《勾股定理》教學(xué)案例分析

摘 要：基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的教與學(xué)可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，借助幾何畫板幫助學(xué)生從動(dòng)態(tài)中去觀察、探索、發(fā)現(xiàn)對(duì)象之間的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系，使學(xué)生通過(guò)計(jì)算機(jī)從“聽(tīng)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白鰯?shù)學(xué)”。

關(guān)鍵詞：勾股定理；課程整合；網(wǎng)絡(luò)環(huán)境教與學(xué)；動(dòng)手操作

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2013）08-0053-04

背景介紹

本節(jié)課選自冀教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十六章第一節(jié)，是一堂數(shù)學(xué)與信息技術(shù)整合課。去年9月份石家莊市教委組織展開(kāi)信息技術(shù)與學(xué)科整合錄像課案例評(píng)選，我有幸承擔(dān)了這一項(xiàng)任務(wù)，通過(guò)構(gòu)思、備課、選材等一系列的準(zhǔn)備工作向領(lǐng)導(dǎo)和老師進(jìn)行了公開(kāi)展示，受到好評(píng)，并獲得了市級(jí)一等獎(jiǎng)。這項(xiàng)工作雖已結(jié)束，但這節(jié)課給我的啟發(fā)與思考遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有結(jié)束，它對(duì)我是一次大膽的嘗試，更是一種磨礪，我愿將這些經(jīng)歷與大家分享。

情景再現(xiàn)

一、新課引入

師：“同學(xué)們，如果哪一天你們遇到了外星人，你會(huì)怎樣與他們交流呢？”

學(xué)生們熱情高漲：

“我會(huì)唱一首歌，音樂(lè)無(wú)國(guó)界嘛！”

“我會(huì)跟他打手語(yǔ)！”

“我會(huì)給他畫畫，這個(gè)會(huì)比較形象，好接受吧！”

師：我們的數(shù)學(xué)家華羅庚也曾建議用這幅圖片作為與外星人交流的語(yǔ)言。如果宇宙人是 “文明人”，那么他們一定會(huì)識(shí)別這種語(yǔ)言的，你知道為什么嗎？他想用這幅圖傳遞怎樣的信息呢？讓我們穿越到2500年前去追隨一位數(shù)學(xué)大師的腳步，開(kāi)始我們今天的探索之旅吧！

師：畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家。相傳在2500年以前，他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面排列整齊，在等待宴會(huì)開(kāi)始的時(shí)間，他拿著筆在地上畫了一個(gè)三角形，并分別以這個(gè)三角形的三邊為邊做了三個(gè)正方形，這時(shí)他驚奇地發(fā)現(xiàn)這三個(gè)正方形的面積之間存在著某種數(shù)量關(guān)系。你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系嗎？

生：SP+SQ=SR

師：這里的三角形是一個(gè)什么三角形呢？

生：直角三角形

生：等腰直角三角形

師：如果只是一般的直角三角形，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？

畢達(dá)哥拉斯又畫了一個(gè)直角三角形，并進(jìn)行了一系列問(wèn)題的思考。

如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，每個(gè)小方格子都是邊長(zhǎng)為1的正方形。

（1）Rt△ABC的三邊a，b，c各是多少？

a=3 b=4 c=5

（2）正方形P、Q、R的面積各是多少？

SP=9 SQ=16 SR=25

（3）正方形P、Q、R的面積之間有怎樣的關(guān)系？

SP+SQ=SR

（4）Rt△ABC的三邊a，b，c有怎樣的關(guān)系？

a2+b2=c2

此時(shí)的結(jié)論還成立嗎？你還有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)SP+SQ=SR，還得到a2+b2=c2.

