發現隱藏函數，為此豁然開朗

沈小亮

近幾年，廈門的中考壓軸題考查的都是初中數學的核心知識，如考數形結合思想，函數與方程的思想，轉化的思想，以及良好的作圖習慣等.涉及的基本解題方法和技能包括面積法、銳角三角函數的運算法、坐標法等.壓軸總是難倒了很多學生，因為找不到解決問題的關鍵之處和突破口，更因為有畏難情緒.其實，廈門這幾年中考壓軸題的第（1）小題并沒有為難學生，只是考查了數學的基本知識、基本方法和基本技能，體現了面向全體學生的指導思想.而所謂的壓軸難題，似乎也都能找到題眼——隱藏函數.現解析廈門近三年中考壓軸題，與大家分享.

1.函數隱藏于問題里

例1：（2011年廈門）已知拋物線y=-x+2mx-m+2的頂點A在第一象限，過點A作AB⊥y軸于點B，C是線段AB上一點（不與A、B重合），過點C作CD⊥x軸于點D并交拋物線于點P.（1）若點C（1，a）是線段AB的中點，求點P的坐標；（2）若直線AP交y軸的正半軸于點E，且AC=CP，求△OEP面積S的取值范圍.

分析：（1）根據題意得頂點A的坐標為（2，a），然后設P（1，n）代入x=-，得A點的橫坐標為m，求得函數的解析式，把P點的坐標代入得n=1，從而求得函數解析式；

（2）把拋物線化為頂點式：y=-（x-m）+2，求得其頂點坐標，設C（n，2），然后表示出P（n，-（n-m）+2），根據AC=CP求得m-n的值，然后表示出OB、OE的值，從而表示出△OPE的面積，進而求得面積的取值范圍.

解答：（1）依題意得頂點A的坐標為（2，a），

設P（1，n），據x=-，得A點的橫坐標為m，即m=2，

所以y=x+4x-2，把P點的坐標代入得n=1，

即P點的坐標為（1，1）.

（2）把拋物線化為頂點式：y=-（x-m）+2，

可知A（m，2），設C（n，2），

把n代入y=-（x-m）+2得y=-（n-m）+2，

所以P（n，-（n-m）+2）.

∵AC=CP，

∴m-n=2+（m-n）-2，

即m-n=（m-n），

m-n=0或m-n=1，

又∵C點不與端點A、B重合，

∴m≠n，

即m-n=1，

則A（m，2），P（m-1，1）.

由AC=CP可得BE=AB，

∵OB=2，

∴OE=2-m，

∴△OPE的面積S=（2-m）（m-1）=-（m-）+（1

∴0

點評：第（1）小題抓住中點，由C（1，a）→A（2，a）是十分重要的，而點P橫坐標為1，根據“點在線上就代入，半個坐標也代入”的方法，還要先求拋物線的解析式，根據點A是頂點求得.一切水到渠成.而真正的壓軸第（2）小題，思維的突破口就在問題中“△OEP面積S的取值范圍”，由此可見S是有范圍的，說明S是會變的，那么從函數觀點看它是一個變量，而S的范圍說明它是隨著某個變量變化而變化的，所以它是函數.目標就是寫出S的解析式，至于如何由已知條件從形到數、數形溝通等，都是為達到這個目標服務的.

2.函數隱藏于條件中

例2：（2012年廈門）已知點A（1，c）和點B（3，d）是直線y=kx+b與雙曲線y=（k>0）的交點.（1）過點A作AM⊥x軸，垂足為M，連接BM.若AM=BM，求點B的坐標；

（2）設點P線段AB上，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，并交雙曲線y=（k>0）于點N.當取最大值時，若PN=，求此時雙曲線的解析式.

分析：（1）過B作BQ⊥x軸，由點A（1，c）和點B（3，d）都在雙曲線（k>0）上，得到即c=3d，則A點坐標為（1，3d），根據勾股定理計算出MB=，然后利用AM=BM得到（3d）=2+d，求出d的值，即可確定B點坐標.

