“角的度量”教學策略

薛生林

一、經歷構建概念過程，滲透分類思想

當學生學習了平角、周角的概念后，為了讓學生對角有更深入的理解，必須對角進行分類，理清銳角、直角、鈍角、平角、周角之間的關系。因此，學生通過對角進行估認來認識角的類型，從而感知角的概念，通過對角的測量來修正角的類型，形成根據角的度數區分直角、平角、銳角、鈍角和周角的策略，從而加深對角概念的理解。學生對多樣的角進行分類，從而有效地構建角的概念。如，讓學生對下列角經過自主估認、測量、分類等活動后，進行交流并匯報。

生1：∠1和∠6是銳角，因為這兩個角比直角小。經過我的測量，∠1的度數是45°，∠6的度數是50°，我的估認與我的測量結果相同。

生2：∠3是平角，因為平角的兩條邊在同一直線上，與我們的量角器經過中心點的0刻度線完全重合，∠3的度數是180°。∠5是周角，因為周角是一條射線繞它的端點旋轉一周所成的角。當周角的一條射線繞它的端點旋轉到同一直線上時形成平角，這時正好是180°；再旋轉到兩條邊重合在一起時，等于2個平角，所以，∠5的度數是360°。

生3：∠2和∠7是鈍角，因為這兩個角比直角大。經過測量，∠2的度數是120°，∠7的度數是130°。∠4是我的估認與實際測量有不同的，我估認∠4是銳角，經過測量發現∠4是直角。

生4：我想補充∠7不需要測量也能知道度數，因為∠6和∠7形成一個平角，已測得∠6=50°，所以∠7=180°-∠6=180°-50°=130°。因此，∠1和∠6是銳角，∠4是直角，∠2和∠7是鈍角，∠3是平角，∠5是周角。

生5：我和同桌是通過填表的方式來研究角的分類。

生6：我還知道各角之間的關系，因為銳角<90°，直角=90°，90°<鈍角<180°，平角=180°，周角=360°，所以，銳角<直角<鈍角<平角<周角。

生7：我想補充各角之間的關系，1平角=2直角，1周角=2平角=4直角。

對角進行有效的分類，確定分類的標準至關重要。由于學生受借助三角板上的直角來判斷一個角是直角、銳角和鈍角，往往把角分成銳角、直角、鈍角和平角、周角這幾類。而讓學生經歷估認角的類型、測量角的大小后再根據角的度數對角進行分類，逐步概括并形成角的概念。正如《義務教育數學課程標準（2011年版）》中所指的那樣：“通過多次反復的思考和長時間的積累，使學生逐步感悟分類是一種重要的思想。”

二、經歷估量測量過程，滲透數形結合思想

根據給定的角來估計角的度數，根據角的度數來想象角的大小，是學生學習角的度量的難點。如何讓角的圖形與角的度數有效結合？數形結合能實現角的度數與圖形結合起來研究角的度量問題。

角的大小跟什么因素有關？由于受長度（一維特性）的影響，在四年級學生的原有認知中，角（二維特性）的大小與角的兩邊畫出的長短有關。如何讓學生經歷感知強成分到感知弱成分的過程？學生一組組地進行觀察和比較，判斷第一行和第二行角的大小（如下圖）。

根據學生的原有認知，絕大多數學生認為第二行比第一行的角大一些，學生的理由不外乎第二行的邊比第一行的邊長，覺得第二行比第一行開口大。

基于學生空間觀念發展的特點，學生用一副三角板拼一拼上面的每一組角，判斷第一行與第二行角的大小，并再比較第一行四個角的大小。學生用三角板拼后進行交流。

生1：我用三角板中的一個小角（指30°角）去拼∠1和∠2，發現∠1和∠2都是一個小角大小。

生2：我也用三角板上的小角去拼第二組中的∠3和∠4，發現∠3和∠4都相當于兩個小角的大小。

生3：我是用三角板上的大角（指60°角）去拼∠3和∠4，發現∠3和∠4都是一個大角大小。

生4：我是用三角板上的小角去拼第三組的∠5和∠6，發現∠5和∠6都相當于4個小角的大小。我的同桌用大角去拼，發現∠5和∠6都相當于兩個大角的大小。

生5：我用三角板上的大角和小角都無法拼出第四組中的角，第四組中的角無法判斷。

生6：（邊展示邊說）我用兩塊三角板能拼出∠7和∠8，先用含有小角的三角板拼直角，再用另一塊三角板的角（指45°角）就拼出了∠7和∠8。雖然我知道∠7和∠8一樣大，但我不知道∠7和∠8的度數。

