“等腰三角形的判定”教學實錄

張晶

【教學目標】

知識與技能：掌握等腰三角形的判定，會用等腰三角形的判定，進行簡單的推理、判斷、計算作用.

過程與方法：讓學生經歷等腰三角形判定方法的發現過程，培養學生的觀察力、實驗推理能力.通過定理的證明和應用，初步了解轉化思想；并培養學生邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.

【教學重難點】

重點：等腰三角形的判定方法及其運用.

難點：綜合運用等腰三角形的性質和判斷解決問題.

【教法與學法】

在教學中，把重點放在學生如何學，教師不斷設置思維臺階，啟發學生主動參與，親自動手實踐，通過學生自己猜、折、畫、證等探索性活動，自己主動“發現”等腰三角形的判定方法，便于激發學生學習熱情，體驗成功的喜悅，在引導學生得到感性認識的同時逐步向邏輯的合理性推理跨越，這樣做有利于開拓學生的創造性思維，幫助他們探本求源，讓每位學生都學有價值的數學.

【教學用具】

墨水涂抹后的等腰三角形，直尺，圓規.多媒體輔助教學.

【教學實錄】

師：前面我們學習了等腰三角形的性質，哪位同學來敘述一下？

生：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等，簡稱：等邊對等角；等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.

師：很好.下面有這樣一個問題：如圖1左所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，倘若一不留心它的一部分被墨水涂沒了（用黑紙遮擋，如圖1右所示），只留下一條底邊BC和一個底角∠C.同學們想一想，用什么辦法能把原來的等腰三角形ABC重新畫出來？在家試試看.

（學生先畫出殘余圖形，略作思索，然后獨立畫圖.畫好以后，同學間相互交流畫法，教師在全班巡視，參加同學間的議論，最后請兩名學生口答畫圖的方法.）

生：先用量角器量出∠C的度數，然后以BC為一邊，B為頂點畫出∠B=∠C（圖2略）.

生：取BC邊上的中點D，用三角板過D作BC的垂線，與∠C的一邊得到一個交點A，連結AB（圖3略）.

師：很好！剛才我看了一下，同學們大都想出了上面兩種畫法，第一種方法，用角的相等來畫.第二種方法，過一邊中點作垂線的方法畫.同學們，你們認為這樣畫出來的三角形都是等腰三角形嗎？

生：是.

師：到底是不是等腰三角形？這就是今天我們所要學習的內容——“等腰三角形的判定”.（板書.）

要判定剛才作出的三角形是等腰三角形，應當加以論證.我們先分析第一種畫法，這就是說，在兩角相等的條件下能否判定畫出的是等腰三角形？大家想一想，在這里已知是什么？求證又是什么？請同學回答一下.

【評析：第一種畫法正好可以得出這節課要學的判定定理.第二種畫法則是今后學習線段垂直平分線性質的事實基礎.據了解，當時學生還有將殘余圖形對折的第三種畫法，而這又是等腰三角形對稱的體現.幾何來源于現實生活，對于初學平面幾何的學生來說，選擇適當時機讓他們從個體實踐經驗中學習，可以提高學習的主動性.在這里，等腰三角形的判定定理不是由教師給出，而是讓學生先憑經驗畫圖，那么畫出的圖形究竟是不是等腰三角形呢？產生了問題，然后從問題是出發，得出判定定理.這樣做，改變了過去學生只是被動接受的狀況，因此，學習的興趣和積極性有所提高.】

生：已知：在△ABC中∠B=∠C，求證：AB=AC.

師：考慮一下，這個題目怎樣來證明.現在告訴我們的是兩個角相等，要求證的是兩條線段相等，而要證明兩條線段相等，常用什么方法？

生：三角形全等.

師：圖上有嗎？

生：沒有.

師：那么怎么辦？

生：添輔助線.

師：同學們動筆做做看，怎么添輔助線？又怎么證明？把主要證明過程寫一寫.

（學生認真練習，教師巡視了解情況，待全班學生基本完成證明之后，教師又要求學生相互議論還有哪些不同的證明方法？全體學生對不同的畫法很感興趣.接著，教師請學生談談自己是怎么證明的.）

生：作∠A的平分線AT，交BC于T（圖3略）.在△BAT和△CAT中，

∵∠BAT=∠CAT，∠B=∠C，AT=AT，

∴△BAT≌△CAT（角角邊）

∴ AB=AC（全等三角形對應邊相等）.

師：這位同學添了∠A的平分線，通過角角邊來證明三角形全等，從而得到AB=AC.還有其他方法嗎？

生：過A點作AD⊥BC，垂足為D（圖4略）.

∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC.

在△ADB和△ADC中，

∵∠ADB=∠ADC∠B=∠C AD=AD

∴△ADB≌△ADC（角角邊）

∴AB=AC.

師：這位同學是作了BC邊上的高AD，證明兩個直角三角形全等，然后得到對應邊相等，還有其他方法嗎？

生：作BC邊上的中線AM（圖5略），用邊角邊證全等.

∵AM是BC邊上的中線，

∴BM=CM……

（這名學生發現不對，停頓不講了，不少學生紛紛指出她的錯誤.）在△AMB和△AMC中，∵BM=CM，AM=AM，

∴ ∠B=∠C，

這是“邊邊角”，不能證明兩個三角形全等.

【評析：由于這節課利用學生的畫圖經驗導出等腰三角形的判定定理，因此學生感到親切、自然，興趣很濃.課上出現多種證明的方法，雖然第三種畫法是錯誤的，學生在證明的中途發現問題，但這種錯誤嘗試可使學生吸取教訓，增長解題的能力，將來解決實際問題時，可以少走“彎路”，避免盲目嘗試.在這節課上完之后，有學生還提出，不添輔助線的證法：如用反證法，假設AB與AC不相等，根據一個三角形中大邊對大角的道理， ∠B與∠C也不相等，與題設矛盾，所以一定是等腰三角形；學生能想出如此多樣的證明方法，可見興趣的力量是不可低估的.“知之者，不如好之者；好之者，不知樂知者”.由“好”和“樂”所產生的追求和探索知識的迫切性是克服一切困難的內部動力.】

師：經過證明我們知道，剛才大家通過畫圖獲得的那個幾何例題是正確的.它可以作為——“等腰三角形的判定定理”.同學們能不能用語言來正確敘述一下這條判定定理？

生：“有兩個底角相等的三角形是等腰三角形”.（教師板書.）

師：大家有不同意見嗎？在沒有說明它是等腰三角形之前，能不能講“底角”？

生：不能！

（教師擦去“底”字，定理變為“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”.然后，教師要求學生翻開課本，集體朗讀課本上的判定定理：“如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.”）

師：課本上講的和同學們講的似乎有些不同，但實質是一致的，上面講的等腰三角形是哪兩條邊相等.課本上講清楚了，是相等的角所對的邊相等，所以這條判定定理又簡稱“等角對等邊”.第二種畫法能不能判定畫出的三角形也是等腰三角形呢？這個問題留給大家課后去考慮.有了這條判定定理，今后我們證線段相等，又多了一種方法，在一個三角形中，如果角相等了，就可以得到邊也相等.下面我們一起應用這條定理來研究一些題目，先看第一個題目.

求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.

想一想，題設是什么？結論又是什么？如何寫成已知、求證的形式？

生：題設是三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊；結論是這個三角形是等腰三角形.

師：結合這張圖（圖6）具體說一下.

生：已知：AG∥BC，∠DAG=∠CAG.

求證：AB=AC.

師：這個題目是證明一個三角形中的兩條邊相等，應該怎樣證？

生：只要證兩個角相等.

師：題目已知的是∠1=∠2，能不能使已知的兩個角和要求證的兩個角相等發生關系.思考一下，請同學回答.

生：∵AG∥BC（已知），

∴∠DAG=∠B（兩直線平行，同位角相等），

∠CAG=∠C（兩直線平行，內錯角相等）.

∵∠DAG=∠CAG（已知），

∴∠B=∠C（等量代換），

∴AB=AC（等角對等邊）.

師：很好.這題要證明△ABC的兩邊AB=AC，其實只要證明∠B=∠C，由已知的角平分線∠DAG=∠CAG，通過平等線性質就容易證出，接下來，我們研究第二個題目.

如圖（圖7），△ABC中，∠B=∠C，BD=CE，求證：∠ADE=∠AED.這個題目是證明兩個角相等，看清∠ADE和∠AED在圖中的位置.請同學們畫一畫、想一想，如何充分利用已知條件.

圖7

生：要求證∠ADE=∠AED，就必須有AD=AE；要得到AD=AE同，我是通過三角形全等的方法來解決的.

師：哪兩個三角形？

生：△ABD和△ACE.

師：你用什么方法證它們全等？

生：我是用邊角邊的方法.AB=AC，∠B=∠C，BD=EC.

師：條件中并沒有AB=AC.

生：這在△ABC中由∠B=∠C可得.

