最后要價仲裁機制下的納什均衡與福利分析①

沈 越 鮑傳健

一、引 言

一項經濟活動中的參與人就各自的利益討價還價不能達成一致時，除了訴諸法律外，一個有效率的仲裁制度可以起到很大的作用。目前，有兩種仲裁機制被廣泛應用。在傳統意義上的仲裁制度(Conventional Arbitration，CA)下，給定參與者的要價，仲裁者依據自己的偏好確定一個最終的結果。直覺上這里存在的問題是，一般而言，仲裁者會綜合考慮參與方的叫價，折中 (Split the difference)形成最后的解決方案。重要的是，參與人會預期到仲裁者的這種偏好，于是，各自便有激勵出更極端的價格。考慮一個勞資糾紛的例子，工會希望高工資，資方偏好低工資，在傳統仲裁機制下，如果參與雙方預期到仲裁者折中雙方叫價，則參與人出相對極端價格的激勵是顯而易見的。實際中也可以見到這樣的例子。而且，有些部門是不允許以罷工等相對極端的形式來達到目的的，典型的如警察和消防員。當這類公共部門產生工資糾紛時，仲裁便可以起作用。正是在這樣的背景下，經濟學家們提出了一種被稱為最后要價仲裁 (Final－Offer Arbitration，FOA)的新機制，意圖減輕傳統仲裁的這種激冷效應。(chilling effect)Stevens的開創性論文最先提出了這種機制，其核心是，仲裁者在決定最終方案時，不能進行任何的妥協或折中，而只能選擇其中一方的出價作為最終解決方案。〔1〕這種機制的設計是希望通過賦與參與者更大的不確定性，促使糾紛雙方更嚴肅地進行談判或協商，從而達成一致，避免通過仲裁解決。這里的假定是，從福利的角度看，協商解決優于仲裁方案，畢竟后者會至少有一方不滿意。正如Long和Feuille指出的那樣:“……一個成功的最后要價程序是沒有使用的那一個……”。〔2〕Nelson也認為，“FOA的目標是使仲裁成為不必要”。〔3〕

FOA程序在國外被廣泛地應用，如美國棒球大聯盟球員的工資決定就是經常被引用的例子。實際上可以說，FOA機制在國外的應用已經相對成熟，在勞動糾紛，商業合同糾紛，環境糾紛，民事法改革等場合，都可以看到FOA機制的影子。甚至選舉也可以被視作一個FOA程序:兩個選舉人進行零和博弈，由選民投票決出勝者。設計FOA機制的目的是希望減輕激冷效應，其引致談判或協商解決方案的能力被視為是否有效的重要指標。可實際效果如何呢?自從Stevens(1966)以后，很多文獻從不同角度討論了FOA的有效性。Crawford分析了FOA結果，對FOA引致協議的能力提出了質疑，并基于Donn(1977)的工作抽出了兩種基于FOA的變形。〔4〕Farber在嚴格的假設下模型化了FOA，將之視為一個分餡餅的過程，兩個參與人就各自的所得份額進行討價還價，并討論了風險態度對參與人合同區域的影響，認為更加重視風險規避的參與人出價將更加合理，從而，被選擇的概率會更高。〔5〕而當不確定性增加時，最后出價將會傾向于發散。其方法被后來的很多文獻采用。不過，他對于羅斯切爾德－斯蒂格利茨 (Rothschild－Stiglitz)意義上的風險度量的應用是錯誤的。〔6〕Brams和Merrill基于Farber的文章討論了FOA機制下參與人的策略行為，給出了更加直觀的表達。〔7〕〔8〕Wittman 首次引入了仲裁者偏見的影響，討論了納什均衡存在的條件，證明了參與一方的風險規避的程度增加，并導致雙方參與人偏離各自的出價。〔9〕Samuelson將FOA機制模型化為不完全信息下的博弈行為，討論了參與人風險態度的影響。〔10〕Hurley引入了多個仲裁者對FOA方案的影響，證明，滿足一定假設下，參與人的出價確實存在一個收斂的均衡。〔11〕還有一些學者提出了刻畫了FOA的變形，以期達到減輕激冷效應的目的。 (參見Brams 和 Merrill〔12〕、Zeng 等〔13〕、Zeng。〔14〕)但這些理論上有理的機制，目前還沒有在實際中被采用。另外，實證研究的結果，從目前來看，也是不明朗的。(Ashenfelter 等〔15〕〔16〕，以及 Dickinson 。〔17〕)