這個(gè)三邊的數(shù)量關(guān)系是直角三角形特有的數(shù)量關(guān)系嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生第一次在計(jì)算機(jī)房上數(shù)學(xué)課，很新奇也很熱情，我利用故事借助圖片和對(duì)外星人的探索引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想問(wèn)題的答案，可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，營(yíng)造探索問(wèn)題的氛圍，同時(shí)讓學(xué)生親身體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。在問(wèn)題情境中引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)問(wèn)題的意識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)地帶著問(wèn)題在實(shí)驗(yàn)中去感受數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)。

二、潛能開(kāi)發(fā)，自主探究

學(xué)生自然想通過(guò)實(shí)驗(yàn)嘗試。這時(shí)，我及時(shí)地給學(xué)生自己操作的機(jī)會(huì)，打開(kāi)網(wǎng)站進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，操作一。

操作與探究

操作一（自主操作）

1.直角三角形的三邊有什么關(guān)系呢？

2.銳角三角形和鈍角三角形三邊之間也滿足上述的關(guān)系嗎？

點(diǎn)擊操作

利用幾何畫板，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作。可以隨意改變?nèi)切蔚倪呴L(zhǎng)，同時(shí)能計(jì)算出a2+b2與c2的值。

拉動(dòng)點(diǎn)A、B或C可改變?nèi)切蔚男螤?/p>

a2=26.78厘米2 c2=16.49厘米2

a2+b2=39.23厘米2 a2+b2=57.81厘米2

師：通過(guò)實(shí)驗(yàn)，你能得到什么結(jié)論？

生：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，但在銳角三角形和鈍角三角形中不成立。

師：這個(gè)結(jié)論盡管是通過(guò)多次試驗(yàn)得到的，但要說(shuō)明它對(duì)于任意的直角三角形都成立，還需要進(jìn)行證明。

師：首先我們要明確，在什么圖形中要證明什么結(jié)論？

生：在直角三角形中證明a2+b2=c2.

[設(shè)計(jì)意圖]本環(huán)節(jié)在學(xué)生動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上進(jìn)行交流，學(xué)生通過(guò)合作交流，探索發(fā)現(xiàn)，思維碰撞獲得對(duì)數(shù)學(xué)最深切的感受，體會(huì)動(dòng)手創(chuàng)造之樂(lè)，發(fā)展思維能力，富有成就感。

師：怎么證明呢？（學(xué)生很茫然）這個(gè)證明有點(diǎn)難度，讓我們看看圖中的a、b、c分別表示什么？

生：直角三角形的三邊長(zhǎng)。

師：a2、b2、c2表示邊長(zhǎng)的平方，由邊長(zhǎng)的平方你們能聯(lián)想到什么圖形呢？

生：正方形。

生：正方形的面積。

師：你又怎么理解這個(gè)等式呢？

生：兩個(gè)小正方形的面積之和等于一個(gè)大正方形的面積。

師：那我們一起來(lái)做個(gè)拼圖游戲吧！看你能否從拼圖中找到證明這個(gè)結(jié)論的方法！

同學(xué)們打開(kāi)網(wǎng)站中的操作二。

操作二（小組合作）

1.題目中給了若干個(gè)全等的直角三角形，請(qǐng)選擇合適的直角三角形的數(shù)量，拼成正方形。

2.通過(guò)計(jì)算拼成的面積，驗(yàn)證我們的猜想a2+b2=c2，并把自己的想法與同伴交流。

點(diǎn)擊操作

學(xué)生可以選擇用幾何畫板操作，也可以選用自己準(zhǔn)備的全等的直角三角形操作。

拖動(dòng)三角形標(biāo)有字母的頂嗲如A，B，C，D等可以使它們所在的三角形旋轉(zhuǎn)；拖動(dòng)任意一邊可以平移三角形。

展示成果：

我及時(shí)的表?yè)P(yáng)：同學(xué)們的動(dòng)手實(shí)踐能力很強(qiáng)，通過(guò)拼圖的方法證明了我們剛才的結(jié)論的正確性，同時(shí)我們利用幾何圖形證明了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系這一數(shù)的結(jié)論，體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合。

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)多種方式的拼圖和證明方法的探索，可充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增強(qiáng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和歸納、概括的思維能力。充分利用了初中學(xué)生的好奇心和好勝心，給靜態(tài)的知識(shí)注入了活力，同時(shí)在課堂上增添了觀察、探究等可形成能力的新因素。這樣不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，溝通相關(guān)知識(shí)，而且還能培養(yǎng)學(xué)生觀察、動(dòng)手實(shí)踐的能力。另外，在整個(gè)拼圖過(guò)程中，學(xué)生自始至終處于主體地位上，老師只是他們的合作學(xué)習(xí)伙伴，在巡視的同時(shí)，給個(gè)別小組以適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)的教育思想，有利于學(xué)生在建構(gòu)的環(huán)境中，真正主動(dòng)地建構(gòu)自己的理解。

