數形結合思想在線性規劃中的應用

閆鳳芹

摘要：應用線性規劃知識判斷平面區域，求目標函數的最值在高考中常以選擇或填空的形式出現，都是以中檔題為主，解決這類問題的關鍵是靈活運用數形結合的數學思想，將代數問題轉化為幾何問題，借助圖像的生動直觀來闡明枯燥的數的關系。教學中教師要注意創設問題情境，調動學生的學習熱情，促進他們積極主動地思考，通過實踐，總結結論，實現課堂教學的高效化。

關鍵詞：數形；教學；規劃；案例；應用

一、請同學們畫出下列不等式表示的平面區域

1.①x+y-2≥0②x+y-2≤0

2.若將上述不等式中的等號去掉，結論如何

設計目的：

1.理解數與形的轉化，體會數形結合的思想。

2.通過圖像理解每個不等式所表示的區域的區別與聯系。

教學過程：首先讓學生在電腦上用幾何畫板畫直線x+y-2=0（無電腦的學?？勺寣W生在練習本上畫）。引導他們發現一條直線將平面分為兩部分，每一部分的點的坐標代入直線方程所得到的不等式是一樣的，因此到底哪一部分表示x+y-2≥0，只需取一點驗證就行，從而總結結論：畫二元一次不等式，Ax+By+C≥0（≤0）的平面區域常采用“直線定界，選點定域”的方法，不等式有等號時，直線畫成實線，無等號時，直線畫成虛線。

二、畫出下列不等式組3≤2x+y≤96≤x-y≤9 表示的平面區域

設計目的：借助圖像的直觀性，將代數問題幾何化，使學生清楚畫二元一次不等式組所表示的平面區域要注意尋找各個不等式所表示的平面區域的公共部分。

教學過程：借助多媒體教學手段做出四條直線：2x+y=3，2x+y=9，x-y=6，x-y=9，分別找不等式所代表的平面區域取其交集，最后得到結論：該不等式組所表示的平面區域為平行四邊形。

三、（2011新課標高考）

若變量滿足約束條件3≤2x+y≤96≤x-y≤9 ，則z=x+2y的最小值是

設計目的：借助高考題，使學生領會求線性目標函數的最值體現的數形結合思想。

教學過程：

1.做出可行域即不等式組所表示的平面區域。

2.理解的幾何意義。

3.做出目標函數所表示的平行直線系中的特殊直線，并且將之平移，在可行域中找到最優解所對應的點。

4.求出線性目標函數的最大值或最小值。

5.總結結論：線性目標函數的最優解一般在可行域的頂點或邊界上取得。當表示目標函數的直線與可行域的邊界平行時，其最優解有無數個。

四、求取值范圍

1.已知函數滿足不等式組x≥1y≥0x-y≥0，則■的取值范圍是

（ ）

A.[-■，1） B.[-1，1） C.（-1，1） D.[-■，1]

2.已知實數滿足不等式組x+y-3≥0x-y+1≥0x≤2，求z=■的最值。

設計目的：近幾年高考有關線性規劃的考題中，有許多試題是結合其他知識點的綜合題，在作出可行域后，要充分利用代數式本身的幾何意義，解決其最值問題。

教學過程：

1.引導學生理解■所表示的幾何意義，即動點（x，y）與定點（-1，1）連線的斜率，而■的幾何意義即動點（x，y）與定點（0，0）的距離。

2.引伸：

若1題改為求■最值又如何處理呢？

運用配湊手段： ■=■=1+■實質上仍然研究斜率的變化。

若2題改為求最值又該如何解呢？

通過以上教學片斷可使學生清楚利用線性規劃的知識理解高中數學中非線性函數的最值問題，主要是利用其代數式的幾何意義運用數形結合的思想加以解決。利用線性或非線性函數的幾何意義，通過作圖解決最值問題既形象又直觀，既可提高學生學習的熱情，又使學生掌握了知識。

參考文獻：

陽志長，還黑板給學生，構建高效課堂，中學數學教學參考（上旬） 2011.7

【責編 張偉飛】