分類加法計數原理與分步乘法計數原理的應用

王開華

考點：用計數原理解決“分給問題”

【例】有四位學生參加三項不同的競賽：

（1）每位學生必須參加且只能參加一項競賽，有多少種不同的結果？

（2）每項競賽只許一位學生參加，有多少種不同結果？

【自主解答】

（1）學生可以選擇競賽項目，而競賽項目對學生并無條件的限制，所以每位學生均有3個不同的機會，要完成這件事必須是每位學生參加的競賽全部確定下來才行，因此需分四步，而每位學生均有3個不同機會，所以用分步乘法計數原理可得3×3×3×3=34=81種不同結果。

（2）競賽項目可挑選學生，而學生無選擇項目的機會，每一個項目可挑選4位學生中的一位，要完成這件事必須是每項競賽所參加的學生全部確定下來才行，因此分三步，用分步乘法計數原理可得4×4×4=43=64種不同結果。

【搖身一變】

保持例題條件不變，若每位學生只能參加一項競賽，且每項競賽只許一位學生參加，則共有多少種不同結果？

解：第一個項目可挑選4個學生中的一位，有4種不同的選法；第二個項目可從剩下的3個學生中選一位，有三種不同的選法；第三個項目可從剩余的2位學生中選一位，有兩種不同的選法，故共有4×3×2=24種不同結果。

【規律總結】

解答此題，每位學生選定競賽或每項競賽選定學生對完成整個事件的影響至關重要，否則容易把兩問結果混淆，其原因是對題意理解不清，對事情完成的方式有錯誤的認識。

【變式之作】

（1）8本不同的書，任選其中3本分給3個學生，每人一本，有多少種不同的分法？

（2）將4封信投入3個郵筒，有多少種不同的投法？

（3）3位旅客到4個旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？

解：（1）分三步，每位學生取書一本，第1、2、3個學生分別有8、7、6種取法，因而由分布乘法計數原理，共有N=8×7×6=336（種）。

（2）完成這件事可以分作四步，第一步投第一封信，可以在3個郵筒中任選一個，因此有3種投法；第二步投第二封信，同樣有3種投法；第三步投第三封信，也同樣有3種投法；第四步投第四封信，仍然有3種投法。由分布乘法計數原理，可得出不同的投法共有N=3×3×3×3=81（種）。

（3）分三步，每位旅客都有4種不同的住宿方法，因而不同的方法共有N=4×4×4=64（種）。

（作者單位 甘肅省古浪縣定寧初級中學）