一類非仿射非線性系統(tǒng)混合自適應(yīng)模糊控制

吳勃， 宋建力

(1.哈爾濱理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150080;2.天津航海儀器研究所，天津300131)

0 引言

自適應(yīng)模糊控制是非線性控制領(lǐng)域中一種重要的控制方法，廣泛用于解決各種復(fù)雜非線性系統(tǒng)控制問題［1－7］。Wang等針對(duì)一種模型未知的SISO非線性系統(tǒng)首次提出了一種穩(wěn)定的自適應(yīng)模糊控制方法［2］。Shi等通過估計(jì)增益矩陣分解構(gòu)造一個(gè)間接自適應(yīng)模糊控制器，解決了MIMO非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的奇異問題［3］。目前大部分自適應(yīng)模糊控制器僅僅適用于仿射非線性系統(tǒng)，而實(shí)際工程系統(tǒng)如飛控系統(tǒng)、化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)等屬于非仿射非線性系統(tǒng)。因此，非仿射非線性系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)成為非線性控制領(lǐng)域熱點(diǎn)研究問題。

近年來(lái)，針對(duì)非仿射非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計(jì)的研究已取得了很多成果。根據(jù)模糊邏輯系統(tǒng)逼近對(duì)象的不同，可以將已有控制器分為兩類:直接自適應(yīng)模糊控制器，即首先利用隱函數(shù)定理證明非仿射系統(tǒng)存在最優(yōu)控制律，然后用模糊邏輯系統(tǒng)直接逼近最優(yōu)控制律［8－11］;間接自適應(yīng)模糊控制器，利用泰勒級(jí)數(shù)或者中值定理將非仿射系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為仿射系統(tǒng)，然后利用模糊系統(tǒng)逼近仿射系統(tǒng)中未知的非線性函數(shù)，結(jié)合反饋線性化方法構(gòu)造控制器［12－14］。仿射非線性系統(tǒng)存在另一種自適應(yīng)模糊控制設(shè)計(jì)方案即混合自適應(yīng)模糊控制器，該控制器有兩種構(gòu)造方法，其一是通過調(diào)節(jié)因子直接將直接型和間接型兩種控制器融合在一起［15］，這樣能將兩種控制器的優(yōu)點(diǎn)同時(shí)利用起來(lái)，使系統(tǒng)獲得更好的控制效果;其二為構(gòu)造模糊控制器后，同時(shí)采用跟蹤誤差和預(yù)測(cè)誤差來(lái)設(shè)計(jì)自適應(yīng)律［7，16］，從而提高收斂速度。

以上控制器設(shè)計(jì)均假設(shè)控制方向已知并且通常假設(shè)控制方向?yàn)檎窃趯?shí)際控制系統(tǒng)中大多數(shù)情況下控制方向是未知的。當(dāng)系統(tǒng)控制方向未知時(shí)，采用直接自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計(jì)方案會(huì)因?yàn)椴荒艽_定參數(shù)更新方向而無(wú)法實(shí)現(xiàn)控制器的設(shè)計(jì)，采用間接自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計(jì)方案則可能會(huì)出現(xiàn)控制器奇異問題。結(jié)合文獻(xiàn)［13］方法，本文提出一種混合自適應(yīng)模糊控制方案，該方案同時(shí)利用跟蹤誤差和模型預(yù)測(cè)誤差設(shè)計(jì)參數(shù)自適應(yīng)律，相比于文獻(xiàn)［13］，本文設(shè)計(jì)控制器時(shí)不僅考慮了系統(tǒng)存在有界干擾的情況，而且系統(tǒng)具有更快收斂速度。

1 問題描述

考慮一類SISO非仿射非線性模型，即

上式可等價(jià)為

式中:y∈R為系統(tǒng)輸出量;u∈R為系統(tǒng)輸入量;x=［x1，x2，…，xn］T∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量;F(x，u)為光滑的未知函數(shù);d(t)為未知但有界的外部干擾。

控制目標(biāo)設(shè)計(jì)自適應(yīng)模糊控制器u(t)，使閉環(huán)系統(tǒng)輸出y跟蹤期望信號(hào)yd，同時(shí)保證閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號(hào)有界。

為完成控制目標(biāo)，需對(duì)系統(tǒng)和期望信號(hào)做如下假設(shè)。

假設(shè)2 期望信號(hào)yd及其n階導(dǎo)數(shù)均光滑有界。

定義跟蹤誤差為e1=yd－y，則跟蹤誤差向量為e=［e1，…，e1(n－1)］T∈Rn。

為便于設(shè)計(jì)控制器，首先利用泰勒級(jí)數(shù)原理將非仿射系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為仿射形式，式(1)可以轉(zhuǎn)換為

