探究高中數學新課程中的向量及其教學

高維璽

摘 要：在高中數學新課程中，向量是解析幾何解題時不可或缺的工具。高中數學中加強向量教學不僅能夠提高學生的運算能力，理解數學運算的價值，深入體會數形結合的思想，還有助于學生體驗數學與實際生活的聯系，在高中數學中加強向量教學意義深遠。在簡單闡述了高中數學向量教學價值的基礎上，著重分析了高中數學新課程中向量教學需注意的問題。

關鍵詞：高中數學；新課程；向量教學

一、高中數學向量教學價值分析

向量具有重要的教學價值，在數學、物理以及現代科學等各領域都有重要的應用。在數學中，向量是一個非常重要的工具，向量能夠對位置進行準確的刻畫。同時，向量不僅是幾何的對象，還是代數的對象，不僅可利用向量進行數學運算，同時還可刻畫切線、平面、面積以及體積等幾何對象與度量。此外，還可利用向量求距離與夾角等。在物理中，向量的原型即為矢量，向量能夠準確地刻畫加速度、位移、力等物理量，具有較強的實際意義。在現代科技領域，向量被廣泛地運用于飛船設計以及衛星定位等方面。

二、高中數學新課程向量教學的注意事項

1.在向量教學中，要兼顧其代數性質與幾何意義

（1）注重向量的代數性質

向量的代數性質主要體現在運算意義以及運算律上，在實際的向量教學中，老師要注意引導學生總結數學運算律。例如，在蘇教版數學必修四的向量與實數乘積的運算中，老師要采取適當方法引導學生總結向量與實數的數乘運算滿足的運算結合律λ（μ）a=

（λμ）a以及第一與第二分配律等，讓學生在掌握各運算律的基礎上，了解線性空間的性質，了解數學運算律對于向量運用的意義。

（2）注重向量的幾何意義

利用向量來刻畫幾何對象是向量代數性質幾何意義的重要體現。例如，mn=0的幾何意義體現為向量m與向量n兩者是垂直的，從而將向量的代數運算有效地與其位置關系相聯系，進而將其與直線的關系相聯系。再如，mm的幾何意義表現為向量m長度的平方，從而將向量長度與其數量積運算進行聯系。因此，在高中數學新課程的向量教學中，老師應重點引導學生將向量的幾何意義以及向量代數運算展開聯系，幫助學生更好地理解向量數量積的幾何意義，從而更好地利用向量代數性質對幾何對象進行刻畫，讓學生能夠深刻體會幾何與代數兩者間的聯系。

2.在向量教學中，要注重豐富其物理背景

向量有著豐富的物理背景，老師在高中數學的向量教學中要注重突出這些物理背景，使學生更全面地了解向量。物理量如速度、位移以及力等都是向量的原型，它們與日實際生活聯系緊密，在教學中老師要充分利用這些現實背景。例如，在對蘇教版必修四的《向量的加法運算》進行教學時，老師可通過直觀的位移合成背景的方式導入向量加法運算。如，假設某一物體從L位移到M，接著從M位移到N，那么從L到N的位移就為這兩次位移的結果，將這個確定的總位移視作前兩位移之和是自然的，以此導入向量的加法及其三角形、平行四邊形法則。再如，可運用速度或位移的倍數為背景引入向量與數的乘積運算；運用力做功作為背景引入向量的數量積運算。老師可先為學生創設情境問題如：在物理學中，某一物體在其所受的F力下，在F力方向上產生位移S，那么力F對物體做功為多少呢？然后引導學生進行如下探討：

（1）F與S方向相同時，功的大小為：FS；

（2）力F與位移S兩者產生θ角時，那么F與S方向一致的分力為F1，則F1=Fcosθ，那么該物體在分力F1的方向上有位移S產生，那么此時物體做功為：FScosθ。

在這一教學過程中，老師要讓學生明白，物體所做的功是由力與位移兩個向量決定的，向量的數量積意義就體現于此。

3.在向量教學中，要注重其在數學以及其他科學中的應用

數學中，向量應用廣泛，它既可刻畫幾何對象以及幾何度量的問題，又可以表示重要不等式、三角函數等。例如，ab≤ab是向量數量積中的一個重要的不等式，運用該不等式的關系還可對數學中許多不等式進行證明。又如，在對三角函數進行定義時，可運用向量數量積進行定義。例如，某平面上存在兩個標準正交基e1與e2，a則是這一平面上的向量，標準正交基e1與向量a產生的夾角為α，那么三角函數的定義為：sinα=，cosα=，tanα=。在現代科技領域中，向量還被廣泛應用于設計與操控機器人、設計飛船等。

綜上所述，向量無論是在數學、物理，還是在現代科學技術領域都有廣泛的應用。因此，在高中數學新課程向量教學時，老師要準確對向量定位，并在教學中要注重體現其代數性質以及幾何意義，并著重突出其物理背景，關注它在各領域的應用，全面體現向量的教學價值。

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（作者單位 江蘇省徐州市沛縣中學）