相關的文獻從不同角度豐富和發展了FOA理論。但據作者所知，目前還沒有專門文獻從福利的角度研究FOA的結果。本文基于Brams和Merrill(1983;1986)，第二部分給出了FOA下的納什均衡必要條件和充分條件的一個直觀表達，第三部分嘗試從福利的角度評價FOA機制的結果。第四部分考察FOA在我國應用的可能性，結論部分給出了進一步拓展的方向。

二、模型

本文基于Farber(1980)，假設有兩個風險中性的參與人，仲裁者的偏好是共同知識①假定有參與人1與參與人2，一件事情是共同知識意味著，參與人1和2都知道這件事，1知道2知道，2知道1知道，1知道2知道1知道……，參見Aumann(1976)。，對仲裁者偏好的不確定性由一個連續的密度函數f來表示，且令其分布函數為F，F'=f。仲裁者偏好的中值為m，參與人1希望仲裁結果 (用數值表示)越大越好，參與人2希望越小越好，仲裁者選擇離自己偏好方案最近的出價作為最終裁決。設二人的出價分別為b和α，f(m) ＞0，f'(m)存在，則參與人2的期望支付為:

判斷 (a*，b*)是否為一個局部均衡出價，還需檢驗二階條件:

從而可以得出參與人的一組出價為

這里，我們假設f'有定義。將 (a*，b*)代入二階條件，有:

當且僅當f'(m)＜4f2(m)，取值大于0。

另一方面

當且僅當f'(m)＞－4f2(m)時取值小于0。所以，我們有以下結論:(a*，b*)在丨f'(m)丨＜4f2(m)時是一個FOA機制下的均衡出價。

至此，我們完成了模型的解。直觀上，我們可以在仲裁者的偏好服從正態分布時考慮上述條件。顯然，當不確定性增加時，雙方的最優叫價距離會更大。同樣，當不確定性減小時，雙方的最優叫價趨于接近。也許我們會認為，FOA既然不能為爭端提供一個收斂的納什均衡，那么，設計者的用意就沒有被體現出來，從而其相較于CA來說，不能說具有優勢。但在實踐中我們卻發現，FOA被大量應用。英國在上世紀90年代，很多勞動市場簽訂了應用FOA的協議。新西蘭將FOA機制應用于警察補償糾紛中，智利將這種制度引入水定價問題。紐約時報形容FOA機制在解決棒球大聯盟球員的薪水問題上是一個巨大的成功。一個理論解釋是，可能在這些問題上，仲裁者非常偏好中值點，雙方參與人均意識到這一點，因而出價靠近。

三、一個簡單的福利視角

從福利的角度，FOA能在多大程度上反映參與人的信息?我們采用完全信息下的仲裁作為一個比較基準①完全信息的假設相對嚴格，這里為方便說明問題采用此假設，不完全信息不改變本文的基本結論。。完全信息下，顯然存在一個雙方參與人的均衡出價，就是仲裁者的偏好方案，任何一方偏離這個唯一的均衡都不是效用最大化的選擇。從這個角度，FOA的結果僅僅反映了一方參與人的信息。這是否是FOA至今沒有在我國應用的一個原因呢?另一方面，在FOA機制下，一個方案只有在最接近仲裁者偏好的方案時才有可能被選中。這樣，有可能出現一方出價的一個很小的變動(由于對仲裁者偏好的估計的改變，但在本文的模型中，仲裁者的偏好被假定為共同知識)，就將使最終結果有很大的不同。

對于風險中性的參與人，我們也可以用雙方的條件期望收益來衡量福利。根據 Samuelson(1991)，FOA機制也可以被模型化為拍賣中的出價。令xi(i=1，2)為參與人i對仲裁者偏好f的估計，且f=0.5x2－0.5x1+μ，不失一般性，我們可以令μ=0。參與人的出價策略為b(·)和a(·)，在一個對稱均衡中，令a(x)=－b(x)，定義b1=x1－b，b2=x2－a作為參與人的投標價，令B(x)=x－a(x)，因為參與人i在B()內選擇出價，故可令bi=B(z)，視為參與人選擇z。可以證明，參與i人的期望收益為P(xi，z)=［xi－B(z)］F(z) － ∫∞z［xj－B(xj)］f(xj)dxj。

應用包絡定理:dPi/dxi=(?Pi/?z)(?z/?xi)+(?Pi/?xi)，在均衡處， (?Pi/?z)=0，從而有=dPi/dxi=(?Pi/?xi)=F(xi)。

