對一道高考題的思考

劉秦

【摘要】高中階段提出了判別式法在判斷直線和二次曲線相切的方法，但是對于兩條二次曲線相切的判斷卻從未探討過，本文主要是以對2011年重慶高考理科數學試卷中的第15小題的解法提出疑惑作為開始，探討了判別式法在判斷圓和拋物線相切時的誤區，進而提出判斷二次曲線相切的充要條件。

【關鍵詞】圓；拋物線；相切；判別式；二次曲線

一、高考題目

在2011年重慶高考理科數學試卷中有如下題目：

15、設圓C位于拋物線 與直線 所圍成的封閉區域（包含邊界）內，則圓C的半徑能取到的最大值為__________

解析： 。為使圓 的半徑取到最大值，顯然圓心應該在x軸上且與直線 相切，設圓 的半徑為 ，則圓 的方程為 ，將其與 聯立得： ，令 ，并由 ，得：

二、疑惑

上面的解答過程我們感到既陌生又熟悉，那是因為在解決直線和圓錐曲線相切問題時我們經常聯立直線和圓錐曲線方程消元，再令 ，最后得到解。但是對于兩條圓錐曲線相切的問題是否也可以用判別式來判定呢？答案是否定的，對于兩條二次曲線相切的問題如果用判別式來判定會遇到兩大難題，①聯立兩個圓錐曲線方程不一定能消元得到一個一元二次方程；②就算能夠聯立消元，判別式也不一定能判別他們相切。下面舉例說明：

例1：已知拋物線方程為 ，一動圓的方程為 ，若動圓和拋物線相切，求參數 的值。

我們用判別式來試一試：

聯立兩曲線方程：

消掉 得：

令 得：

由判別式法我們得到參數的值為9，那么當 時兩條二次曲線是否相切？兩條二次曲線相切時，是否參數 只能等于9呢？我利用幾何畫板將參數 進行變化，讓動圓從左往右移動變化，從相離到相切再到相離，發現有兩個時候它們相切，相應的圖像及其相應的參數值如下：

上例說明了，用判別式不一定能找完所有的參數值。

下面我們再看一個例題：

例2：已知拋物線方程為 ，一動圓的方程為 ，若動圓和拋物線相切，求參數 的值。

我們用判別式來試一試：

聯立兩曲線方程：

消掉 得：

令 得：

由判別式法我們得到參數的值為3，那么當 時兩條二次曲線是否相切？兩條二次曲線相切時，是否參數 只能等于3呢？我利用幾何畫板將參數 進行變化，讓動圓從左往右移動變化，發現它們根本就不會相切，當 時，兩圖的位置關系如下：

上例說明了，當判別式為零時兩曲線不一定相切。

從上面看出判別式等于零并不是二次曲線相切的充要條件，那么兩條二次曲線相切的充要條件是設么呢？那首先我們得弄明白兩條二次曲線相切的定義。

三、兩條二次曲線相切的定義

定義：如果點 為兩條曲線 和 的公共點，并且兩條曲線在點 處有相同的切線，則稱曲線 和 相切于點 處。

下面我們來推導上述定義的符號表達式。

（1） 點 為兩條曲線 和 的公共點，即

（2） 若切線斜率存在，那么在點 處有相同切線就等價于它們有相同的斜率，即 ，但考慮到斜率不存在的情況，所以兩條曲線在點 處有相同的切線等價于

綜上所述，曲線 和 相切于點 處

等價于方程組 有公共解。

四、相切定義的運用

有了兩條曲線相切的定義，下面我們再來解決上面例1中的問題。

例1：已知拋物線方程為 ，一動圓的方程為 ，若動圓和拋物線相切，求參數 的值。

解：設拋物線和圓相切于點 ，可得如下方程

聯立解得： （舍掉）， ， ，

綜上所述，當 時，圓和拋物線相切于點 ，當 時，相切于點 和

五、小結

從上面的討論我們發現，用判別式法來判別兩條二次曲線是否相切是有問題的，要解決二次曲線相切的問題，可以轉化為求方程組 公共解的問題。

參考文獻：

[1]《高等代數與解析幾何》 西南師范大學出版社2002年9月第1版

[2]《數學分析》 高等教育出版社 2001年6月第3版