條件概率的第三種解法

張晶晶

條件概率的定義：一般地，設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P（A）>0，稱P（B|A）為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.課本中介紹了兩種解法，即P（B|A）=n（AB）/n（A）和P（B|A）=P（AB）/P（A）.

例：3張獎(jiǎng)券中只有1張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由3名同學(xué)無(wú)放回地抽取，如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是多少？

如果三張獎(jiǎng)券分別用X1，X2，Y表示，其中Y表示那張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么三名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果共有六種可能：X1X2Y，X1YX2，X2X1Y，X2YX1，YX1X2，YX2X1，記C={X1X2Y，X1YX2，X2X1Y，X2YX1，YX1X2，YX2X1}，用A表示“第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，用B表示“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”.

課本解法一：AB表示“第一名同學(xué)沒(méi)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券且最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，包括X1X2Y和X2X1Y這2個(gè)事件，A包括X1X2Y，X1YX2，X2X1Y，X2YX1這4個(gè)事件，則P（B|A）=n（AB）/n（A）=1/2.

課本解法二：C包括了6個(gè)事件，P（AB）=n（AB）/n（C）=2/6，P（A）=n（A）/n（C）=4/6，P（B|A）=P（AB）/P（A）=1/2.

下面我們介紹第三種解法.

第一名同學(xué)既然沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么就只考慮剩下的兩位同學(xué)和一張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，記為Y，一張非中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，記為N.兩位同學(xué)不放回地抽取，一共包括NY，YN這2個(gè)事件，則最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券指NY這1個(gè)事件，概率為1/2.

顯然，第三種解法更易理解。這種解法把條件概率P（B|A）表示為A發(fā)生后剩余的含B的基本事件個(gè)數(shù)/A發(fā)生后剩余的基本事件總數(shù).

實(shí)際上，很多條件概率都可以用這里提到的第三種解法解題.如：

1.6名同學(xué)參加百米短跑比賽，賽場(chǎng)共有6條跑道。已知甲同學(xué)排在第一跑道，則乙同學(xué)排在第二跑道的概率是多少？

這題理解為既然甲在第一跑道，那剩下5名同學(xué)分別排在剩下的5條跑道，那乙要排在第二跑道，是全部的1/5.

2.10件產(chǎn)品中有3件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第一次抽出的是次品，則第二次也抽出次品的概率是多少？

這題理解為既然第一次抽出次品，那剩下2件次品和7件正品，第二次抽出次品是9件產(chǎn)品中的兩件，為2/9.

3.盒中有9個(gè)球，其中4個(gè)白球，3個(gè)黃球，2個(gè)黑球，從盒子中任意取出1個(gè)球，已知它不是黑球，則它是黃球的概率是多少？

這題理解為既然不是黑球，則是3個(gè)黃球和2個(gè)黑球，那它是黃球是剩下的5個(gè)球中的3個(gè)，為3/5.

那是不是所有的條件概率都可以用這里介紹的第三種方法解題呢？再來(lái)看一道例題.

已知一個(gè)箱子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，一次摸出2個(gè)球，在已知它們的顏色相同的情況下，求該顏色是紅色的概率？

解：記摸出的2個(gè)球顏色相同為事件A，摸出的2個(gè)球是紅球?yàn)槭录﨎，由于事件A發(fā)生的同時(shí)，事件B也可能發(fā)生，故用課本給出的條件概率定義解決：

n（AB）=n（B）=C32=3，n（A）=C32+C22=4

所以，P（B|A）=n（AB）/n（A）=3/4

這道題如果用第三種解法，顯然不合適了.

由此得出：條件概率P（B|A）包括兩種情形.第一種情形：事件A發(fā)生后，事件B才發(fā)生；第二種情形：事件A發(fā)生的同時(shí)，事件B也可能發(fā)生.這兩種情形的共同點(diǎn)是事件A、B都發(fā)生.如果是第一種情形，則可采用上文所提的第三種解法；如是第二種情形，則只能采用課本中介紹的條件概率解法求解.