基于年齡分布和加權總規模的競爭系統的適定性

于曉娣，雒志學，李 晶，巴爭剛

(蘭州交通大學數學系，蘭州 730070)

1 模型

在基于年齡結構的2種群適定性問題的數學模型的建立方面已有不少研究成果［1-6］，而大多數學者在系統建模時假設:不同年齡的個體對種群發展具有相同的影響，這顯然不符合實際情況。本文將其影響因素考慮在內，所研究的系統模型如下:

其中:Q∈(0，A)×(0，T)，A、T分別表示個體最大年齡和控制周期0＜A＜+∞;假設2種群具有相同壽命，［a1，a2］是雌性生育區間;pi(a，t)為第i個種群在t時刻年齡為a的種群個體數量;λi(a，t)為種群間作用系數;mi(a，t)為第i個種群雌性比率，0＜mi(a，t)＜1;pi0(a)為第i個種群初始年齡分布;Si(t)為第i個種群在t時刻的加權總量;ω為權函數;μ、β為出生率和死亡率;ui(a，t)為人類對種群個體的收獲努力度，是本文的控制變量，滿足:

本文假定下列條件成立(i=1，2):

(H1)對于?(a，t;xi)∈Q ×［0，+∞］，μi(a，t;xi)≥0，固定(t;xi)+∞，μi關于xi局部Lipschitz連續。

(H2)對于 λi∈L∞(Q)，0≤λi(a，t)≤λ，λ 為常數，a.e.(a，t)∈Q。

(H3)當 a ＜a1或 a ＞a2時，βi(a，t;Si(t))≡0，且0≤mi(a，t)≤M0，M1為常數，a.e.(a，t)∈Q。

(H4)對于?(a，t;xi)∈Q ×［0，+ ∞)，0≤βi(a，t;xi)≤M1，M1為常數，βi關于 xi局部 Lipschitz連續。

(H5)?(a，t)∈Q，0≤ωi(a，t)≤M2，M2為常數;?a∈(0，A)，0≤pi0(a)≤M3，M3為常數。

定義1 系統1的解L∞(Q;R2)，i=1，2滿足

2 模型的適定性

對于任意固定的 υ =(υ1，υ2)∈L∞(Q;R2)，υi(a，t)，定義，考慮系統

系統(3)具有唯一非負解，且 p=(p1，p2)∈L∞(Q;R2)，pi(A，t)=0，?t∈［0，T］，i=1，2。由特征線法，得到系統(3)的解:

B(t;Si)為下列Volterra積分方程的解:

其中:

上述表達式中，函數pi0、βi、Π在其定義域外延拓為零。

本文假設T＞A，令

對于 υ(i)=(υi1，υi2)∈H，記系統(3)相應的解為 p(i)=(pi1，pi2)，x=(x1，x2)=p(1)-p(2)，i=1，2。

引理1 存在正常數 C1、C2、C3，使得對任意 υ(1)=(υ11，υ12)，υ(2)=(υ21，υ22)∈H 及任意 t∈(0，T)，有

證明

其中

同理可得:

其中 C1=max{M0M2L1;M0M1M2L2;M0M1λ}。

由式(5)～(7)得:

由Bellman引理可知:

由式(5)，(9)～(12)可知:

再根據Gronwall引理得:

其中:

引理2 存在正常數C使得對任意υ(1)，υ(2)∈H，有

證明由式(4)和引理1得

其中:

則

由Gronwall引理得:

其中C=C4(1+TeTC4)。

定理1 任意給定u∈U，系統(1)存在唯一解pu滿足:① pu∈L∞(Q;R2);②;③ pu連續依賴于u。

證明定義映射 G:H→H，Gυ(a，t)=pυ(a，t)，?(a，t)∈Q，以及一個等價范數:

利用引理2得:

因此G是空間上的(H，‖·‖*)壓縮映射，存在唯一點υ*，它就是系統(1)的解。

取 ui=(ui1，ui2)∈U，令

則可以得到:

其中K是常數。上式意味著pu關于u連續。

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