（2）由B（3，d）可得到反比例函數的解析式y=，然后利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=-dx+4d，則可設P（t，-dt+4d），則N（t，），表示出PN=-dt+4d-，NE=，再計算==t+t-1，配方得-（t-2）+，由于取最大值，所以t=2，此時PN=-dt+4d-=，解方程得到d的值，即可確定雙曲線的解析式.

解答：（1）如圖，過B做BQ⊥x軸，

∵點A（1，c）和點B（3，d）都在雙曲線y=（k>0）上，

∴1·c=3·d，即c=3d，

∴則A點坐標為（1，3d），

∴AM=3d，

∵MN=3-2=1，BN=d，

∴MB=，

而AM=BM，

∴（3d）+2+d，

∴d=，

∴B點坐標為（3，）.

（2）如圖，把B（3，d）代入y=得k=3d，

∴反比例函數的解析式為y=，

把A（1，3d）、B（3，d）代入y=kx+b得

k+b=3d

3k+b=d，

解得

k=-d

b=4d，

∴直線AB的解析式為y=-dx+4d.

設P（t，-dt+4d），則N（t，），

∴PN=-dt+4d-，NE=，

∴==-t+t-1=-（t-2）+，

當取最大值時，t=2，

此時PN=-dt+4d-=，

∴-2d+4d-=，

∴d=1，

∴反比例函數的解析式為y=.

點評：第（1）小題以反比例函數為載體，“點在函數圖像上，則點的橫縱坐標滿足其解析式”，發現數量關系，秉著未知量越少越好的原則，用正確的字母表示點坐標，再利用勾股定理計算有關線段長度.

第（2）小題解題的關鍵在于條件“當取最大值時”，事實上它就是一個隱藏函數，是存在最大值的隱藏函數.如何用含有字母的代數式表示，是解決本題的關鍵也是難點.這就對較繁運算提出了更高的要求.除了要有全面的觀念及對問題的整體把握外，同時還要注意函數建模在解題過程中的靈活運用.

3.函數藏于“不起眼”處

例3：（2013年廈門）若x，x是關于x-bx+c=0的方程的兩個實數根，且|x|+|x|=2|k|（k是整數），則稱方程x+bx+c=0為“偶系二次方程”.如方程x-6x-27=0，x-2x-8=0，x+3x-=0，x+6x-27=0，x+4x+4=0，都是“偶系二次方程”.

（1）判斷方程x+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并說明理由；

（2）對于任意一個整數b，是否存在實數c，使得關于x的方程x+bx+c=0是“偶系二次方程”，并說明理由.

分析：（1）求出原方程的根，再代入|x|+|x|看結果是否為2的整數倍就可以得出結論.

（2）由條件x-6x-27=0和x+6x-27=0是偶系二次方程建模，設c=mb+n，就可以表示出c，然后根據公式法就可以求出其根，再代入|x|+|x|就可以得出結論.

解答：（1）不是.

解方程得x+x-12=0得x=3，x=-4.

|x|+|x|=3+4=7=2×3.5.

∵3.5不是整數，

∴x+x-12=0不是偶系二次方程.

（2）存在.理由如下：

∵x-6x-27=0和x+6x-27=0是偶系二次方程，

∴假設c=mb+n，

當b=-6，c=-27時，-27=36m+n.

∵x=0是偶系二次方程，

∴n=0時，m=-，

∴c=-b.

∵x+3x-=0是偶系二次方程，

當b=3時，c=-×3.

∴可設c=-b.

對于任意一個整數b，當c=-b時，

△=b-4c=4b.

∵x=，

∴x=b，x=b.

∴|x|+|x|=2b，

∵b是整數，

∴對于任何一個整數b，c=-b時，關于x的方程x+bx+c=0是“偶系二次方程”.

點評：（1）歷年來許多地區的中考題中常有涉及閱讀型的新題型，只要學生讀懂新概念的內涵，解答并不難.本題考查了一元二次方程解法的運用.

