善用圖式表征促進學生數學能力的深層建構

莊治新

摘要：數學直觀是數學學習的一種重要策略，是以數學直觀符號為基本構成要素、以信息加工過程的直觀性為形態的認知方式。借助圖式可以使抽象知識具體化、使復雜知識簡潔化、使單一知識多元化、使特殊知識一般化，從而有助于探索解決問題的思路，在整個數學學習過程中發揮著非常重要的作用。

關鍵詞：圖式表征；深層建構；小學數學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2013）03-0067-05

《義務教育數學課程標準（2011年版》修訂時把幾何直觀作為義務教育數學課程的核心內容之一，提出在數學學習中要初步形成幾何直觀，強調幾何直觀在學生建立數學概念、解決數學問題過程中的地位和作用。借助幾何直觀不僅可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有利于學生探尋正確的解題思路，而且可以幫助學生溝通數學問題之間的聯系，增進數學理解，形成結構化的數學知識。利用數學圖式表征數學事實，描述和分析數學問題是學生在數學學習中最常用、最有效的方式之一。[1]

腦科學家的研究表明，學習是建立神經網絡的過程。在人的一生當中，每個人都通過具體的經驗、表征或者符號學習以及抽象學習在腦的皮層上建立了令人難以置信的大量神經網絡來儲存信息。很多最牢固的神經網絡都是通過實際的經驗建立起來的。根據信息加工的觀點，當有機體對外界信息進行加工（輸入、編碼、轉換、存儲和提取等）時，這些信息是以表征的形式在頭腦中出現的。

數學圖式是以直觀符號為基本構成要素，以信息加工過程的直觀性為形態的認知方式。[2]圖式表征作為一種重要的科學方法和學習工具，可以幫助學生理解和掌握一些抽象的概念和理論。皮亞杰認為，所有的生物包括人在與周圍環境的作用中都有適應和建構的傾向。當已有圖式不能解決面臨的問題情境時，個體會很自然地試圖通過各種方式來調整這種不平衡。建構主義認為，學習不是由老師把知識簡單地傳遞給學生，而是學生自主建構知識的過程，這種建構是無法由他人來代替的。筆者認為，圖式表征是幫助學生自主建構知識的重要手段之一，應始終伴隨兒童學習數學的過程，在培養學生幾何直觀能力的同時，促進學生對知識的深層建構。

一、巧用圖式，表征數學事實，使抽象知識具體化

圖式是提示數學對象的性質和關系的有力工具。[3]美國當代教育心理學家威特羅克提出的生成學習觀認為：學習者頭腦中的知識絕不是純粹客觀事物的摹本，也不是簡單地由教師、教材“傳遞移入”的，而是主動建構它對信息的解釋，并從中作出推論。康德也指出，圖式是“潛藏在人類心靈深處”的一種技巧，是一種個體印記的經驗化的教程。學習者不是被動地接收信息，而是主動參與到信息領悟過程中，努力建構有意義的理解，通過將信息納入圖式中，它既能夠帶來同化性學習，即圖式適配，也能夠導致順應性學習，即建立新圖式。[4]

數學家克萊因認為：“數學的直觀是對概念、證明的直接把握”。[5]在數學教學中，由于受學生的知識經驗和思維水平的限制，經常會遇到一些很難用語言解釋清楚的概念或性質，這時圖形直觀往往會成為有效的表達工具。[6]通過圖式，把抽象問題具體化，不僅直觀形象，有利于思考，而且信息量大，概括性強，為學生創造自主思考的機會，促使學生通過自主探索和合作交流，發現和再創造數學知識，獲得對數學的深刻理解。

1.圖式能幫助我們深刻理解數學概念和性質

所謂數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式，而數學知識的性質則是指從數學概念直接推導得出的運算法則或者運算公式等延伸的知識，具有高度的概括性和抽象性。圖式是表達數學概念和性質的獨特方式，它把數學概念和性質形象化、數量化，能幫助學生深刻理解數學的概念和性質。正如我國著名數學家張廣厚認為：“抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的，同樣，在抽象中如果看不出直觀，一般說明還沒有把握問題的實質。”如平面圖形周長的概念為：封閉的平面圖形邊界的總長叫做這個圖形的周長。什么叫封閉的平面圖形？什么叫邊界的總長？這對學生來說十分抽象，而利用圖式則能很具體地表達這兩層意思：

通過圖1中圖式①和圖式②了解何為不封閉的平面圖形何為封閉圖形，通過圖式③認識圖形的周長并不是圖形中所有線段的總長，圖式④的四條加粗的線段才是邊界的總長，也就是這個封閉圖形的周長，學生通過對圖式的觀察比較，明晰周長的概念。在小數的認識中，假若1個正方形表示1元，怎樣表示0.7元？圖2中圖式⑤就很具體地表征了小數的具體意義：將1元平均分成10份，每份是0.1元，7份就是0.7元。同樣，在三年級初步認識分數時，圖式對學生理解分數大小的比較也起到不可估量的作用，如圖式⑥。

