“淡妝濃抹”培養學生數學思維

杜兆義

培養學生的數學思維品質是發展其數學能力的突破口。思維能力包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和創造性，它們反映了思維不同方面的特征，因此在教學過程中應該有不同的培養策略。

“忙趁東風放紙鳶”——加深思維深度

教育家蘇霍姆林斯基說過：“教育的技巧并不在于能預見到課堂的所有細節，而是在于根據當時的具體情況，巧妙地在學生不知不覺中做出相應的變動。”這才是教學的理想境界。這就要求教師充分發揮主觀能動性，努力做到心中有預設，做中無預設；寓有形的預設于無形的、動態的教學中，真正溶入互動的課堂中；隨時把握課堂教學中閃動的亮點，把握促使課堂教學動態生成的切入點，并能堅定不移地加以貫徹、實施。

學生的差異性和教學的開放性，使課堂呈現出多變性和復雜性，再好的預設也不可能顧及所有出現的情況，再優秀的教師也不可能做到“一切盡在掌握中”，課堂上的“節外生枝”是必然的。這就需要教師課前不僅要廣泛收集材料，精心預設出具體可行的教學方案，還要在每個環節有多個方案，以便根據實際情況靈活調整預設，巧妙捕捉課堂上的“亮點”，給課堂生成提供時空。如一位教師教學“百分數的意義”時，當一學生提出“生活當中有沒有用到千分數呢”時，面對突如其來的問題，這位教師沒有選擇放棄，也沒有選擇一帶而過，而是很好地抓住這一生成，和學生一起展開對這種解法的實驗論證。事實證明，這樣做是有道理的，獲得了較好的教學效果。教師感覺到這是讓學生拓展對百分數認識的機會，就及時調整教學預案。教師先讓學生設計自己心中的千分號，并把它寫出來。學生聯系百分數的意義和符號，設計出的千分號都有3個圈，雖然圈的位置不同，設計的千分號各種各樣，但表示的意義是相同的。之后教師出示了正確的千分號。千分數雖在生活中運用較少，但教師平時注意積累，對千分數有了很深的了解，才敢直面學生的“節外生枝”，給學生足夠的時空，自己去探索千分號。學生在拓展百分數認識、加深千分數認識的同時，也獲得了創新能力的培養。

因此，教學中，教師應及時捕捉和誘發學生學習中出現的靈感，對于學生別出心裁的想法或違反常規的解答，甚至是標新立異的構思，哪怕只有一點點的新意，都應及時給予肯定，并引導學生的思維走向深入。

“遠近高低各不同”——拓展思維空間

數學思維僵化現象在學生中是大量存在的，這與學生平時所受的思維訓練有很大關系。如，教師過分強調程式化和模式化；例題教學中給學生歸納了各種解題類型，并要求學生按部就班地解題，不許越雷池半步；要求學生解答大量重復性的練習題，減少了學生自己思考和探索的機會，導致學生只會模仿、套用模式解題；灌輸式的教學使學生的思維缺乏應變能力……因此，為了培養學生思維的靈活性，應當增強數學教學的變化性，為學生提供思維的廣泛聯想空間，使學生在面臨問題時能夠從多種角度進行思考，并迅速地建立起自己的思路，真正做到舉一反三、觸類旁通。

比如，訓練學生對同一條件，聯想多種結論；改變思維角度，進行變式訓練；培養學生的個性，鼓勵創優創新；加強一題多解、一題多變、一題多思的訓練等。近年來，隨著開放性問題的出現，不僅彌補了以往習題發散性思維訓練的不足，而且也為發散性思維注入了新的活力。要對問題實行變通，只有擺脫習慣性思考方式的束縛，不受固定模式的制約才能實現。因此，在學生較好地掌握了一般方法后，要注意引導學生離開原有思維軌道，從多方面思考問題，進行思維變通。當學生思維閉塞時，教師要善于調動原型幫助學生接通與有關舊知識和解題經驗的聯系，作出轉換、假設、化歸、逆反等變通，產生多種解決問題的設想。

如解答“王師傅做一批零件，8天做了這批零件的 ，這樣，剩下的工作還要幾天可以完成？”這道題時，學生一般都能根據題意作出（1- ）÷（ ÷8）的習慣解答。此時，教師可引導學生求異性解答：

