從學生實際出發，構建唯真唯美課堂

王應標

在2013年“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展評活動中，南京外國語學校郭佩華老師獲得淮安賽區高中數學組一等獎。郭老師在課堂教學中，堅持“以學定教，學教相長”的理念，一切從學生的數學現實與生活現實出發，精心設計學生活動，問題創設獨具匠心，觀念滲透浸濡無痕，給我們展現了一堂融知識、觀念、文化于一體的唯真唯美的課堂。

一、追求數學“真”的教學

1.課題引入“真情境”，給課題引入一個理由。

課題引入，即在教學的初始階段，提出本節課要研究的問題。教材的簡明性決定了教材一般不給出引入課題的理由，但是若學生學習一個課題時，不知道“為什么和為了什么”要研究某個課題，就難以促進學生形成有目的地、主動地學習當下內容的心向。教材中的問題情境是用不精確的天平稱一個物體的質量，郭老師在課堂開始時，對教材設置的情境稍稍進行了修飾，設置了一張讓人垂涎欲滴的草莓的照片，希望能以此吸引學生的眼球，在“味蕾”的激發下共同探討出兩個平均數的存在，一個是生活中較容易想到的估計值，另一個是由物理學知識推得的精確值，前者基于學生的生活現實，后者基于學生的數學現實，十分自然、真實地引出了本節課的兩個重要數學對象——算術平均數和幾何平均數。這種引入方式樸實自然，突出了學生生活現實中常常碰到的問題，更容易激活、喚起學生學習當下內容的興趣與信心，讓學生感到數學不再是枯燥無味的一些推理與計算，不是一群坐在書齋中的“怪物”想出來的一堆無聊的符號。這樣的引入，正是蘇霍姆林斯基所極力倡導的“領著孩子到思維的源地去旅行是具有重大意義的，這些地方，形象地說，就有滋養渴望知識的細根，這些地方就會使孩子萌發出一種愿望”。這樣的引入，易于讓學生擺脫功利之心的束縛而沉浸在探究學習的快樂中，走進身心自由、靈智釋放之境。

2.公式探究“真思維”，思路從學生思維深處自然流淌而來。

在前面的問題情境鋪設的基礎上，學生開始探究草莓的精確質量。由學生已有的數學現實，學生不難得出如下結論：由杠桿原理得：l1a=xl2l1x=bl2，兩式相除得：=，由x>0，得到x=。在上課伊始，學生直覺地猜想草莓的質量為，教學到這兒，學生很自然地要問與到底誰大誰小？

學生的觀點：用幾個特殊值代入試一試。

教師的觀點：首先肯定學生的做法，讓學生明白，碰到一般問題，用特值探路事實上是科學研究中最常用的方法。但教師還要讓學生明白，我們的探究決不能止于特值探路，因為數學上的“真”不依賴于人們的直覺。數學是形式化的邏輯推理的結果，不是經驗結論，所有的數學對象必須進行演繹證明，結論才具有可靠性。為什么數學中作為結論性的東西必須進行演繹證明，對于這一點，章建躍先生曾有過一段精彩的比喻：數學家這樣“吹毛求疵”是“杞人憂天”嗎？不是！應該有人來思考這些問題！試想，橋梁設計師是用標準的數學方法設計了一座橋梁，當你駕車行駛在橋上時，如果你被告知“設計師使用的數學方法是否成立還沒有得到證明”，你有什么感覺？如果是乘坐飛機又怎樣？……這正是愛因斯坦所說的：為什么數學比其它一切科學受到特殊的尊重，一個理由是它的命題是絕對可靠和無可爭辯性……教師在這個環節教學中，采取了說者有心，聽者無意的方式，對學生進行了數學觀念的濡染。

當學生明白了必須要證明≤（a≥0，b≥0）時，教師再發問：如何證明≤（a≥0，b≥0）？教師了解學生的知識儲備，讓學生運用已有的知識證明不等式。課堂教學中，教師給予學生充分的時間自主探究，在整個過程中，學生的思維樸實無華，證題方法從學生的思維深處自然流淌，這點堪稱是本節課最大的亮點。雖然書本上給出了3種不同的標準證法，但學生的證法更開放，更自然，即便有些學生證明的書寫顯得不夠規范和嚴謹。不少學生會首先把和進行平方，然后再比較，這是基于學生知識儲備中“化無理為有理”的思想。此時，教師在肯定這種方法的基礎上，因勢利導，歸納得出“作差比較法”，進而引導學生直接作差，就得到了教材上的證法一。也有學生嘗試用“分析法”去完成，這也是基于學生知識儲備中“由果索因”“化未知為已知”的想法，但在書寫時不能規范表述，因為學生的知識儲備中沒有分析法規范性的書寫，這要在“選修2—2”中才進行系統的學習，因此教師沒有過度提出“規范性要求”，只是根據學生現有的數學知識略加點評。

