恒成立問題的解法

邊芳

摘要：不等式恒成立是經(jīng)常遇到的問題，解決方法靈活。筆者在多年的數(shù)學教學中總結(jié)了一些方法，在此文中加以介紹。

關鍵詞：分離變量；含參函數(shù)；數(shù)形結(jié)合

高三復習中經(jīng)常出現(xiàn)恒成立問題和有解問題，解決這兩類問題實質(zhì)上解法相同，都是轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題。主要方法有分離變量，含參函數(shù)，數(shù)形結(jié)合三種方法。方法中滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法。筆者利用以下幾個例題來說明恒成立問題。

例1：若不等式x2+ax+1≥0對于一切x∈（0，■]都成立，求實數(shù)a的最小值。

解法1：（分離變量）不等式可化為ax≥-x2-1 ，x∈（0，■]恒成立，即a≥-（x+■），x∈（0，■]恒成立。

令y=-（x+■），∵y=-（x+■）在（0，■]上是減函數(shù)。∴y=-（x+■）max=-■∴a≥-■，a的最小值為-■。

解法2：（含參函數(shù)）令f（x）=x2+ax+1對稱軸x=-■。

-■≤0f（0）≥0？圯a≥0，0<-■<■f（-■）≥0？圯-1

-■≥■f（■）≥0？圯-■≤a≤-1

綜上a≥-■，∴a的最小值為-■。

比較兩種方法，分離變量不用討論，轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)求最大值；而含參函數(shù)方法中是直接求含參的二次函數(shù)的最小值，需分三種情況討論。此題還是分離變量的方法較好，避免了分類討論。

例2：若對任意R，不等式|x|≥ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解：在同一直角坐標系中畫出y=|x|與y=ax兩個函數(shù)圖象如圖1：

觀察圖象a的取值范圍[-1，1]，當不等式兩端對應的函數(shù)類型不同時多用數(shù)形結(jié)合法。

例3：已知集合P={x|■≤x≤3}函數(shù)f（x）=log（ax2-2x+2）的定義域為Q，若P∩Q=Φ，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：Q為ax2-2x+2>0的解集∵P∩Q=Φ，∴Q的范圍和P的范圍沒有公共部分，即求ax2-2x+2>0的解集與P無公共部分。但是含參的二次函數(shù)討論起來較麻煩。可以轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決。

解：要使函數(shù)f（x）有意義，只需ax2-2x+2>0。∵P∩Q=Φ。等價于？坌x∈P ax2-2x+2≤0恒成立。即a≤（■-■）2+■恒成立。

令y=（■-■）2+■∵■≤x≤3 ∴■≤■≤2

∴y=（■-■）2+■∈[-4，■]，y=（■）min=-4

∴a≤-4。

在解綜合性較強的恒成立問題時，有時一題多法，關鍵抓住恒成立的實質(zhì)，具體問題具體分析，不要拘泥于一種方法。

參考文獻：

1.《高中數(shù)學教與學》，2012

【責編 閆 祥】