在完全信息下，參與人i的期望收益為:Pi(xi)=0.5xi－0.5E［xj］ +μ，其中 μ 為仲裁者偏好的均值。

不難比較，在對偏好的估計值低于仲裁者偏好中值的估計情況下，dPi/dxi增加得比完全信息情況下要慢 (完全信息下，dPi/dxi=0.5)，而當估計值高于中值時，dPi/dxi增加得比完全信息下要快。

如果從仲裁成本的角度來考慮福利問題，FOA的優勢是顯而易見的。因為它的實施只需要相對低的信息要求。在CA機制下，仲裁的實施要求對xi有精確的估計。在FOA下，仲裁者的任務只是選擇一個相對更接近于f=0.5x2－0．5x1+μ的出價，而無需知道xi的精確值。而且，當參與人的分歧越大時，給定一個事先設置的正確選擇水平，仲裁者可以在對x1的信息更少的情況下達到這個水平，這在實踐中是有重要意義的。

四、最后要價仲裁可以應用于中國嗎?

盡管FOA在國外得到了廣泛的應用，但據筆者所知，國內還沒有嚴格意義上的FOA在實際中的應用。張文運用最后要價仲裁模型對2001年國有股減持政策中的價格確定問題進行了對比分析，認為市場仲裁者缺乏獨立的判斷和決策權力是證券市場國有股減持失敗的深層原因，因而有必要使市場監管和仲裁機構具有更大的獨立性。〔18〕李小平考察了我國首次鐵路春運價格聽證的仲裁模型，認為價格聽證獲得成功的關鍵，在于價格聽證中博弈雙方對價格的呼聲是否達到納什均衡，價格聽證需要從仲裁主體、仲裁程序等方面進行規范。〔19〕苑志勇、陳鐵英、羅云鋒描述了在雙邊電力市場中基于納什均衡的競價策略，認為問題的關鍵是找到納什均衡，文章闡述了競價策略的數學模型，并證明了納什均衡的存在。〔20〕陳偉、王壬、周曉陽建立了雙邊電力市場中買賣雙方報價的最后要價仲裁模型，認為應用FOA后市場交易員能較好控制電價，同時還可解決暗標拍賣所造成的價格波動。〔21〕郭勇、熊靖引入最后要價仲裁模型，從理論上考察了社區公共行政的博弈難題，認為由于現實中由于尋租現象的存在，FOA的均衡將難以達到。〔22〕

本文基于以上研究，提出一個房地產開發商與居民的博弈模型。開發商希望以較低的價格得到土地，居民希望得到較高的土地賠償。假設存在一個雙方都接受的仲裁者，并規定實行最后要價仲裁，理論上這會讓開發商與居民更容易達成協議嗎?如果參與人滿足本文第二部分模型的假設，則結論依賴于仲裁者對其偏好函數中值點的偏好程度。參與人均衡情況下出價的差為:

不難看出，隨著f(m)取值的增加，參與人出價將越來越靠近，即開發商與居民更有可能就征地補償達成一致。進一步地，可以直觀假設仲裁者的偏好服從正態分布來分析。若仲裁者的偏好方案服從N(m，σ2)，其中m為均值，σ2是分布的方差，則密度函數可以寫為:

正態分布在均值兩側的分布是對稱的，因而其中值等于其均值。從而，參與人均衡情況下的出價的差為:

可以看出，要價之差隨著參與人對仲裁者偏好方案的不確定性增大而增大。

這里，仲裁者的獨立性是一個關鍵因素。在現實生活中，很容易想到讓政府來充當仲裁者這個角色。如果政府的偏好波動性較小，且這個信息對于開發商與居民是共同知識，那么最后要價仲裁就是有效率的。近年常常見諸報端的拆遷矛盾，似乎也給最后要價仲裁留下了一片用武之地。

此結論要求仲裁者是完全獨立的，而且其偏好分布對于參與者來說是共同知識。但正如一些文獻提及的那樣，政府往往有激勵偏向某一方參與人。例如，地方政府可能會為了政績考核，開發更多的房地產項目，拉動GDP，這樣，政府便不再獨立，因而最后要價仲裁的結論便不可靠了。基于獨立性假設在實際中未必滿足，考察當仲裁者系統偏向某一參與人時的均衡結果 (如果存在的話)，便有了意義。這是本文可以拓展的方向之一。

