揭示公式本質，發展學生思維能力

王應標

【教材分析】

本節課是蘇教版《數學》必修5第三章第四節“基本不等式”第一課時的內容。《普通高中數學課程標準》（實驗）對基本不等式：≤（a，b≥0）的要求：一是探索并了解基本不等式的證明過程，二是會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題。基本不等式與必修1函數的最值、值域有非常密切的聯系，同時也是不等式證明非常有用的工具之一。因此，本課時內容是本章乃至高中數學的重要基礎內容之一。

【學情分析】

學生已經系統地學習了不等關系和一元二次不等式、一元高次不等式解法等內容，對不等式的性質有了一定的了解。在此基礎上進一步學習基本不等式，為后續基本不等式應用的學習奠定基礎。

【教學目標】

1.探索并了解基本不等式≤（a，b≥0）。通過基本不等式的多種不同表征形式，揭示公式本質。

2.通過基本不等式的證明過程，了解演繹證明的三種常用方法，即比較法、分析法、綜合法，并能運用三種方法證明簡單的數學命題。

3.在得出基本不等式≤（a，b≥0）結論的過程中，體會數學建模的思想，感受數學形式化結論的一般形成過程——實驗、觀察、猜想、歸納、抽象、概括，形成結論，體會數學的理性思維價值，發展學生的數學思維能力。

【教學重難點分析】

重點：從不同角度探索基本不等式的證明過程。

難點：一是基本不等式的幾何表征。針對這個難點，教學中通過多媒體輔助手段，從學生已有知識出發，構造出算術平均數和幾何平均數的幾何意義。二是基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）。針對這個難點，教學中通過舉反例的方法，讓學生體會到三個條件缺一不可的重要性。

【教法分析】

本節課采用“教師設疑引導，學生自主探究”的教學方法，以問題為主線，學生經歷觀察—感知—抽象—歸納—探究，從實際問題出發，放手讓學生探究思考。以現代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段，幫助學生理解基本不等式。

【教學過程及設計意圖】

一、創設情境，提出問題

【通過創設數學與生活聯系的情景，讓學生感悟到：數學源于生活，源于實際，使學生意識到學習“基本不等式”的必要性——因為生活中有大量類似的情景存在，我們就要研究它，它應該成為數學的一個重要研究對象。數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實。本節課的明線是“基本不等式”的教學，暗線“面對一個新的數學對象，應該如何入手和展開研究”也必須貫穿本節課的始終。基于此，設置情境。】

問題情境：將一個物體放在天平的一個盤子上，而在另一盤子上放一砝碼使天平平衡，稱得物體重量為a。

問題1 若天平制造不精確，天平的二臂略有不同（其它因素忽略不計），則物體的重量仍是a嗎？

經過學生交流討論后，不難根據力學原理，得出物體的真實重量為G=a ①（l1為放有物體一側的天平臂長，l2為另一臂長）。

問題2 考慮到實際中精確測定二臂長不太可能，因此，a并非物體的實際重量，為此可作出第二次測量，即把物體調換到天平的另一個盤上，此時稱得物體重量為b。為了合理表示物體重量，我們可把兩次稱得的物體重量“平均”一下，即以表示物體的重量，這樣做合理嗎？