師：這位同學根據已知條件∠B=∠C，利用剛才學到的判定定理“等角對等邊”得出了AB=AC，再結合已知BD=EC，∠B=∠C，用這三個條件推出了△ABD和△ACE全等，于是AD=AE，最后在△ADE中用性質定理“等邊對等角”得出∠ADE=∠AED（教師邊講邊板書下列思路）.

方法一：

BD=CE

∠B=∠C →△ABD≌△ACE→AD=AE→∠1=∠2.

AB=AC

師：還有什么方法？

生：要證∠ADE=∠AED.可以用等角的補角相等來證.就是先證∠ADB=∠AEC.

師：∠ADB=∠AEC怎么得來？

生：是用三角形全等，就是從△ABD≌△ACE得出.

師：這位同學的思路是：（邊講邊板書）

方法二：△ABD≌△ACE→∠ADB=∠AEC→∠ADE=∠AED.噢！還有其他方法.

生：用全等三角形的對應角相等來證.

師：哪兩個三角形全等？

生：△ABE和△ACD.

師：這兩個三角形為什么全等？

生：因為BD=CE，所以BD+DE=CE+ED，就是BE=CD，加上∠B=∠C，AB=AC，所以三角形全等.

師：對，很好！這位同學先由等式性質得出BE=CD，然后根據∠B=∠C，結合今天學習的等腰三角形的判定定理得AB=AC.最后利用邊角邊得到△ABE與△ACD全等，馬上得出對應角相等.（邊講邊板書下列思路.）

方法三：

BE=CD

∠B=∠C →△ABE≌△ACD→∠1=∠2.

AB=AC

很好！這道題同學們想出了很多方法.第一種方法：把∠ADE、∠AED理解為同一個三角形的兩個內角，有“等邊對等角”的思想，結合三角形全等得到.第二種方法：通過等角的補角來證，也是結合三角形全等得到.第三種方法：是把∠ADE和∠AED直接看作兩個全等三角形的對應角證出.想出的方法很多，能夠從不同的途徑去考慮.

【評析：這兩道基本例題安排得很好.第一道題比較容易做，是等腰三角形判定定理的簡單應用.但編排在練習的開頭，讓所有學生都通順利完成，由淺入深是必要的.第二道題則進了一層，證明時既要應用判定定理，又要應用性質定理，繞了個彎，而且可有幾條證明途徑，例如直接從△ABE≌△ACD能簡捷地證出∠1=∠2，這又可以看看學生靈活運用以往學過知識的能力，在數學教學中，配置合適的習題，并且有效地利用它們，對于學生在課堂上獨立、積極地進行認知活動具有重要作用，值得引起注意.】

師：下面我們一起來研究第三個題目：在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB，BO平分∠B，CO平分∠C，請同學們自己畫圖.請同學們想想看，在這張圖上，由這兩個已知條件你能導出什么結論？

生：可以得出∠OBC=∠OCB.

師：能不能從道理上說明一下？

生：因為∠B=∠C，BO平分∠B，CO平分∠C，根據等量的一半相等，可以得到∠OBC=∠OCB.另外還可以得到OB=OC，理由是“等角對等邊”.

師：好！現在我把這個題目變化一下，大家看清楚.就在這張圖上，過O作一條直線EF和邊BC平行，與AB交于E，與AC交于F，請同學們自己畫圖.考慮兩個問題：（1）仔細尋找一下，這張圖中有幾個等腰三角形？為什么？（2）添上去的這條線段EF和圖中的線段EB、FC之間有沒有關系？有的話是怎樣一種關系？

（學生各自思考幾分鐘后，教師要求他們相互討論，頓時氣氛熱烈.有些學生認為有兩個等腰三角形；另一些學生則認為共有5個等腰三角形，還高興地把自己的理由說給其他同學聽.在討論線段EF時，不同意見更多了，有的說O是EF的中點，因此EF是EB或FC的兩倍，還有的說EF等于EB、FC的和……教師在各個討論組之間來回巡視，并參加一些小組的議論.）

師：討論到這里，請同學們發表意見.先回答第一個問題，圖中有幾個等腰三角形？

生：有5個.

師：哪5個？

生：△ABC、△OBC、△AEF、△EOB、△FOC.

師：請你再講講理由，△ABC為什么是等腰三角形？

生：因為∠B=∠C，“等角對等邊”，所以AB=AC.

師：△OBC剛才已證過，△AEF呢？

生：因為EF∥BC，所以∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，因為∠B=∠C，所以∠AEF=∠AFE，所以AE=AF.

