改變習慣盲區 凸顯數學本質

強震球

《倍數和因數》（蘇教版小學數學四年級下冊）一課，教材的編寫在以下兩方面作了嘗試：一是重建知識體系，學生通過拼長方形的活動并依據乘法算式認識倍數和因數，概念揭示變“邏輯演繹”為“活動建構”。二是找一個數的倍數、因數的方法，與建立倍數、因數概念的大背景保持一致，啟發學生借助乘法算式進行。在尊重、理解教材編寫意圖的基礎上，我設計并執教了這一課。

一、“意義建構”與“本質定義”

任務：請看大屏幕，這里有12個同樣的小正方形，你能將它們拼成一個長方形嗎？在頭腦里拼一拼，并用一個乘法算式表示出你的拼法。

交流：學生說拼法和相應的乘法算式（屏幕上相機展示拼法和乘法算式，最后留下三個乘法算式）：4×3=12，6×2=12，12×1=12。

定義倍數、因數：用12個同樣的小正方形可以拼出三種不同的長方形，由此可以寫出三個不同的乘法算式。看算式4×3=12，我們知道4、3是乘數，12是積。乘數和積之間還存在另外一種特殊的關系：12是4的倍數，12正好是4的3倍；4是12的因數。師邊說邊在算式上用箭頭直觀表示（如下圖）：

板書：12是4的倍數

4是12的因數

揭示課題：倍數和因數。

舉一反三：誰來說說3與12的關系，可不要說反了。根據6×2=12，12×1=12這兩個乘法算式，誰來說說誰是誰的倍數，誰是誰的因數？

溝通小結：從上面我們可以看出，在乘法算式中，積與乘數的關系就是倍數與因數的關系，積是乘數的倍數，乘數是積的因數。

提純鞏固關系：給你們兩個數，你們能說一說誰是誰的倍數，誰是誰的因數？（逐一出示）8和2 3和15 3和7 4和0

“倍數和因數”傳統上，教材是按數學知識的邏輯系統安排的，在除法和整除的基礎上由整除直接演繹推理，概念揭示學生從抽象到抽象，沒有親身經歷的過程，概念的獲得刻板、冰冷。蘇教版現行教材從學生熟悉的“用同樣的小正方形拼長方形”活動入手，提取活動中的研究對象“三個乘法算式”，激活并喚起學生的“因倍意識”，進而讓學生生動、有意義地建構“倍數、因數”的意義。這種基于學生原有知識經驗之上，從具體到抽象感知和理解概念，是學生自主操作、積極思考的結果，是一種意義建構。

1.改動手操作“拼長方形”為“想象拼長方形”

動手操作不是單純的行為活動，更重要的是讓學生在活動中要有思維。“拼長方形”活動是學生熟悉的、感興趣的，幾乎人人都知道有不同的拼法，也都能順利拼出三種不同的長方形，學生再操作不能引起新的思維，也不能生成新的知識。因此，教學中充分利用學生已有的知識經驗，讓學生借助表象進行操作和想象活動，“短、平、快”直奔研究對象“三個乘法算式”。

2.建立模型，凸顯倍數、因數相互依存的本質關系

倍數與因數是一種關系，客觀存在于具體的兩個自然數之間。因此，要通過完整的語言表達關系，讓學生體會這種關系。以4×3=12為例，教學改變原來定義的敘述：12是3和4的倍數，3和4都是12的因數，緊扣倍數和因數兩數關系的本質——相互依存，直接組塊定義倍數、因數，打破“因倍關系”的乘法意識，避免學生把“因倍關系”理解為是三個數的關系。概念揭示的同時用直觀圖表示，建立模型。練習時改“乘法算式說關系”為“一組兩數說關系”，既達到鞏固新知的目的，更讓學生從本質上理解倍數和因數的含義，為下面探索找一個數的倍數、因數的方法鋪墊。同時，巧妙處理“0的特殊性”問題，統一因倍關系的研究范圍，自然流暢。

二、“為錯誤而教”與“對話生成”