（2）考查了根的判別式的運用及數學建模思想的運用，解答本題時根據條件建立函數模型是關鍵.而本題的函數模型竟然隱藏在題目給出的看似“很不起眼”的例子中，需要獨具慧眼.

事實上，發現隱藏的函數，找到解題突破口，并不能靠“碰運氣”，而要以解題者的知識容量為背景，具備的能力為基礎，敏銳的觀察為先導，聯想與分析為武器，應用已有經驗和知識進行再創造，正所謂“冰凍三尺非一日之寒”.

4.對教學的啟示

4.1立足基礎知識，關注核心教學內容.

基礎知識、基本技能和基本方法是初中數學的主要內容，中考也著重考查這些內容.點生成線，線生成面，再復雜的幾何圖形都是由簡單的基本圖形構成的，所以，即使拔高性試題也是對這些基本知識、基本技能和基本方法的考查和再創造.因此教學中，要時刻注意以《課程標準》的要求指導教學，關注知識的再生性，讓學生體會知識產生的過程和其他知識之間的聯系，掌握其中的數學思想方法，加深對數學問題本質的理解.

4.2關注分析解決問題能力的培養.

中考不僅僅有對基本知識、基本技能和基本方法的考查，為了有區分度，綜合大題更多的是考查學生分析解決問題的能力，包括學生的探究、歸納，實際應用、邏輯推理、分析問題、數學建模等方面的能力.而這些能力不是一蹴而就的，這就要求我們在平時的教學中，要立足能力的培養，而不是一味地傳授知識，要學生更多的時間和空間，讓學生參與到教學中，在獲得新知識的過程中鍛煉能力.

4.3強調思想方法，強化歸納意識.

數學思想是數學基礎知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含于數學知識之中，是數學知識的精髓.在教學中，以一定的數學知識為載體，有意識地梳理和歸納問題中的“思想性”和“規律性”，讓學生通過探究感受，體驗知識得到的過程.這樣的教學能使學生真正理解知識，掌握數學思想方法.而將學到的知識和思想方法再進行應用，分析和解決問題，從實踐到理論，再從理論到實踐，使得感性認識上升為理性認識.從而優化了學生的思維品質，提高數學能力，增強學生創新意識.

4.4注重變式，舉一反三.

目前“題海戰術”還普遍存在.雖然學生整天忙著做題，但如果考試的時候出現背景熟悉的題目，稍微改了一下條件或者換了一種的提問方法，學生往往就會束手無策，不知如何下手.事實上，這只能說明學生并沒有真正掌握知識，而只是就題做題，做一題只會一題，而不是會一類題.原因除了學生本身沒有及時總結解題規律和方法外，教師也有需要注意的方面..教師在選取典型題時，不僅要引導學生分析解決問題，更要指出常見錯誤和產生原因，不僅讓學生知其然，更知其所以然.除此以外，要善于以典型例題為原型，導出同類的題目，可能是換條件，可能是換結論，把它們集中在一起，形成一個共同的認知體系.讓學生對不同的立意、不同的解題策略進行歸納總結，變對單一知識點的考查為對多個知識點的考查，從而培養學生的應變能力，提高學生的解題能力.

4.5研究學情，關注學生發展.

承認差異，尊重個體，讓不同層次的學生盡可能地展示自己的才華，是《數學課程標準》倡導的一個基本理念.在教學實踐中，教師會發現用統一的教學方法對待具有不同特點的學生，很難獲得令人滿意的教學效果.總會有一部分學生對教學方法不適應，這就是個體差異，如果缺乏對這些學生的關注，就會打擊他們學習數學的信心.教師要秉著“人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展”的教育理念，做到教學內容分層，課后作業分層，考試評價多樣，等等.

參考文獻：

[1]毛孟杰.捕捉題眼，巧妙轉化[J].中學數學，2010，8.

[2]王賽英.對2010年寧波市中考題壓軸題的探究[J].中學數學，2010，9.

[3]陳祖華.低起點，高立意——從一道中考試題說開去[J].中學數學，2010，11.