有理數中的數學思想例析

在平時的數學學習過程中，我們不僅要牢固掌握基礎的數學知識，而且還要明晰其中蘊涵的數學思想和方法.這樣，可以使得我們對數學知識有更加系統、深刻的了解和認識，同時也能做到對數學知識的高瞻遠矚、綜觀全局.下面就和同學們一起對《有理數》一章中的數學思想進行回顧、總結.

一、分類討論的思想

【例1】若a是有理數，|a|-a能不能是負數？為什么？

思路分析：a是有理數，.它可能是正有理數、負有理數或0，故需分a>0、a=0、a<0三種情況討論.

解：當a>0時，|a|-a=a-a=0

當a=0時，|a|-a=0-0=0

當a<0時，|a|-a=-a-a=-2a>0

所以，對于任何有理數a，|a|-a都不會是負數.

小結：理解絕對值的意義，是解決這類題目的關鍵.

二、數形結合的思想

【例2】已知數軸上有兩點A、B，它們分別表示互為相反數的兩個數a、b（其中a>b），并且A、B兩點間的距離是8，求a、b兩數.

分析：根據互為相反數的幾何意義，從而得出A、B兩點在數軸上的位置，根據數軸上的點所表示的有理數右邊的數大于左邊的數，從而正確解決問題.

解：根據相反數的定義可知，因為A、B到原點的距離相等，即A、B互為相反數，它們之間的距離是8，所以A、B距原點的距離都是4，又因為a>b，所以A點在原點右側距原點4個單位處，B點在原點左側距原點4個單位處，所以a=4、b=-4.

點評：若此題沒有指明條件是a>b，則要分兩種情況進行討論，即①a>b時，②a

【例3】有理數a、b滿足a>0，b<0且|a|<|b|，用“>”將a、b、-a、-b排列起來.

分析：要比較a、b、-a、-b的大小，可以在數軸上找到表示這四個數的點的位置，因|a|<|b|，故表示數a的點到原點的距離比表示數b的點到原點的距離要近，再根據互為相反數的兩個數在原點兩側，并且到原點的距離相等這一性質，在數軸上找出表示a、b、-a、-b的位置，即可知它們的大小.

解：將a、b、-a、-b在數軸上的位置表示出來（如下圖所示），由圖可知-b>a>-a>b.

點評：借助數軸，運用數形結合思想，使問題化難為易.

【例4】一跳蚤在一直線上從0點開始，第1次向右跳1個單位，緊接著第2次向左跳2個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位，…，依此規律跳下去，當它跳第100次落下時，落點處離0點的距離是_____個單位.

解析：將這個跳蚤跳動的次數與位置借助數軸來表示，以0點為原點，原點向右為正方向，第1次向右跳1個單位，其位置表示的點為1；緊接著第2次向左跳2個單位，其位置表示的點為-1；第3次向右跳3個單位，其位置表示的點為2；第4次向左跳4個單位，其位置表示的點為-2，依此規律跳下去，第6次，第8次，位置的點為-3，-4，第100次跳后落下，其位置表示的點為-50，故此時落點處離0點的距離是50個單位.

小結：運用轉化思想，使解題過程變得明快、簡捷.

四、整體思想1.整體分組【例6】計算1-2-3+4+5-6-7+8+…+97-98-99+100

分析：看來要找規律，才好解，兩個兩個找，發現不了什么，再觀察，發現數值的絕對值是連續整數，符號四個一組循環.把這4個一組的數作為一個整體.

解：原式=（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+…+（97-98-99+100）=0.

2.整體換元

【例7】計算2+22+23+24+25

分析：此題一一計算也行，若整體設元，就更快了.

解：設x=2+22+23+24+25，則2 x=22+23+24+25+26，用2x-x得x=26-2=62.

分析：分子、分母的結構都一樣，觀察發現整體變化的倍數規律也一樣.則分子、分母中能有相同的因式嗎？

整體觀察，全局考慮，事半功倍，何樂而不為.