資產的不同特征進行改進，例如，外匯收益率時間序列除了具有尖峰厚尾和波動異方差性之外，可能還有非對稱，長記憶性等特征，可以選用具有長記憶性的SV模型予以描述。如果維數更高的話，也可以選用更復雜的藤結構對高維資產間的相依結構進行描述。

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