滲透化歸思想， 提高學生的化歸能力

王光燦

摘 要： 化歸思想是數學的靈魂，它在培養學生的數學素質和解題能力等方面起著重要的作用.本文主要從“把復雜的問題化歸為簡單問題”、“把抽象的問題化歸為直觀問題”、“把陌生的問題化歸熟悉問題”、“把無限的問題化歸為有限問題”四個方面介紹如何應用化歸思想研究和解決問題，培養學生思維的靈活性、敏捷性，提高學生的化歸能力.

關鍵詞： 數學思維 化歸能力 化歸思想

有位數學家把化歸思想解釋為“把面臨的問題化歸為已經解決過的問題”.運用化歸思想方法靈活地解決有關數學問題，是提高思維能力的有效保證.我們應該在平時的教學過程中注意培養化歸意識.化歸思想具有多向性、層次性、重復性等特征.多向性體現在：①問題條件的變換；②問題結論的變換；③問題內部結構的變換；④問題外部形勢的變換.層次性體現在：從微觀上看，化歸能夠運用各種方法解決具體問題；從宏觀上看，化歸能夠應用于溝通數學各分支學科的聯系，實現學科之間的轉化.在解決具體問題時，可以多次地使用化歸，從而達到解決問題的效果，這就是化歸思想的重復性.在解決問題時，引導學生向基本形式、向特殊形式、向低層次轉化.滲透各種化歸的技能、技巧，進一步提高解題能力.下面筆者就數學教學實踐中如何實現化歸思想的滲透，提高學生的化歸能力談談做法，以期拋磚引玉.

一、把復雜的問題化歸為簡單問題

把復雜的問題化歸為簡單問題通常是指把繁瑣的、高緯的問題轉化為比較簡單的、低緯的易于找到解決問題方向的程序，達到使原問題轉化為在已有知識范圍內更容易解決問題的目的.等價轉化前后是充要條件，所以要盡可能使轉化具有等價性.實施的方法主要有特殊值法、換元法、降緯法等.

筆者認為運用逆向思維，問題可以等價地看做是將取出的三個數再插入余下的7個數的8個空中，那么問題轉化為求從8個空位中任意選3個的方法數，為C■■=56，選B.本題體現了“正難則反”，正與反的轉化.解決某些問題，如果從正面無法解決或者很難解決，則可考慮從相反的方向去探究，反面得到解決正面亦能得到解決.

對于這一類的問題，已知條件不好理解，看上去比較復雜，感覺無從下手.此時我們可以運用“把復雜的問題化歸為簡單問題”的方法，進行解決.如第一道例題有時候我們可以把條件進行轉化；如第二道例題有時候我們可以把結論進行轉化；如第三道例題體現了“逆向思維”，正面出發比較難可能反面出發就會比較簡單即正難則反的思想，等等.在教學中滲透化歸思想，有利于增強學生思維的靈活性、創造性，提高學生的分析問題和解決問題的能力、邏輯思維能力、化歸能力等.

二、把抽象的問題化歸為直觀問題

把抽象的問題化歸為直觀問題就可以形象地把握問題中各對象之間的關系，進而使待解決的問題更容易得到解決.利用函數圖像或數學結果的幾何意義，將數的問題（如解方程、解不等式、求最值、求取值范圍等）與某些圖形結合起來，利用幾何直觀性，再輔以簡單計算，確定正確答案的方法.這種解法貫穿數形結合思想，每年高考均有很多題目可以用數形結合思想解決，既簡捷又迅速.常用的實施方法有數形結合法、構造法等.

作出曲線的圖像如左，因為直線y=2x+m與其有兩個交點，則m>4或m<-4，選A.

對于這一類的問題，已知條件比較抽象的，但是已知條件又可以跟某些圖形結合起來的，可以運用“把抽象問題化歸為直觀問題”的方法，通過“以形助數”、“以數賦形”使這一類抽象的數學問題直觀化、生動化，變抽象思維為形象思維，體現了轉化和化歸的思想，有助于把握數學問題的本質.從而提高學生的形象思維能力、數學建模能力、化歸能力等.

三、把“陌生”的問題化歸為“熟悉”問題

把“陌生”的問題轉化為“熟悉”的問題，從而利用我們已掌握的知識和經驗，使原問題得到解決.常用的方法有調整法、擴充法、分解法等.

例如：曲線C：y=cosx（0≤x≤2π）與直線y=1圍成的平面圖形的面積是（ ）

A.1 B.2 C.π D.2π

根據余弦曲線的對稱性，此題相當于是求直線y=1在0≤x≤2π之間與x軸圍成的矩形的面積.畫圖觀察，即把“曲邊梯形”比較陌生的問題轉化為“矩形”比較熟悉的問題.

可以將此正四面體補成一個正方體，正四面體和正方體有同一個外接球，因為正四面體的棱長為■，所以正方體的棱長為1，所以球的半徑為■，所以球的表面積為3π.解法中，把“正四面體的外接球”比較陌生的問題轉化為“正方體的外接球”比較熟悉的問題.

對于這一類的問題，就是條件比較陌生的，好像感覺從來沒有見過比較陌生的問題，可以運用“把‘陌生的問題化歸為‘熟悉問題”的方法進行解決.如第一道例題是求曲邊梯形的面積但是根據余弦曲線的對稱性，就可以把它轉化求大家熟悉的矩形的面積，問題容易解決.在教學中滲透化歸思想，有利于增強學生思維的創造性、廣闊性、靈活性等，提高學生空間想象能力、化歸能力等.

四、把“無限”的問題化歸為“有限”問題

把“無限”的問題化歸為“有限”問題是指通過對問題某種極端性的考查，找到解決問題的捷徑，從而找到一般情況下的性質，進而找到解決問題的途徑和方法，它不但可以避開抽象、復雜的運算，還降低解題難度，優化解題過程.它的思想就是“從近似到精確，從有限到無限，從量變到質變”.常用的方法有極限法、逼近法、調整法等.

對于這一類的問題，用常量數學的方法難以解決或者無法解決，用“把‘無限問題化為‘有限問題的方法”解決卻很容易.它可以使問題化難為易，化繁為簡，提高解題效率，從而收到事半功倍的效果.通過這種化歸思想的滲透，還可以提高學生豐富的想象力，邏輯推理能力，化歸能力，等等.

總之，在教學中運用上述方法滲透化歸思想，有利于提高學生的化歸能力.化歸思想不僅應用于解題中，而且滲透在教材的各章各節中，各概念系統、定理系統的建立，以及公式系統的推倒都是通過各種轉化而成的.化歸思想的核心就是在認真分析新問題的基礎上開展豐富的想象力，回憶起相關的舊知識，發散思維，順利利用已學過的知識、已學過的方法及經驗解決新問題.這種轉化有其目的性和方向性，主要體現在“由已知到未知”、“由難到易”、“由繁到簡”等.化歸的入手點在于發現新問題和舊問題之間的類似，在于抓住新老問題之間的真正的、規律性的聯系.在整個教學過程中要善于挖掘、體會這些思想方法，有意識地、恰當地講解和滲透，這樣才能逐步幫助學生形成科學的方法論，用有限的知識解決無限的新問題，使他們終生獲益.

參考文獻：

[1]代學德.中學數學化歸思想方法及其教學研究.華中師范大學，2006.

[2]許青林.中學數學化歸思想及其應用.呂梁高等專科學校學報，2007.

[3]林珧.讓學生領略數學中的美.成才之路，2010.

[4]付愛民.淺談中學數學教學中的美學教育.2011.