讓學生議論，明確用表示物體重量的不合理性，再讓學生利用力學原理，得出G=b ②

問題3 由①②能得出物體的真實重量嗎？

學生觀察①②后，得出物體真實重量的表達式為G=。

教師指出：也是正數a，b的一種平均方式。 稱為兩個正數a，b的算術平均數，稱為兩個正數a，b的幾何平均數。

問題4：你知道上面估計物體重量為是偏大，還是偏小，還是都有可能呢？

教師指出：對于兩個正數a，b，它們的算術平均數和幾何平均數的大小關系如何，這便是我們這節課要研究的問題。

二、探究引導，發現新知

教師引導學生提出：能否取一些數做一些試驗呢？

【學生參與實驗，有利于猜想、發現結論，培養學生的猜想能力。】

多媒體展示：

根據試驗結果，學生不難猜想得出結論：≥，當且僅當a=b時等號成立。

三、抽象歸納，建構新知

問題5 我們能否把剛才的猜想用嚴密的數學語言來闡述呢？

【提高學生的數學表達能力。】

展示定理內容：如果a，b都是正數，那么≤，當且僅當a=b時，等號成立。

數學是嚴謹的，由于猜想的結論可真可假，因此猜想的結論必須進行嚴格的證明，才能得出結論為真。

問題6 怎樣證明該不等式呢？

注：該處個人覺得課本要求太高，證明方法是選修2-1內容，尤其是分析法，之前學生沒有任何接觸，應該降低對證明的要求。

【引領學生從感性認識基本不等式到理性證明，實現從感性認識到理性認識的升華；培養學生嚴謹的思維習慣，讓學生感悟數學的理性精神。】

學生經過討論，不難得出書上的證法1（或者書上的證法3）。

方法一：作差比較或由（-）2≥0展開證明。

教師視情況補充以下證法：

方法二：分析法

【降低門檻，介紹新的證明方法。】

要證≥① 只要證a+b≥0②

要證②，只要證 ③

要證③，只要證（ - ）2≥0④

顯然，④是成立的。當且僅當a=b時，④中的等號成立。

教師點評：這種證明方法叫做分析法，實際上是尋找結論的充分條件，是執果索因的一種思維方法。

問題7 你能用文字語言將基本不等式表達出來嗎？

【發展學生的多元表征能力。】

文字語言敘述：

兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

或者聯想數列的知識敘述為：

兩個正數的等差中項不小于它們正的等比中項。

問題8 怎樣理解“當且僅當”？（學生小組討論，交流看法，師生總結）

“當且僅當a=b時，等號成立”的含義是：

當a=b時，取等號，即a=b？圯=；

僅當a=b時，取等號，即=？圯a=b。

幾何表征：既然稱為幾何平均數，那么它的幾何意義是什么？的幾何意義又是什么？

（多媒體展示處于動態下的圖）：在圓O中，AB是直徑，CD是與AB垂直且在運動的弦，CD與AB的交點為E，設AE=a，BE=b。

問題9 在圖中能否找到我們今天所學的不等式呢？

由平幾知識，得CE=DE，CE2=AE·BE，所以CE=，又圓的半徑CO=，即得CE≤CO，即≤。當且僅當E與0重合，即a=b時取等號。

揭示公式的本質（多媒體展示圖）：此圖既優美，又簡樸；既精煉，又深邃。原來這是2002年8月在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，是根據中國古代數學家趙爽著名的弦圖設計而成的。中間看上去像一個風車葉輪的圖案，象征著中國人民的熱情好客。其中隱含的奧秘多得很，今天研究的只是“冰山一角”。

設每個直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，那么正方形ABCD的邊長為，面積為a2+b2。4個直角三角形的面積之和為2ab。正方形ABCD的面積不小于4個直角三角形的面積之和，則有2ab≤a2+b2。當且僅當a=b時取等號。

問題10 不等式2ab≤a2+b2與我們今天的不等式≤看起來相似，你能看出它們的區別與聯系嗎？

學生（經過一番探討）：式子2ab≤a2+b2等價于（a-b）2≥0，式子≤等價于（-）2≥0，從這個意義上看，兩式的道理完全相同。但式子2ab≤a2+b2成立的條件是a，b∈R，而式子≤成立的條件是（0，+∞），兩式取等號的條件又都是a=b。

另外，今天所學的不等式可以看成當a>0，b>0時，在不等式a2+b2≥2ab中，以、分別代替a、b得到的。

到此為止，可以得出“基本不等式”的本質（邏輯起點）是實數平方的非負性。再進一步，可以把a、b的取值范圍推廣到非負數。

四、應用舉例，鞏固新知

上面的問題給了我們啟示：

問題11 能否把≤變成不同的形式？

【通過基本不等式的變形，既加深了對基本不等式的本質特征的認識理解，又為不等式的應用奠定了基礎，同時也培養了學生學會運用變化的觀點看待事物的能力。】

讓學生討論、交流，至少能得出以下變式：

①a+b≥2（a，b∈R+）

②≤（）2（a，b∈R+）

③≥2（a，b∈R+）

④+≥2（a，b∈R+）

⑤+≥2（a，b同號）

⑥a+≥2（a∈R+）

問題12 我們再觀察下列命題，是否正確呢？

①對于任意實數a，b，均有a+b≥2；②當x≥0時，由于1+x2≥2x，當且僅當1=x2時，即x=1時，等號成立。所以函數y=1+x2（x≥0）的最小值為2；③當x∈（0，）時，有sinx+≥4；所以函數y=sinx+在（0，）的最小值為4。

結論：若兩正數的乘積為定值，則當且僅當兩數相等時，它們的和有最小值；若兩正數的和為定值，則當且僅當兩數相等時，它們的乘積有最大值。簡記為：“一正、二定、三相等。”

五、反思總結，內化新知

通過本節課的學習你有什么收獲？

【通過反思、歸納，培養概括能力；幫助學生總結經驗教訓，鞏固知識技能，提高認知水平。】

教師根據情況完善如下：

一個不等式：若a≥0，b≥0，

則有≤，當且僅當a=b時，=。

三個注意：基本不等式求函數的最大（小）值時注意“一正二定三相等”。

【教學反思】

本課教學依據學生、教材實際，遵循教學設計問題化，教學過程活動化。采取“問題引入，揭示主題；觀察特例，形成猜想；多法證明，感受嚴謹；多元表征，加深理解”的教學思路，在充分考慮到學科知識的科學性、系統性的前提下，對教材進行適當調整重組，并通過“創設情境、提出問題—探究引導、發現新知—抽象歸納、建構新知—應用舉例、鞏固新知—反思總結、內化新知”五個活動展示教學流程。以學生學習活動為中心，不斷進行深度嘗試探究。變式練習由易到難，循序漸進，讓思維在問題解決中得到發展，使學生在探索問題的過程中，親歷數學對象的形成過程，感受數學求真求美的思維方式。

江蘇省中小學教學研究室李善良教授曾經用一句話概括數學教學的核心：“揭示數學本質，發展思維能力。”筆者不僅深表贊同，更愿意用每一節課去努力實踐。

（作者單位：江蘇省清江中學）