①完成剩下的零件還需要多少天？

（參考答案：8÷ -8或8÷ ×（1- ））

②已做的零件數是剩下零件數的幾分之幾？

（參考答案： ÷（1- ））

③剩下零件數是已做零件數的幾倍？

（參考答案：（1- ）÷ ）

④能從題中數量間找出相等方程的解法關系嗎？（參考答案：略）

⑤從題目的幾種量中你能判斷出比例解法的比例關系嗎？（參考答案：略）

通過這些引導，使學生自覺地從一個思維過程轉換到另一個思維過程，逐步形成在題中數量間自由往返調節的變通能力，這對培養學生的發散思維極為有益。

“柳暗花明又一村”——拓寬思維寬度

逆向思維就是突破思維定勢，從對立、顛倒、相反的角度去思考問題。教學實踐告訴我們，數學思維的發展是整體進行的，逆向思維總是與順向思維交織在一起。因此，教學中，教師既要注意對學生進行順向思維的訓練，也要重視對學生進行逆向思維的培養。

小學數學教材中存在著大量的順逆運算、順逆公式、順逆關系，如加減法、乘除法的運算和空間里的上下、前后等等。許多數學知識也正是通過這種可逆轉換來發展和深化的，這些都是培養學生逆向思維的極好內容。公式是解題規律的抽象概括，數學中的公式都具有雙向性，在正向應用的同時，加強公式的逆向應用訓練，不僅可以加深學生對公式的理解和掌握，培養學生靈活運用公式的能力，還可以培養學生的雙向思維能力。例如，學生學習了“三角形的面積”之后，出示下列練習題：一塊三角形塑料的面積是90平方厘米，它的高是10厘米，這塊三角形塑料的底邊長是多少厘米？組織學生思考，三角形的面積=底×高÷2，可以逆推出三角形的底=面積×2÷高，由此列式為90×2÷10=18（厘米）。另外，在教學中重視運用變式的方法精心設計練習，既有正向思維的題目，也有逆向思維的題目，把正逆思維交融在一起，既能幫助學生克服思維定式的消極影響，也能培養學生不能靜止地、孤立地、僵化地用一種方法思考問題，使逆向思維不斷深化。例如：

①（ ）÷7=6……5，57÷（ ）=8……1；

②200+（ ）÷600=350，120×（35+ ）=6000；

③用“四舍五入”法截取一個兩位小數的近似值為3.2，這個原數最小是幾？（分析：這道題根據四舍五入法已經截取的近似值是3.2，求原數，可以逆過來思考，先確定原數的范圍在3.24與3.15之間，從而得原數最小是3.15）。

思維能力的發展是學生智力發展的核心，也是智力發展的重要標志。因此，在小學數學課堂教學中要充分挖掘教材中的互逆因素，有機地訓練和培養學生的逆向思維能力，可以提高學生的數學素養。

“真作假時假亦真”——變通思維方向

數學教學要培養學生的想象力。數學想象一般有以下幾個基本要素：（1）要有扎實的基礎知識和豐富的經驗支持。（2）要有能迅速擺脫表象干擾的敏銳的洞察力和豐富的想象力。（3）要有執著追求的情感。因此，培養學生的想象力，首先要使學生掌握有關的基礎知識。其次，要根據教材潛在的因素，創設想象情境，提供想象材料，誘發學生的創造性想象。

某種程度上假設就是一種想象，而假設法在數學訓練中的運用可以使解題思路更為清晰。假設法是根據題目中的已知條件或問題作出某種假設，然后進行推算，對數量上出現的矛盾適當調整，以求出原問題的答案。常用的假設法有條件假設、問題假設與情景假設等。

例如：雞和兔共有42只，被關在一個大籠子里，從下面數出雞兔共108條腿。問雞、兔各有多少只？

解：假設42只全是雞，一共有84條腿，比實際情況的108條腿，少了24條腿。為什么會少呢？因為假設以后有若干只兔“變”成了雞，每有1只兔“變”成雞，就少了2條腿，一共少了24條腿，說明共有兔子（108-42×2）÷（4-2）=12（只）。

這樣，幾乎不需要列出算式，心算就可得出答案。借助想象，原來比較復雜的問題轉化為一個非常容易算的題目了。或許有的學生會說，這種神奇的數學想象簡直高不可攀，如果換了我，可實在想象不出來。學生不是想象不出，而是不習慣或者還不夠大膽。所以，教學中，教師要不斷訓練和培養學生的能力，千萬不要讓學生小看了自己。

培養學生思維能力的方法多種多樣，要使學生思維活躍，最根本的一條就是調動學生學習數學的積極性。教師要善于啟發、引導、點撥、解疑，使學生變學為思。

責任編輯：趙關榮