五、結論與拓展的方向

分析不完全信息下的FOA機制實施問題，本文給出了均衡狀態條件。在均衡條件下，FOA機制不能有效地促使參與人出價收斂，從而某種意義上不能實現設計者減輕激冷效應的意圖。因為國內沒有這方面的實證數據，所以只是給出了理論上的證明。但很顯然，本文的假設條件是可以放松的，例如風險中性以及零和博弈的假設，這也是本文可以繼續拓展的地方。另外，考慮參與人和仲裁者的關系，一個被稱為樂觀主義的假設是有道理的。即參與人都樂觀地估計仲裁者的偏好分布中值更靠近己方的出價。針對實證的考慮，仲裁者是否系統地偏向于某一方參與人也是值得研究的。這一點，國外的FOA機制使用相對成熟，其經驗值得我們借鑒。

〔1〕Stevens，C．M．Is Compulsory Arbitration Compatible with Bargaining?〔J〕．Industrial Relations，1966，5，38－52．

〔2〕Long，G．＆Feuille，P．Final Offer Arbitration:“Sudden Death”in Eugene〔J〕．Industrial and Labor Relations Review，1974，27(2):186－203．

〔3〕Nelson，N．E．Final－Offer Arbitration:Some Problems〔J〕．Arbitration Journal，1975，30，50－58．

〔4〕Crawford V．P．On Compulsory－Arbitration Schemes〔J〕．Journal of Political Economy，1979，87(1):131－159．

〔5〕Farber，H．S．An Analysis of Final－Offer Arbitration〔J〕．Journal of Conflict Resolution，1980，24，683－705．

〔6〕Crawford，V．P．A Comment on Farber’s Analysis of Final－Offer Arbitration〔J〕．Journal of Conflict Resolution，1982，26(1)，157－160．

〔7〕Brams，S．J．and Merrill S．Equilibrium Strategies for Final－Offer Arbitration:There Is No Median Convergence〔J〕．Management Science，1983，29(8)，927－941．

〔8〕Brams，S．J．and Merrill S．Binding Versus Final－Offer Arbitration:A Combination Is Best〔J〕．Management Science，1986，32(10)，1346－1355．

〔9〕Wittman，D．Final－Offer Arbitration〔J〕．Management Science，1986，32(12)，1551－1561．

〔10〕Samuelson，W．F．Final－Offer Arbitration under Incomplete Information〔J〕．Management Science，1991，37(10)，1234－1247．

〔11〕Hurley，W．J．Effects of Multiple Arbitrators on Final－Offer Arbitration Settlements〔J〕．European Journal of Operational Research，2003，145(3)，660－664．

〔12〕Zeng，D．，Nakamura，S．and Ibaraki，T．Double－Offer Arbitration〔J〕．Mathematical Social Science，1996，31(3)，147－170．

〔13〕Zeng，D．An Amendment to Final－Offer Arbitration〔J〕．Mathematical Social Sciences，2003，46(1)，9－19．

〔14〕Zeng，D．How Powerful Is Arbitration Procedure AFOA? 〔J〕．International Review of Law and Economics，2006，26(2)，227－240．

〔15〕Ashenfelter，O．and Bloom，D．Models of Arbitrator Behavior:Theory and Evidence〔J〕．American Economic Review，1984，74(1)，111－125．

〔16〕Ashenfelter，O．，Currie J．，Farber H．S．＆ Spiegel M．An Experimental Comparison of Dispute Rates in Alternative Arbitration Systems〔J〕．Econometrica，1992，60(6)，1407－1433．

〔17〕Dickinson，D．L．The Chilling Effect of Optimism:The Case of Final－Offer Arbitration〔J〕．The Journal of Socio－Economics，2006，35(1)，17－30．

〔18〕張文．國有股減持與市場仲裁的獨立性〔J〕．財貿研究，2002，(5)．

〔19〕李小平．價格聽證:仲裁模型與擴展解釋－以我國首次鐵路春運價格聽證為例〔J〕．重慶工學院學報，2005，(6)．

〔20〕苑志勇，陳鐵英，羅云鋒．基于Nash均衡的電力市場競價策略分析〔J〕．華中科技大學學報 (自然科學版)，2005，(1)．

〔21〕陳偉，王壬，周曉陽．雙邊電力市場的最后要價仲裁模型〔J〕．水電能源科學，2006．(3)．

〔22〕郭勇，熊靖．基于社區公共行政的博弈分析〔J〕．當代財經，2007，(5)．

(責任編輯:王云川)