師：角的大小與什么因素有關？

生1：經過比較，角的大小與角的兩邊畫出的長短沒有關系。

生2：角是從一點引出兩條射線所組成的圖形，因為射線的一端可以無限延伸，所以，角的大小與角的兩邊所畫的長短無關。

生3：從第一行中，我發現∠1相當于一個小角的大小，∠3相當于兩個小角的大小，∠5相當于四個小角的大小。角的大小與兩條邊張開的大小有關，張開得越大，角越大。

師：同學們經過觀察與比較，得出角的大小要看兩條邊叉開的大小，叉開得越大，角越大。請同學們再比較第一行四個角的大小，有多大，大多少？

生1：∠3的度數是∠1的2倍；∠5的度數是∠3的2倍，是∠1的4倍；∠7的度數是∠1的4倍多一些。因此，這四個角的大小是∠1<∠3<∠5<∠7。

生2：用我的三角板無法判斷四個角的度數和大多少，而我同桌三角板上的度數能判斷這四個角的度數。

生3：用三角板來判斷角的大小，不僅麻煩，要比對，要計算，而且有的角無法用三角板來判斷。比較角的大小，要用量角器。

學生經過角的觀察、比較、判斷等一系列思維操作活動，不僅經歷比較角的大小的過程，更重要的是學生親歷從比較角的大小中生成要量角的大小用量角器的過程。學生經歷量角器的認識、了解角的計量單位和符號、感知角的度量方法后，學生先估計一副三角板上各個角的度數，并量一量各是多少度；再用量角器測量第二行中四個角的度數。學生估計與測量后，進行交流并展示。

學生1：長度標注在直角邊的三角板，我的估測與測量的結果是相同的，分別是90°、60°、30°。

學生2：長度標注在底邊的三角板，我的估測與測量的結果有不同的地方，在估測時，下面的兩個角分別是40°、50°，實際測量時發現這兩個角的度數是一樣的，都是45°。

學生3：經過對一副三角板的測量，我發現開口向右的角一般要看內圈的刻度，開口向左的角一般要看外圈的刻度。

學生4：經過對第二行四個角的測量，我測量的結果是∠2=30°、∠4=60°、∠6=120°、∠8=135°。我發現∠4比∠2大30°，∠6比∠4大60°，∠8比∠6大15°。

學生5：四個角的測量結果與我們拼的結果是一致的，并且，我從四個角的比較中發現角可以看做一條射線繞其端點旋轉一定度數后形成的圖形。

學生6：經過測量，我現在能比劃出30°、45°、60°、90°、120°、135°的角。我能想象出30°、45°、60°、90°、120°、135°角的大小。

當然，角的大小必須通過學生反復地估量和測量才能建立起來。在角的估量與測量的過程中，實現數量關系與圖形性質的相互轉化。在對角的觀察、比較、拼角、測量等思維活動中，把抽象的數量關系和直觀的圖形結合起來研究數學問題。

三、經歷多元作圖過程，滲透類比思想

學生由認識線段、射線、直線引發經歷認識角的過程；學生由比較角的大小生成統一角的度量，建立度這個概念；學生從量角器量大量的角的過程中形成角的分類；學生通過畫角進一步鞏固角的度量。學生只有在理解了角的性質特征后，才有可能按要求畫出角。研究表明，作圖活動是幫助兒童理解形體特征、發展空間觀念的一個有效的操作活動。

學生在學習畫角知識時，可以充分利用原有量角的知識和經驗。老師不僅要讓學生經歷畫角的過程，更重要的是引導學生充分經歷類比的過程。如何讓學生經歷畫角的過程，從而培養學生的類比推理能力？學生選擇合適的方法畫出下列各角（10°、45°、60°、90°、105°、120°、165°），并說說它們分別是哪一種角。學生先自主畫角，再分組討論后，然后進行展示。

生1：我每個角都是用量角器畫的，因為我們已經學過量角的方法，所以用量角器畫角比較簡單。在用量角器量角的時候，先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的頂點重合，零刻度線和角的一條邊重合。因此，我在畫一個60°的角時，先畫一條射線，使量角器的中心和射線的端點重合，零刻度線和射線重合。然后看角的另一條邊所對的量角器上的刻度，就是這個角的度數。因此，畫角時，在量角器60°刻度線的地方點一個點。然后，以畫出的射線的端點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線。最后，標好角的符號及度數。

生2：我覺得有的角用三角板畫比較簡便，用三角板可以直接畫出45°、60°、90°的角，而10°、105°、120°、165°的角用量角器比較簡便。

生3：我除了10°的角要用量角器外，其他的角用三角板都可以完成，其中105°、120°、165°需要一副三角板畫出角的度數。

師：誰來介紹一下用一副三角板畫出105°和120°、165°的角？

生4：畫105°角的方法是：利用45°+60°=105°，可以先用三角板畫出一個45°的角，然后與45°的角共一條邊再畫出一個60°的角，這兩個角的和就是105°。畫120°角的方法與畫105°角的方法是相同的，可以利用60°+60°=120°或者90°+30°=120°來畫。

生5：畫165°角的方法是：利用30°+45°+90°=165°，可以用三角板畫一個30°的角，再接著畫一個45°的角，然后再畫一個90°的角，這三個角的和就是165°。

生6：我補充畫165°角的方法，利用45°+60°+60°=165°，我的同桌利用180°-15°=165°也能畫165°的角。

學生在作圖的過程中提出了各自作圖的策略，并交流自己選擇作圖的過程和策略，從而豐富了學生作圖的策略。學生在作圖的過程中不僅豐富了數學活動的經驗，更重要的是滲透了類比思想。學生在作圖后，根據所畫角的度數判斷角的類型，再一次讓學生經歷角的分類。當然，正如《義務教育數學課程標準（2011年版）》所言：“數學中有一些重要內容、方法、思想是需要學生經歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的。”因此，“組織學生操作實驗、觀察現象、提出猜想、推理論證等，都能有效地啟發學生的思考，使學生成為學習的主體，逐步學會學習”。

責任編輯：趙關榮