師：同學(xué)們，我們剛剛通過(guò)觀察直角三角形有了一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，并通過(guò)動(dòng)手操作肯定了我們的發(fā)現(xiàn)，還用拼圖的方法證明了這個(gè)結(jié)論，這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的勾股定理。

活動(dòng)一：為什么叫勾股定理呢？請(qǐng)同學(xué)們從史料中去尋找答案吧！

學(xué)生閱讀網(wǎng)站中的資料，并請(qǐng)學(xué)生自己講述名稱的由來(lái)。同時(shí)還介紹了自己感興趣的別名。

活動(dòng)二：勾股定理的證明方法很多，有500多種，是任何定理都無(wú)法達(dá)到的，從網(wǎng)站中找到自己感興趣的證明方法，講給同學(xué)們聽(tīng)。

總統(tǒng)證法 青朱出入圖 無(wú)字證明

達(dá)芬奇的證明

在探究青朱出入圖時(shí)感受到了我國(guó)古人的智慧，無(wú)字證明讓同學(xué)們驚嘆不已！達(dá)芬奇的一幅畫讓我們?cè)谙硎苊赖耐瑫r(shí)證明了定理。

活動(dòng)三：勾股定理的證明方法很多，是世界人民智慧的結(jié)晶，人們用各種各樣的方式表達(dá)著對(duì)勾股定理的重視和喜愛(ài)。請(qǐng)同學(xué)們和我一起來(lái)了解勾股定理的地位和應(yīng)用。

紀(jì)念郵票圖案中有勾股定理，數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)中有勾股定理，大禹治水中有勾股定理，制圖中，物理學(xué)中都有勾股定理的影子。

活動(dòng)四：感受美麗的勾股樹(shù)。

激發(fā)學(xué)生課下繼續(xù)探究的欲望，把課堂延伸到課外。

[設(shè)計(jì)意圖]這是本節(jié)課的核心，充分發(fā)揮了技術(shù)整合課的優(yōu)勢(shì)，通過(guò)網(wǎng)站資料同學(xué)們進(jìn)行了大量閱讀，開(kāi)闊了視野，吸收了大量的新信息和新知識(shí)，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和對(duì)勾股定理較為全面的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)有了質(zhì)的飛躍。

三、鞏固新知，學(xué)以致用

活動(dòng)五：

勾股定理能幫我們解決哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？

1.求下圖中字母A代表的正方形的面積。

2.在Rt△ABC中， ∠C=90°.

（1）若b=6，a=8，則c=_____.

（2）若b=15，c=17，則a=_____.

（3）已知： b：a=3：4，c=15，求a、b.

[設(shè)計(jì)意圖]本環(huán)節(jié)是在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下進(jìn)行的，是將大量的關(guān)于勾股定理的材料整理、設(shè)計(jì)成模擬網(wǎng)頁(yè)的形式，學(xué)生可以隨意點(diǎn)擊網(wǎng)頁(yè)上的想要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，通過(guò)獨(dú)立學(xué)習(xí)、小組合作探究加深對(duì)勾股定理的了解。在這種網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下“人機(jī)互動(dòng)”的過(guò)程中，信息網(wǎng)絡(luò)成為學(xué)生認(rèn)知、探究的工具，培養(yǎng)了學(xué)生的信息素養(yǎng)和解決問(wèn)題的能力。

四、結(jié)束語(yǔ)

本節(jié)課我們追隨畢達(dá)哥拉斯的腳步體驗(yàn)了勾股定理的發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，驗(yàn)證的過(guò)程，了解了關(guān)于勾股定理的很多史料和相關(guān)知識(shí)。勾股定理的應(yīng)用非常廣泛，它是聯(lián)系數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一個(gè)定理，是數(shù)形結(jié)合的最初體現(xiàn)，自從我國(guó)古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)勾股定理后，它對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的作用和影響，我們不僅要為之自豪，更要切實(shí)學(xué)好它。