2 自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計(jì)

當(dāng) f(x)、g(x)已知并且 Δ(x，u)=0，d(t)=0時(shí)，則系統(tǒng)存在一個(gè)理想控制律，即

選擇向量K=［kn，kn－1，…，k1］T使得多項(xiàng)式sn+k1sn－1+…+kn=0的所有的根均位于左半開平面內(nèi)，由式(3)可得=KTe，即可以使系統(tǒng)誤差指數(shù)收斂。但是系統(tǒng)模型f(x)、g(x)未知，因此需要用模糊邏輯系統(tǒng)逼近未知函數(shù)f(x)、g(x)。

根據(jù)模糊邏輯系統(tǒng)的萬(wàn)能逼近特性［2］，存在最優(yōu)逼近參數(shù)和滿足

使得

定義參數(shù)估計(jì)誤差為

重新構(gòu)造模糊控制律有

式中，魯棒控制項(xiàng)ur用來(lái)克服由外部干擾、模型轉(zhuǎn)換誤差以及模糊逼近誤差對(duì)系統(tǒng)的影響。

圖1 函數(shù)ψ((x))與x)關(guān)系Fig.1 The relation plot between ψ(g^(x))andg^(xθ^g)

由上述分析可設(shè)計(jì)模糊控制律為

由式(3)、式(5)可得系統(tǒng)誤差方程為

式中:

選擇向量K=［kn，kn－1，…，k1］T使得多項(xiàng)式sn+k1sn－1+…+kn=0的所有的根均位于左半開平面內(nèi)，則Λc為穩(wěn)定矩陣，因此給定一個(gè)正定對(duì)稱矩陣P，存在正定矩陣Q滿足Lyapunov方程，即

假設(shè)3(x，u)項(xiàng)有界，即滿足不等式0≤其中為未知的正常數(shù)，(x，u)=1+|u|+ ‖x‖。

文獻(xiàn)［13］中僅僅利用跟蹤誤差分析設(shè)計(jì)自適應(yīng)律，為了使系統(tǒng)獲得更好的暫態(tài)性能即使系統(tǒng)跟蹤誤差更快收斂，本文設(shè)計(jì)自適應(yīng)律時(shí)，將同時(shí)利用跟蹤誤差和模型預(yù)測(cè)誤差。由文獻(xiàn)［7］分析可知，模型誤差可以直接用來(lái)調(diào)節(jié)控制器參數(shù)，在引入模型誤差的同時(shí)，該設(shè)計(jì)方法并沒有帶來(lái)更復(fù)雜的運(yùn)算，但文獻(xiàn)［7］中提出的模型誤差預(yù)測(cè)(t)－(t)要求(t)已知，這在實(shí)際應(yīng)用中是不能滿足的，因此根據(jù)文獻(xiàn)［17］，設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)誤差為κ－1(t)－－1(t)，即有

其中，α為已知的拐點(diǎn)頻率。

定理1 考慮系統(tǒng)式(1)，采用控制律式(5)以及如下自適應(yīng)律，可以使系統(tǒng)輸出跟蹤給定期望信號(hào)yr，即跟蹤誤差收斂到零，并保證閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)均有界。

自適應(yīng)律為

證明選取如下Lyapunov候選函數(shù)，即

上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

將式(5)～式(13)代入上式有

經(jīng)整理可得

當(dāng)t→∞時(shí)，e→0成立。即系統(tǒng)跟蹤誤差最終收斂到零。定理1證畢。

3 仿真結(jié)果

考慮如下非仿射非線性系統(tǒng)［19］，即

控制目的是使系統(tǒng)的輸出y跟蹤期望軌跡yr=sin(t)。

參數(shù)設(shè)計(jì)為:θf(wàn)(0)=［0.1，…，0.149;θg(0)=［0.1，…，0.149;x1(0)=1;x2(0)=0;γf=50;γg=0.01;γβ1=10;γβ2=10;γδ=10;σ =1;α =5;

選擇模糊隸屬度函數(shù)為

仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 期望輸出與實(shí)際跟蹤曲線Fig.2 The reference trajectory and the system output