師：△EOB為什么是呢？

生：因為BO平分∠B，所以∠EBO=∠CBO，因為EF∥BC，所以∠CBO=∠EOB，所以∠EBO=∠EOB，所以EB=EO，同理可得△OFC也是等腰三角形.

師：很好！大多數同學都看出是5個等腰三角形.第二個問題，添上去的線段EF和EB、FC之間有沒有關系？有的話是怎樣一種關系？

生：有關系的.EO、FO、EB、FC這4條線段都相等.

師：講講理由.

生：有兩個三角形△OEB和△OFC中，因為BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，所以∠EBO=∠CBO.∠FCO=∠BCO，因為∠ABC=∠ACB，所以∠CBO=∠BCO，又因為△OBC是等腰三角形，所以OB=OC，因為△AEF是等腰三角形，所以∠AEF=∠AFE，利用等角的補角相等得出∠OEB=∠OFC，所以△OEB≌△OFC，得到EO=FO，EB=FC，再因為EB=EO，所以EO、FO、EB、FC這四條線段相等.

師：大家聽懂沒有？這位同學是用角角邊證△OEB≌△OFC得出EO=FO，EB=FC，再由EB=EO，證出4條線段都相等的.還有其他的證明方法嗎？請同學們回去思考.除了這四條線段都相等外，還有其他結論嗎？噢，他還沒有講完.

生：EF是EB或FC的2倍.

師：很好.四條線段都相等了，EF就是EB或FC的2倍.

生：還有，EF等于EB+FC.

師：對！還可以得到EF=EB+FC.

師：我把這個題目再改變一下，原來∠B、∠C是相等的，現在變成不等，但是角平分線不變，BO、CO還是∠B、∠C的角平分線.平行線還是不變，EF∥BC，再認真想一想，這個圖形中還有沒有等腰三角形？有的話又有幾個？EF和EB、FC之間還有沒有關系，有的話又是怎樣一種關系？

生：沒有等腰三角形.

師：他認為這圖上沒有了.同學們再仔細觀察一下，有沒有？

生：有.

師：是哪個？

生：△OEB和△OFC.

師：理由？

生：因為兩直線平行，內錯角相等，得到∠EOB=∠OBC，因為BO是角平分線，所以∠EOB=∠OBC，所以∠EOB=∠EBO，△EBO是等腰三角形.△FOC的道理是一樣的.

師：還是有等腰三角形，不過是由5個變成了兩個.第二個問題，這條線段EF和EB、FC之間還有沒有關系？

生：只有EF=EB+FC這個關系.

師：他認為只有一種關系，在等腰三角形△EBO中，EB=EO，在等腰三角形△FCO中，FC=FO，合起來就是EF=EB+FC.這個題目，從原來兩個角相等，變成了不等，但是角平分線和平行線這兩個條件沒有改變，△EBO、△FCO還是等腰三角形，所以EF=BE+FC的關系還是保持的.

【評析：這道討論題比前面的兩道題目要求更高些.第一，它要求學生能根據已給條件自行推測可能的結論；第二，通過圖形的變化、引申，讓學生在條件發生改變時觀察論證結論的變化.這些做法，可逐步培養學生舉一反三、靈活轉換的基本能力.發展學生的思維，提高課堂教學的時間利用率，課后，我們曾以不同類型的題目進行當堂效果測驗.平均分為89.51分，可見適當的變式練習，是使學生熟練掌握基本解題技能技巧的有效措施之一.】

師：今天這節課我們學習了什么呢？第一，我們學習了等腰三角形的判定定理：“等角對等邊”.它與前面我們學過的等腰三角形的性質定理：“等邊對等角”都是同一個三角形中邊角間的一種相依關系.即在一個三角形中，邊等可以得角等，角等可得邊等.今天初步應用判定定理研究了一些題目.第二，這個判定理是同學們通過畫圖、估計，然后加以證明自己得出來的.在證明定理及應用定理時，同學們都注意從幾種途徑來思考，得到了多種解法.在第三個練習中，同學們不僅能夠根據已知條件自行推測可能的結論，而且還能在已知條件發生某些改變時，觀察結論的變化，這些都是訓練我們思維能力的有效方法.請同學們在平時作業中也要多作這種嘗試.（作業略.）

總結：本節課除了前面已經評析過的問題情境、激發認識興趣以及組織嘗試練習等特點外，還采用講、議、練結合的方法，教師通過觀察、提問、巡視、談話等活動，及時了解學生的學習、練習過程、隨時回授、調節教學方法，盡量加強有針對性的個別輔導，把發展學生的思維與隨時把握學生的學習效果兩者結合起來，才能做到“實而不死，活而不虛”.