沒有圖形就沒有思考，理性的思考過程以直觀的圖式表示出來，使之形象化、視覺化，建立起人對自身體驗與外物體驗的對應關系，加深了學生對數學概念和性質的理解。

2.圖式亦能幫助我們明晰算理和算法

所謂算理，是指計算的理論依據，通俗地講就是計算的道理，一般由數學概念、定律、性質等構成，用來說明計算過程的合理性和科學性，而計算方法是計算的基本程序或方法，是處理指導下的一些人為規定，用來說明計算過程中的規則和邏輯順序。圖式在算理的理解和算法的構建過程中，起到支撐性的作用。[7]斯蒂恩認為：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖像，那么就整體地把握了問題。”

毫無疑問，時間條的呈現是對抽象數學知識進行的編碼和表征，通過圖形感知支持抽象思維，相對于文字表述更為形象、簡潔、清晰，幫助學生直觀地理解時間的計算方法。此類圖式，是學生展開數學想象的重要材料，為學生創造了自主思考的機會，促使學生發現和創造數學知識的同時，獲得對數學的深刻理解。[8]

3.圖式還能幫助我們有效建立數感

數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟，包括對數的意義、數量的多少、數之間的關聯等的直覺，在一定程度上是思維的產物。而數的概念本身是抽象的，學生理解和掌握數的概念要經歷一個過程，圖式的呈現則能幫助學生在深刻把握數的概念的同時，逐步提高對數的感悟水平。腦科學研究表明，我們的大腦在理解很大的數字的時候，會出現一些困難，因為我們沒有什么經驗與它們聯系起來，而圖式則提供了視覺與言語文字雙重編碼的機會，有利于學生把握關系中重要的方面，領會、辨析、總結和綜合復雜的觀點，為思維過程提供支架。[9]在四年級《認識整萬數》教學中，如何幫助學生感悟一萬有多少？

圖5

通過圖5這5個圖式的動態疊加，使數學課堂的學習更豐富、生動，學生在深刻體會大的數目意義、感受大數目存在的同時，更拓展了學生的空間感，幫助學生有效建立了數感，為學習更大數目的“十萬”、“百萬”、“千萬”、“億”等作了有效的支撐。這是對語言文字最形象生動、迅捷識別的可視化表征，使學生的心理內部思維、想象過程外顯可見，促進對知識的深層建構。

二、利用圖式，描述數學問題，使復雜知識簡潔化

腦科學研究指出，一張圖片相當于至少10000個單詞的價值。當靜態的數學知識成為每個學習個體的知識時，圖式能幫助我們濃縮冗長的數學概念語言，而留下簡潔的數學語言。[10]借助示意圖或線段圖表征問題情景的成分和結構，以達到對數學問題結構性的理解，進而為解題者提供一些未經解釋或形式轉換就可以被察覺與使用的信息，以約束認知活動的范圍，促進問題的解決。[11]

心理學家魯梅特認為，圖式就像戲劇，因為圖式具有能與環境的不同方面相聯系的變量。[12]正如愛因斯坦所說，他所有的想法都是以或多或少的清晰的圖像呈現的，而且很難將自己的觀點寫成文字。其實，將思考轉換成圖像的能力常被看作是對其真正理解與否的判斷標準。

有些比較復雜的純文字數學問題，對學生來說比較難以理解，在教學中，應該讓學生體會到正確畫圖、用畫圖分析和描述問題的好處。如，“為了慶祝元旦，同學們做了一些花。紅花的朵數比黃花多30朵，黃花的朵數比紫花少80朵，紫花的朵數正好是紅花的2倍。三種花各有多少朵？”在解決這個問題的時候，可以利用圖6的圖式，幫助學生直觀地理解三種花的具體關系，從而理清思路，找出解決問題的方法：

借助圖式描述數學問題，能加強學生對問題情境信息及其關系的理解，幫助學生從整體上把握問題，提示問題的轉化方法，從而獲得正確的解題思路。[13]正如波利亞所說：圖形不僅是幾何題目的對象，而且對與幾何一開始沒有什么關系的題目，圖形也是一種重要幫手。學生用圖式描述數學事實的過程，是對靜態數學知識的個性化理解，是動態的數學圖式的建構過程。從某種意義上說，利用圖式描述數學問題，對啟迪學生解題策略，促進深層建構的作用是顯而易見的。

三、借助圖式，探索解決問題，使單一知識多元化

英國學者東尼·博贊（Tony Buzan）指出：思維導圖能同時啟動左、右腦，使人的想象力和創造力與有關的關鍵知識邏輯地綜合起來。[14]將原本枯燥的一長串難以理解的信息變成容易記憶、有高度組織性的圖式，使學生不僅能清晰地體會到尋找解題突破口的過程，而且可以一目了然地理解解題思想方法的挖掘、使用過程等，使單一的數學知識多元化地表達，從而使學生可以真正由會解一道題轉變為會解一類題。