在整個教學過程中，教師始終把學生推向思維活動的前臺，教師僅僅扮演一個“未知者”角色和學生一起探究，正是“善游者忘水，善擊者忘劍”，學生沉浸在問題解決的思維活動中，忘記了時間，忘記了學習的壓力，這不僅激發了他們的興趣，而且增強了師生互動，改變了傳統教學中直接向學生提供定義、解釋概念、給出結論和陳述要點的單向、枯燥的知識傳遞方式。

讓學生更本質地理解數學的一個有效方法是用多種方式表征同一個數學對象。為了讓學生更透徹地掌握、理解基本不等式，書本上還給出了一個幾何的構造法證明，但書本上是直接給出了圖形和證明方法，顯得突兀，郭佩華老師在這個環節的引導語可圈可點。

教師：既然稱為幾何平均數，那么它的幾何意義是什么？的幾何意義又是什么？在學生很快表示出了的幾何意義后，教師再問：你能在該圖的基礎上得出多條，甚至無數條長度為的線段嗎？此時教師應用幾何畫板帶領學生一起參與圖形的構建，尋找圖形中的“算術平均數”和“幾何平均數”，對于，從比較容易想到的兩線段和的一半，然后推廣到以中點為圓心、以為半徑的圓上的任意一個半徑；對于，借助于之前求精確值的過程中出現的=（這個比例關系式，教師一直留在黑板上，為學生進一步聯想搭好“腳手架”，這也充分體現了教師的良好的板書藝術），利用相似三角形構造出長度為的線段（此處有學生也想到了射影定理），讓這個圖形動態地展示出來。這一環節的教學過程是學生一起參與的過程，探索發現過程中的每一步推進，都是學生個人或集體智慧的結晶，相比許多教師在這一部分的教材處理，讓學生被動地接受一個靜態的圖形，教師要求學生完成一個預先構造好的模型的圖形驗證，郭老師這一段教學始終在與學生對話、協商，堅持只在學生處于“憤悱”之態時才稍加點撥，這樣的教學，是真正充分發揮學生的主體作用，充分暴露學生的真想法、真思維，教師真正做到了“以學定教”。

二、追求數學“美”的教學

1.教師語言美，教態美，給學生以美的享受。

在課堂教學中，無論是向學生傳授科學知識還是發展學生的能力、智力，都是通過教師與學生的語言來實現的，因此教師課堂話語與學生思維發展有著密切的關系。郭佩華老師向我們展示了一個高水平的數學教師的語言功力，課堂上對數學知識的闡述語言呈現出準確性、規范性、簡潔性、邏輯性，既體現出“淺入深出”的特點——通過具體問題特例的大小比較，提煉出當堂課的課題“基本不等式”，又以具體知識的教學為載體，讓學生體會研究數學的一般化方法（特殊問題一般化），體會數學的理性精神（直覺不可靠，數學結論必須接受演繹證明的檢驗），等等，達到小中見大、管中窺豹之效。

2.數學知識本身思維美，方法美，給學生以美的熏陶。

數學求真，數學中真的標準是客觀的，統一的，數學美首先在于數學的“真”，數學的形式化與抽象性使得數學表現出極度的簡單性、嚴密性、深刻性、廣泛應用性，數學的這些特性無不給人以數學美感，學生在學習中的數學美感，主要指理解、認識、領悟某種數學對象內在本質、某種數學關系與結構而產生的滿足感、興奮感。本節課從公式的引入到公式的證明，自始至終不時給學生以數學美感。

著名教育心理學家奧蘇伯爾說過：“假如讓我把全部教育心理僅僅歸結為一條原理的話，那么我將一言以蔽之：影響學生的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么。要探明這一點，并應據此進行教學。”郭老師這節數學課真正做到了這一點——以學定教。

（作者系江蘇省特級教師、江蘇省清江中學副校長）