五、關(guān)于教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

教材分析

勾股定理是幾何學(xué)中的重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系。它在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起到重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用。學(xué)生通過(guò)對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對(duì)直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解。

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察事物、分析事物能力，理解并掌握勾股定理及其證明，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。

過(guò)程與方法目標(biāo)：在學(xué)生經(jīng)歷“觀察——猜想——質(zhì)疑——實(shí)驗(yàn)——驗(yàn)證——?dú)w納”勾股定理的過(guò)程中，發(fā)展推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的思想。

情感與態(tài)度目標(biāo)：通過(guò)對(duì)勾股定理認(rèn)識(shí)發(fā)展歷史的了解，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；在探究活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神。

重點(diǎn)：探索和證明勾股定理。

難點(diǎn)：用拼圖方法證明勾股定理。

教學(xué)設(shè)計(jì)思想

1.教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)由淺入深，層層遞進(jìn)，滲透數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想；

2.重點(diǎn)放在勾股定理發(fā)現(xiàn)的探究過(guò)程和驗(yàn)證過(guò)程。采取小組合作的方式，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力的同時(shí)，學(xué)會(huì)合作交流。

3.從整個(gè)文化背景看，勾股定理蘊(yùn)藏著豐富的文化底蘊(yùn)，關(guān)于勾股定理的證法已經(jīng)有500余種，這些證法展示了不同的文化背景的思維方式，同時(shí)也閃爍著人類自身智慧的光芒。在認(rèn)識(shí)古代文明的數(shù)學(xué)成就的同時(shí)，通過(guò)不同的數(shù)學(xué)思想方法的對(duì)比，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維，學(xué)會(huì)欣賞豐富多彩的數(shù)學(xué)文化。

媒體設(shè)計(jì)思路

蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。而在青少年的精神世界中，這種需要特別強(qiáng)烈。”良好的教學(xué)情境，能使學(xué)生迅速地進(jìn)入最佳學(xué)習(xí)狀態(tài)。利用多媒體教學(xué)的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性，在課前準(zhǔn)備中，我按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從生活中挖掘素材，在情境中激發(fā)興趣，利用多媒體展示讓學(xué)生親身體會(huì)畢達(dá)哥拉斯當(dāng)初發(fā)現(xiàn)勾股定理的過(guò)程，同時(shí)通過(guò)幾何畫板給學(xué)生一個(gè)操作的平臺(tái)，操作簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，學(xué)生很容易上手。同時(shí)又利用幾何畫板讓學(xué)生親自動(dòng)手操作拼圖，做到實(shí)實(shí)在在地觸摸數(shù)學(xué)，真正體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變。讓學(xué)生親身經(jīng)歷探究過(guò)程，經(jīng)歷知識(shí)的生成過(guò)程，體驗(yàn)創(chuàng)造和成功的樂(lè)趣。

在信息社會(huì)，信息技術(shù)與學(xué)科的整合必將帶來(lái)教育的深刻變化，我利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)展示給學(xué)生更多的信息。了解勾股定理的歷史、證明方法、地位及應(yīng)用，讓學(xué)生在閱讀中逐步明白勾股定理是世界人民智慧的結(jié)晶；在眾多的證明方法帶給自己的震撼面前感覺(jué)到勾股定理的魅力；在了解了它的應(yīng)用后體會(huì)到了人們對(duì)于勾股定理的喜愛(ài)和重視。

總之，本節(jié)課的教學(xué)中充分利用多媒體輔助教學(xué)手段，一方面，發(fā)揮現(xiàn)代教育裝備的簡(jiǎn)潔、高效、多重交互等特性功能；另一方面，更有利于抓住、解決教學(xué)中的重、難點(diǎn)，從而最大限度的提高課堂教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]王秀華.探究初中數(shù)學(xué)運(yùn)用信息技術(shù)輔助教學(xué)的優(yōu)勢(shì)[J].學(xué)苑教育，2010，7.

[2]張海林.信息技術(shù)與初中數(shù)學(xué)教學(xué)整合的研究[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2007.