一道函數題的多視角求解

吉祥

數學教學離不開解題教學，然而解題并不是教學的唯一目的，應當在問題驅動下，鞏固學生的數學知識，訓練方法，開啟心智，驅動思維，促進學生數學思維的發展、數學解題能力的提高.然而目前，教學方法的模式化，教學目標的單一化，教學效果的功利化，都無形地制約和影響學生思維的發展，導致學生思維僵化，“創造”和“變通”的學習能力不強.本文從一道函數題著手談談解題視角的多樣化，有利于培養學生的良好思維品質，深刻領悟試題的本質.

例題：已知函數，

（1）當a=-3時，求函數的極值；

（2）若函數f（x）的圖像與x軸只有一個交點，求的取值范圍.

本題的第一問是主要利用函數的單調性求函數的極值，根據求極值的一般步驟便可以解決.第二問涉及函數圖像與軸的交點個數，求有關的參數取值問題.下面通過三種不同的視角對第（2）問作分析與求解，以饗讀者.

視角1：由函數圖像與x軸只有一個交點分析可知，該函數若為單調增，則滿足題意；若函數不單調，則該函數存在極大值點和極小值點，因此結合函數的單調區間只要極大值小于零或極小值大于零.

①當△=4-4a≤0時，即a≥1，f（x）在R上單調增，且f（0）=-a<0，f（3）=2a>0，

所以f（x）的圖像與軸只有一個交點.

列表如下：

由上表可知為極大值，為極小值.函數的簡圖如下：

要使得函數f（x）的圖像與x軸只有一個交點，

①同解法1中的①；

綜合①②得a的取值范圍是（0，+∞）.

視角3：解法1、2都運用了分類討論的思想，而對于含參數取值問題的求解，除了分類討論之外，有時也可以利用分離參數的方法求解，往往將方程（或不等式）中的所含參數與變量分離出來，轉化為研究某一具體函數的性質（函數的單調性、圖像或值域等）確定參數取值.本題的函數圖像與x軸有一個交點，可轉化為方程f（x）=0有唯一解，再實行參數分離.

當x∈（-∞，0）時，h′（x）>0，所以h（x）在（-∞，0）上為增函數.

當x∈（0，1）或x∈（1，+∞）時，h′（x）<0，所以h（x）在（0，1）和（1，+∞）上為單調減函數.

作出h（x）的圖像，如圖1所示.

點評：解法3利用分離參數的方法，巧借函數的圖像，直觀地反映出a的取值范圍，使問題的解決簡單易行.

變式1：如將本題中的第（2）問變為：“若函數f（x）的圖像與軸有兩個交點，求a的取值范圍.”

結合解法3的圖3可知a=0.

變式2：如將本題中的第（2）問變為：“若函數f（x）的圖像與x軸有三個交點，求的取值范圍.”

同樣利用圖3易知a<0.

從以上三種不同的視角進行解題可以看出，視角1合乎情理，體現了思維的直接性，但對學生的運算能力要求較高，需要解兩個無理不等式，往往會半途而廢，無功而返.視角2在視角1的基礎上，尋求突破，靈活利用韋達定理巧妙跨越運算障礙，讓人倍感輕松.這一解法凸顯了思維的靈活性.視角3采用分離參數，另辟蹊徑，將問題轉化為某一具體函數進行研究，借助函數的圖像，直觀明了，問題便迎刃而解，凸顯了思維的深刻性.視角3讓我們從另一角度剖析了試題的本質，并對試題進行了變式探究，提升了實體的價值，激活了學生的思維，可謂一舉多得.

變換不同的視角解題，不斷優化解題思路，梳理出解決本題的最佳方法，可使思維更靈活，對問題理解更深刻，從而提高學生解決綜合問題的能力.在平時的學習中，應該多注意這方面的訓練，從而在解決這類綜合問題時思路開闊，從容應答.