愛因斯坦曾說：“結論幾乎總是以完成的形式出現在讀者面前，讀者體會不到探索和發現的喜悅，感覺不到思想形成的生動過程。”而數學知識在形成的過程中經過了眾多數學家的研究推定和符號建構，這些知識都必須經過學生個體的內在的認知理解和主動建構，才能促進學生對知識的有效理解。[15]誠如喬納森所說：“當學生嘗試用圖式方法來表征事物時，其思維往往處于最佳狀態。”

如：“一塊菜地，長15米，寬12米。如果在這塊菜地上種青菜，平均每平方米收青菜16千克。這塊地共收青菜幾千克？如果在這塊地上種桃樹，每棵桃樹占3平方米，這塊地可以種桃樹多少棵？”如何理解“每平方米青菜收16千克”和“每棵桃樹占地3平方米”？啟發學生通過自主活動，畫出如圖8相應圖式：

通過圖式，題目中的數量關系就一下子變得簡單明了，解決問題的思路也躍然紙上。運用示意圖也可以遷移到“1千克黃豆可以做4千克豆腐”或“每4千克鮮魚可以曬1千克魚干”等問題，觸類旁通，舉一反三，從某一題“頓發的靈感”上升歸納為解一類題的思維方法。

在這里，圖式推動了學生的信息加工，通過對新信息進行形象化精制，使之與其它信息（已有的知識、經驗）相聯系，一方面在現實生活元素和學生原有知識結構之間架起一座橋梁，另一方面又幫助學生用已有的認知結構去同化、順應新信息，使學生能更好地學會知識并活用遷移。[16]

四、繪制圖式，構建數學模型，使特殊知識一般化

數學是研究數量關系和空間形式的科學，具有很強的抽象性和高度的結構化。新課程重視數學模型的建立，指出數學教學“應從學生的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并加以解釋與運用的過程”，從具體到抽象，從特殊到一般，逐步提示數量之間的內在聯系，并用數學化的形式表示規律，從而把思維和推理提高到一個更高的層次。

心理學研究表明，學生感知越豐富，建立的表象越清晰，就越能發現事物的規律，獲得知識。數學圖式就如同一根絲線，將數學知識或串聯成鏈，或編織成網，通過各種準確的、精致的、自動化的形式，溝通知識間的聯系，突出數學知識的系統性，彰顯重、難點，梳理邏輯順序。數學圖式是學生最容易利用的數學形象，它架起了具體與抽象之間的橋梁，有利于學生系統掌握知識，促進學生更有成效地展開數學思考，發現并提示規律，思維逐步轉向更高級、更抽象的層面。

如：“在一條長200米的道路一側種樹，每兩棵樹之間相距5米，若兩側都要種，那么一共要種多少棵樹？”解決這類題目，應該根據圖9的圖式，找出蘊含的規律：1個5米種2棵，2個5米種3棵，3個5米種4棵……從而得出有幾個5米，就要種幾加1棵樹。

通過對圖式的觀察分析，引導學生畫一畫，比一比，找出其中的規律。又如：“擺1個□要4根小棒，擺2個要7根小棒，擺9個要（ ）根小棒，有52根小棒，能擺出（ ）個。”亦可根據圖10，找出規律：正方形的個數×3+1=小棒的根數、（小棒根數-1）÷3=正方形的個數，從而使學生形成解決此類問題的圖式系統。

在此類數學問題中，數學圖式始終引領并啟迪著學生的思維，促使學生展開思考，并逐步發現問題的本質。這一過程中，重要的不是規律本身，而是學生在參與的過程中，獲得的借助圖式直觀展開數學思考的經驗，以及對探索簡單數學規律一般過程的體驗與感悟。

一節課的知識點在知識體系和學生學習過程中的地位和作用各有不同。數學圖式往往都是圍繞教學重點和難點而生成的。對于數學概念教學而言，教學重點和難點往往就是概念的本質內涵。數學圖式是以準確把握教學重點和難點為前提的，是基于學生數學思維發展和數學素養提升的。

善用圖式表征，能生動形象地描述數學問題，直觀地反映分析問題的思路，能幫助學生較好地理解數學本質，促進學生思維發展，為學生創造主動思考的機會，使其經歷數學探索、發現和再創造的過程。在化數為形的過程中，提高學生數學素養，促進學生對數學知識的深層建構。

參考文獻：

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[8]魏光明.基于直觀 創生精彩[J].教育研究與評論（小學教育教學），2012（2）.

[10]楊曉榮.重視培養幾何直觀能力[J].教育研究與評論（小學教育教學），2011（8）.

[12][14]王天蓉.有效學習設計——問題化、圖式化、信息化[M].北京：教育科學出版社，2010：181，198.

[15]王乃濤.數學圖式：促進教各學的意義融通[J].江蘇教育研究，2012（2B）.

責任編輯：石萍