淺談二元一次方程組中部分難題的解題技巧

程捷逵

【內容摘要】解二元一次方程組的基本思想方法就是通過消元將“二元”轉化為“一元”。代入法、加減法是解二元一次方程組的基本方法，必須靈活運用，領會并掌握解二元一次方程組的方法，根據方程組的情況，能恰當地運用“代入消元法”和“加減消元法”解方程組。通過簡單方法的靈活選擇來提高學生的分析問題和解決問題的能力。

【關鍵詞】二元一次方程組 巧解 化難為易

大家知道，“代入法”與“加減法”是解二元一次方程組的一般方法。它們的實質都是消元。當同學們熟練地掌握了這兩種基本解法之后。就能解決一般的二元一次方程組中的題型，但是對于有些復雜一點的二元一次方程組中的有些題型，同學們處理起來還是有點吃力，根據多年的教學經驗，和教學中自己摸索的一些教學方法，同學們在聽講時更容易掌握一點。我來談談巧解二元一次方程組部分難題的一些方法。

二元一次方程組的題型我大致把它們分為三類：兩個方程，三個方程，四個方程。

兩個方程是我們書中最長見的，也是同學們練的最多的，他的基本解法有“代入法”與“加減法”。

代入消元法即：將方程組中一個方程的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程，最后求得方程組的解。

加減消元法即：當方程中兩個方程的某一未知數的系數相等或互為相反數時，把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，有些復雜一點的二元一次方程組我們還可以用換元法。

換元法即：解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。

以上的方法都是傳統一點的方法，大部分的老師和學生都能很好掌握，下面就方程組中有些巧妙的方法我來稍做介紹。

一、兩個方程

1.整體代入法

例1、解方程組

解：由①得x-y=1③，將③代入②得4-y=5，即y=-1，代入①得x=0，所以原方程組的解為x=0，y=-1。

2.參數法

例2、解方程

解：設3（x-1）=y+5=k，則有

將③和④同時代入②得

解得k=12，再將k=12代入③④得x=5，y=7。

下面重點來介紹三個方程和四個方程的方程組。

為了便于表達二元一次方程我把他們做出了如下定義：一個方程中如果只含有像x，y這樣的兩個字母我把他們稱之為“簡單”的方程，下面我都用“簡單”表述，對于一個方程中有三個或四個字母的方程我用“難”來定義他們名字。很明顯要解出一個方程組的解只要兩個“簡單”的方程就可以了。

二、三個方程

三個方程可以分為兩種類型：

1.“簡單”，“簡單”，“難”型。

例3、如果方程組

的解為方程3x+my=8③的一個解，求m。

觀察三個方程我們可以發現①②③分別是“簡單”，“簡單”，“難”，因此同學們自然就學會了先由兩個簡單方程①②解出方程組的解為x=2，y=1，代入方程③就能解得m=2。

例4、若方程組

中x=y③，求k。

觀察三個方程我們可以發現①②③分別是“簡單”，“難”，“簡單”，因此同學們自然就學會了先由兩個簡單方程①③組成方程組并解出方程組的解為x=3，y=3，代入②解得k=1。

例5、已知二元一次方程2x+y=3①，2x-my=-1②和3x-y=2③有公共解，求m。

觀察三個方程我們可以發現①②③分別是“簡單”，“難”，“簡單”，因此同學們自然就學會了先由兩個簡單方程①③組成方程組并解出方程組的解為x=1，y=1，代入②得m=3。

例6、若方程組

的解x與y互為相反數③，求a。

我們可以把方程③改寫為x+y=0，觀察三個方程我們可以發現①②③分別是“簡單”，“難”，“簡單”，因此同學們自然就學會了先由兩個簡單方程①③組成方程組并解出方程組的解為x=1，y=-1，代入②得a=2。

2.“難”，“難”，“簡單”型。

對于“難”，“難”，“簡單”型我們又可以把它們分為四類。

第一類：對于字母x，y他們的系數不是1或-1，但是兩個方程的字母k的系數是1或-1，這類題型我們可以想辦法先把兩個方程利用加減法把k約掉，得到一個“簡單”的方程，再和另外一個“簡單”的方程組成方程組解出x，y的值，再帶入“難”求出k的值。

例7、若關于x、y的二元一次方程組

的解中，x與y的差為7③，求k。

解：②-①得2x+3y=-1④再由③和④組成方程組解得x=4，y=-3，代入①得k=-2。

例8、關于x、y的二元一次方程組

滿足x+y=12③，求k的值。

解：②-①得x+2y=2④再由③和④組成方程組解得x=22，y=-10，代入①得k=-1。

第二類：對于字母x，y他們的系數比較簡單是1或-1，但是兩個方程的字母k的系數比較復雜，這類題型我們可以想辦法先把兩個方程利用加減法解出x等于幾k，y等于幾k，再把x等于幾k，y等于幾k代入“簡單”的方程就可求出k的值。

例9、若關于x、y的二元一次方程組

的解也是方程x+2y=15③的解，求k。

解：①+②得x=7k，①-②得y= -2k。把x=7k，y=-2k代入③解得k=5。

例10、如果二元一次方程組

的解是二元一次方程3x-5y-28=2③的一個解，那么k為多少。

解：①+②得x=2.5k，①-②得y= -1.5k。把x=2.5k，y=-1.5k代入③解得k=2。

第三類：對于字母x，y，字母k的系數都比較復雜，這類題型我們既可以用第一類的方法先把兩個方程利用加減法把k約掉，得到一個“簡單”的方程，再和另外一個“簡單”的方程組成方程組解出x，y的值，再帶入“難”求出k的值。也可以用第二類的方法利用加減法解出x等于幾k，y等于幾k，再把x等于幾k，y等于幾k代入“簡單”的方程就可求出k的值。

例11、如果二元一次方程組

的解滿足二元一次方程x+y=5③，那么k為多少。

第四類：仔細觀察x和y的系數特點，有些題目有捷徑可以走。

例如：若方程組

的解滿足x+y=0③，求m。

解：①+②得3x+3y=2+2m，即x+y=（2+2m）/3因為x+y=0，所以（2+2m）/3=0，解得m=-1。

三、四個方程

例12：已知方程組

和方程組

的解相同，求（2a+b）2013的值。

分析：我們觀察①②③④這四個方程，可知道①③這兩個方程為“簡單”，②④這兩個方程為“難”，因此解題的時候可以先由兩個“簡單”的方程組成方程組求出x和y的值，再代入兩個“難”的方程就能解出a和b的值了

解：由①③組成方程組得

解得x=2，y=-6，代入②④得

解得a=1，b=-1。所以（2a+b）2013=1

例13；已知方程組

和方程組

有相同的解，求a、b的值。

分析：很明顯本題①④為“簡單”，②③為“難”。

解：由①④組成方程組得

解得x=3，y=-1，代入②③得

解得a=1，b=2。

以上是我在解二元一次方程組中部分難題的一些想法，不妥之處，請同行指正。

（作者單位：安徽省淮南市龍湖中學）