用鏈?zhǔn)綀D理解隱函數(shù)存在定理

劉亞婷 黃激珊

摘 要： 鏈?zhǔn)綀D是我們?cè)谇蠖嘣獜?fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)最常用的一種圖形，用鏈?zhǔn)綀D我們可以把復(fù)合函數(shù)中的因變量和自變量的函數(shù)關(guān)系明朗化，從而更好地求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).然而，作為鏈試圖的應(yīng)用，我們還可以用它來(lái)理解隱函數(shù)存在定理，通過(guò)畫出鏈?zhǔn)綀D幫助學(xué)生更深刻地理解隱函數(shù)存在定理中的求導(dǎo)公式，使學(xué)生接受起來(lái)輕松自如.

關(guān)鍵詞： 鏈?zhǔn)綀D 隱函數(shù) 存在定理

函數(shù)分為顯函數(shù)和隱函數(shù)，例如：y=cosx+2x+3，像這種把因變量放在等號(hào)的一端，而把自變量和常數(shù)放在等號(hào)的另一端的函數(shù)關(guān)系式，就稱為顯函數(shù).例如：x+y-1=0，像這種把因變量和自變量全放在等號(hào)的一端，而另一端為常數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，就稱為隱函數(shù).我們?cè)趯?duì)隱函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，常常把隱函數(shù)化為顯函數(shù)之后再求導(dǎo)，但在實(shí)際問(wèn)題中，將隱函數(shù)化為顯函數(shù)是有困難的，甚至是不可能的.因此我們將介紹一種方法，不管隱函數(shù)能否化為顯函數(shù)，都可以直接由方程求出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).在對(duì)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，常常用鏈?zhǔn)綀D表示出多元復(fù)合函數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即可輕松求出所需的導(dǎo)數(shù)，同樣也可以將隱函數(shù)看成是多元復(fù)合函數(shù)，利用鏈?zhǔn)綀D更輕松地理解隱函數(shù)的求導(dǎo)公式.

隱函數(shù)存在定理1：設(shè)函數(shù)F（x，y）在點(diǎn)P（x，y）的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且F（x，y）=0，F(xiàn)（x，y）≠0，則方程F（x，y）=0在點(diǎn)（x，y）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f（x），它滿足條件y=f（x），并且有=-.

在此定理中，由于方程F（x，y）=0所確定的函數(shù)為y=f（x），因此可用鏈?zhǔn)綀D表示出F（x，y）的函數(shù)關(guān)系，即：

從此圖可知，在函數(shù)F（x，y）中，含有兩個(gè)變量x，y，需求偏導(dǎo)，而在y=f（x）中，只含有一個(gè)變量x，需求全導(dǎo).因此將方程的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得F+F=0，因?yàn)镕連續(xù)，且F（x，y）≠0，所以存在（x，y）的一個(gè)鄰域，在這個(gè)域鄰內(nèi)F≠0，從而有=-.

例1：設(shè)siny+e-xy=0，求.

解：設(shè)F（x，y）=siny+e-xy，則F=e-y，F(xiàn)=cosy-2xy，從而當(dāng)F≠0時(shí)，=-=.

隱函數(shù)存在定理可以推廣到多元函數(shù)的情形，一個(gè)二元方程F（x，y）=0可以確定一個(gè)一元隱函數(shù)y=f（x），那么一個(gè)三元方程F（x，y，z）=0就可以確定一個(gè)二元隱函數(shù)z=f（x，y），從而有如下定理：

隱函數(shù)存在定理2：設(shè)函數(shù)F（x，y，z）在點(diǎn)P（x，y，z）的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且F（x，y，z）=0，F(xiàn)（x，y，z）≠0，則方程F（x，y，z）=0在點(diǎn)（x，y，z）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f（x，y），它滿足條件z=f（x，y），并且有=-，=-.

在此定理中，由于方程F（x，y，z）=0所確定的函數(shù)為z=f（x，y），故可用鏈?zhǔn)綀D表示出F（x，y，z）的函數(shù)關(guān)系，即：

由此圖可知，在函數(shù)F（x，y，z）中含有三個(gè)變量x，y，z，需求偏導(dǎo)，在z=f（x，y）中也含有兩個(gè)變量x，y，同樣求偏導(dǎo)，因此將方程F（x，y，z）=0的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得：F+F=0，F(xiàn)+F=0，因?yàn)镕連續(xù)，且F（x，y，z）≠0，所以存在點(diǎn)（x，y，z）的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi)F≠0，于是有=-，=-.

例2：求由方程e-2z+e=0所確定的偏導(dǎo)數(shù)，.

解：令F（x，y，z）=e-2z+e，則F=-2+e，F(xiàn)=-ye，F(xiàn)=-xe從而=-=，=-=.

隱函數(shù)存在定理，可以推廣到方程組的情形，即含有四個(gè)未知元的兩個(gè)方程構(gòu)成的方程組F（x，y，u，v）=0

G（x，y，u，v）=0可以確定兩個(gè)二元函數(shù)u=u（x，y），v=v（x，y），從而有如下定理：

隱函數(shù)存在定理3：設(shè)F（x，y，u，v），G（x，y，u，v）在點(diǎn)P（x，y，u，v）的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又F（x，y，u，v）=0，G（x，y，u，v）=0，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（雅可比式）J==

在點(diǎn)P（x，y，u，v）不等于零，則方程組F（x，y，u，v）=0，G（x，y，u，v）=0在點(diǎn)（x，y，u，v）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u=u（x，y），v=v（x，y），它們滿足條件u=u（x，y），v=v（x，y），并有

=-=-，=-=-，=-=-，=-=-.

在此定理中，由于方程組F（x，y，u，v）=0

G（x，y，u，v）=0所確定的兩個(gè)二元函數(shù)為u=u（x，y），v=（x，y），故可用鏈?zhǔn)綀D表示出它們的函數(shù)關(guān)系，即：

由圖可知：函數(shù)F（x，y，u，v）和G（x，y，u，v）中均含有四個(gè)變量x，y，u，v，需求偏導(dǎo)，u，v中也含有兩個(gè)變量x，y，同樣求偏導(dǎo).于是將方程組F（x，y，u，v）=0

G（x，y，u，v）=0中的兩個(gè)方程的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得：

=0解這個(gè)關(guān)于，的線性方程組，由定理知在點(diǎn)（x，y，u，v）的某一鄰域內(nèi)，系數(shù)行列式J=

G≠0于是可解得，，即：=-，=-.

同理：將方程組F（x，y，u，v）=0

G（x，y，u，v）=0中的兩個(gè)方程的兩邊同時(shí)對(duì)y求導(dǎo)，再解關(guān)于，的線性方程組得：

=-，=-.

例3：求由方程組x+y+z=0

+z=1所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，.

解：由所給方程可知，此方程組確定了兩個(gè)一元隱函數(shù)x=x（z）和y=z（z），將所給方程組中的兩個(gè)方程兩邊分別對(duì)z求導(dǎo)得：

此方程組是關(guān)于，的一個(gè)線性方程組，當(dāng)J=1 1

x y=y-x≠0時(shí)，==，==.

參考文獻(xiàn)：

[1]高等數(shù)學(xué).同濟(jì)大學(xué)第六版.高等教育出版社.

[2]郭運(yùn)瑞，彭躍非.高等數(shù)學(xué).人民出版社.