找一個數的倍數：

（1）學生說一個6的倍數，還能說一個嗎？

（2）學生按要求寫出6的倍數：從小到大全部寫出來。

（3）省略號表示：教師巡視，能全部寫出來嗎？怎么表示？

（4）確定第一個，有序找：寫出來了嗎？查一查，6的倍數第一個到底是誰？再查查，第二、第三個又分別是誰？

（5）討論交流，揭示方法：6的倍數第一個是誰？第三個呢？怎么找的？按順序從小到大找6的倍數怎么想？

（6）鞏固練習：找2、5的倍數。

找一個數的因數：

（1）6的倍數會找了，那誰來說說6的因數有哪些？（板書：6的因數有：1、2、3、6。）你們怎么想的？（想除法算式6÷（ ）=（ ），沒有余數。）

（2）找36的因數：會找嗎？不要吹牛噢！找36的因數，老師也有要求：看誰找得全，沒有遺漏；找得快，方法巧妙。開始。

（3）反饋交流，揭示找法、寫法：請找得最快的同學談談想法。（用除法，一對一對找。一對空開寫。）

（4）小結試練：找一個數的因數，用除法，從1開始一對一對找，這種方法怎么樣？用這樣的方法口答：說出2、5的因數。寫出15、9的因數，看誰找得又快又全。

找一個數的倍數、因數對學生來說并不難，問題出在寫一個數的第一個倍數總把最小的本身遺漏，學生認為一個數的倍數總比自身大。難就難在寫出一個數的所有因數。

1.接納錯誤，對話生成

從心理學、教育學角度分析：學生受生理、心理及認知水平的限制，出錯是不可避免的。而且學生獲得數學知識本來就應該是在不斷地探索中進行的，作為教師，當學生有了錯誤，要給足學生思考的時間和空間，引導學生發現錯誤、糾正錯誤，站在學生的角度，“順應”他們的認知，對癥下藥，找到解決問題的辦法。教學中為學生營造了一個“對話場”，放手讓學生嘗試尋找“6的倍數、6的因數、36的因數”，在生生、師生多角度、多層面的對話中發現、完善找一個數的倍數、因數的方法，彼此分享經驗、溝通交流，生成新方法。在錯誤的校正過程中，提升學生的思維，情感、態度、價值觀得到升華。

2.因數尋找，塑造興奮點

找一個數的因數是本課的難點，如何突破？根據學生的認知水平，小坡度設置，逐步提高教學要求，培養解決問題的興趣，提升解決問題的成功感，讓學生的思維永遠處于興奮狀態。先找“6的因數”，個數少，學生很容易全部找到，獲得成功體驗。同時與找“6的倍數”形成對比，讓學生初步認識找一個數的因數與倍數方法不同，意義也不一樣。接著讓學生找“36的因數”，熟悉的場景讓學生躍躍欲試，激起他們思維的興奮點，并適時提高要求：又全又快。師生交流，相互評價，學生主動建構起“找一個數的因數的方法”，總結方法，提升水平，培養學生思維的有序性和深刻性。

三、“豐富特征”與“啟迪智慧”

我們都會找一個數的倍數、因數了，大家再來找找其他數的倍數、因數。

對比找：①8的倍數有 ，8的因數有 。

②7的倍數有 ，7的因數有 。

③12的倍數有 ，12的因數有 。

填空：①8的因數的個數一定比8的倍數的個數 。

②8的因數不一定比8的倍數

。

填表：

要全面形成倍數、因數的概念，學生除了會找一個數的倍數、因數外，還得認識倍數、因數的本質屬性。因此教材分段在“試一試”后面安排引導學生自己分析、研究一個數的倍數、因數的個數、最大、最小的特征。教學通常按部就班，學生試找其他自然數的倍數、因數，然后組織觀察、比較，交流發現一個數的倍數、因數的特征，這樣的教學顯得很突兀，學生“被接收”。“知識關乎事物，智慧關乎人生；知識是理念的外化，智慧是人生的反觀。”從知識課堂走向智慧課堂，為學生的智慧成長而教，應成為數學教學的傾心追求。對倍數、因數內涵的挖掘，不僅要關注學生對“一個數的倍數、因數的特征”的掌握，更是讓學生發現概括特征的需要，總結要有力，從中體會數學學習的方法，自然地釋放學生的潛能，開啟心智。因此，教學有意設置對比統一的情境：找同一個數的倍數、因數。一方面讓學生繼續鞏固找一個數的倍數、因數的方法，另一方面讓學生在寫的過程中清晰地感知到自然數的倍數、因數個數不同。三組類比練習后讓學生“填空”，學生自然聚焦倍數、因數的個數與大小，直觀感性。理性概括“填表”，特征明晰，學生總結水到渠成。教學從直觀到抽象，學生做中感悟，既獲得了知識，更是經歷過程體驗到數學學習的方法。

回顧全課教學，我圍繞“操作與思維”“概念的本質解讀”“數學結果與過程”“總結與數學學習方法”等問題不斷地刷新思考與實踐，把“倍數和因數”的教學設計成教師指導下凸顯數學本質，激發學生學習興奮點，啟迪學生智慧，自主發現、總結問題的過程，讓學生掌握基本數學知識與技能、數學思想與方法，獲得數學活動經驗。