圖3 跟蹤誤差Fig.3 The tracking error

圖4 控制輸入Fig.4 The control input

圖2為系統(tǒng)輸出跟蹤給定期望信號(hào)，其中虛線代表期望信號(hào)，實(shí)線代表系統(tǒng)輸出信號(hào)。圖3為系統(tǒng)跟蹤誤差，由圖3可知，跟蹤誤差最終收斂到零，即實(shí)現(xiàn)跟蹤目的。圖4為控制輸入，由圖4可知，系統(tǒng)控制輸入有界。由仿真結(jié)果可知，利用所設(shè)計(jì)的控制器設(shè)計(jì)方案，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出跟蹤給定期望輸出信號(hào)，跟蹤誤差最終收斂到零，同時(shí)可以保證控制輸入有界，驗(yàn)證了系統(tǒng)穩(wěn)定性。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)一類控制方向未知的非仿射非線性系統(tǒng)，提出了一種混合自適應(yīng)模糊控制算法。利用模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)仿射系統(tǒng)進(jìn)行模糊建模，結(jié)合跟蹤誤差和模型預(yù)測(cè)誤差設(shè)計(jì)了自適應(yīng)律，理論上證明了系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提混合自適應(yīng)模糊控制算法的有效性。

［1］ MARKLEY F L.Attitude error representations for Kalman filtering［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2003，63(2):311－317.

［2］ WANG Lixi.Stable adaptive fuzzy control of nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，1993，1(2):146－149.

［3］ SHI W X，ZHANG M，GUO W C.Stable adaptive fuzzy control for MIMO nonlinear systems［J］.Computers and Mathematics with Applications，2011，62(7):2843 －2853.

［4］ CHEN B S，LEE C H，CHANG Y C.H∞tracking design of uncertain nonlinear SISO systems:adaptive fuzzy approach ［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，1996，2(4):32－43.

［5］ HSUEH Y C，SU S F.Learning error feedback design of direct adaptive fuzzy control systems［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2012，20(3):536 －545.

［6］ TONG S C，LI H X.Direct adaptive fuzzy output tracking control of nonlinear systems［J］.Fuzzy Sets and Systems，2002，128(1):107－115.

［7］ MEHRDAD H，SAEED G.Hybrid adaptive fuzzy identification and control of nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2002，10(2):198 －210.

［8］ BOULKROUNE A，M'SAAD M，F(xiàn)ARZA M.Adaptive fuzzy tracking control for a class of MIMO nonaffine uncertain systems［J］.Neurocomputing，2012，93:48－55.

［9］ CHAI T Y，TONG S C.Fuzzy direct adaptive control for a class of nonlinear systems［J］.Fuzzy Sets and Systems，1999，103(3):379－389.

［10］ HUANG Yishao，WU Min，HE Yong，et al.Decentralized adaptive fuzzy control of large-scale nonaffine nonlinear systems by state and output feedback ［J］.Nonlinear Dynamics，2012，69(4):1665－1677.

［11］ DOUDOU S，KHABER F.Direct adaptive fuzzy control of a class of MIMO non-affine nonlinear systems［J］.International Journal of Systems Science，2012，43(6):1029－1038.

［12］ LABIOD S，GUERRA T M.Adaptive fuzzy control of a class of SISO non-affine nonlinear systems［J］.Fuzzy Sets and Systems，2007，158(10):1126－1137.

［13］ LABIOD S，GUERRA T M.Indirect adaptive fuzzy control for a class of nonaffine nonlinear systems with unknown control directions［J］.International Journal of Control，Automation and Systems，2010，8(4):903－907.

［14］ BECHLIOULIS Charalampos P，ROVITHAKIS George A.Robust adaptive fuzzy control of nonaffine systems guaranteeing transient and steady state error bounds［J］.International Journal of adaptive control and signal processing，2012，26(7):576－591.

［15］ HUANG Y S，XIAO D S，CHEN X X.H∞trackingbased decentralized hybrid adaptive output feedback fuzzy control for a class of large－scale nonlinear systems［J］.Fuzzy Sets and Systems，2011，171(1):72 －92.

［16］ COUCEIRO Micael S，F(xiàn)ERREIRA Nuno M F，MACHADO J A Tenreiro.Hybrid adaptive control of a dragonfly model［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17(2):893－903.

［17］ BELLOMO Domenico，NASO David，TURCHIANO Biagio.Composite adaptive fuzzy control［J］.IFAC Proceedings Volumes，2005，16:97－102.

［18］ SASTRY S，ISIDORI A.Adaptive Control:Stability，Convergence and Robustness［M］.Englewood Cliffs:Prentice-Hall，1989.

［19］ HOVAKIMYAN Naira，NARDI Flavio，CALISE Anthony J.A novel error observer based adaptive output feedback approach for control of uncertain systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47(8):1310 －1314.