幾何計算的兩大“綠色通道”

劉斌

在初中數學中，“幾何計算”的意義和作用是非常重大的.

第一，幾何圖形的大小、形狀及位置關系，需要運用相關的數量來表示，無疑地就會涉及到幾何量的計算；

第二，當我們注重研究圖形的動點問題、圖形的變換及運動問題，在坐標系里研究圖形的一些問題時，就愈是不可避免地要借助幾何量的計算；

第三，那些基于實際而模型化為幾何圖形的應用類問題，更是必須依靠幾何量的計算來解決.

因此，新時期的幾何學習，計算的份量加大了，層次提高了，掌握幾何計算的基本方法顯得尤為重要.

其實，初中幾何計算主要有兩大“綠色通道”，下面舉例說明.

一、善于用解直角三角形的方法完成幾何計算

例1：如圖1，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP=AC.

（1）求證：AP是⊙O的切線；（2）求PD的長.

分析（1），首先連結OA，利用圓周角定理，即可求得∠AOC的度數，利用等邊對等角求得∠PAO=90°，則可證得AP是⊙O的切線.

分析（2）易得∠DAC=90°，然后利用三角函數與等腰三角形的判定定理，即可求得PD的長.

（1）證明：如圖1，連結OA，

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°.

又∵OA=OC，

∴∠ACP=∠CAO=30°.

∴∠AOP=60°.

又∵AC=AP，

∴∠P=∠ACP=30°.

∴∠OAP=90°.

∴OA⊥AP，故AP是⊙O的切線.

（2）如圖1，連結AD，

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CAD=90°.

點評：通過上例可以看出，凡涉及到幾何圖形中量的計算時，應當首先考慮借助于解直角三角形，而在這種情況下，就需要恰當地構造出相應的直角三角形.

例2：如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四邊ABCD的面積

點評：從這個例子可以看出，在圖形比較復雜時為了在直角三角形中完成計算，需要依據題目的條件及圖形的其他特征通過有關的性質及定理，把一些數值和數量關系轉化到這個直角三角形中去，因此，這樣的計算也必須以熟練地掌握幾何圖形的基本性質為基礎.

二、掌握好用兩個三角形相似關系實施與完成幾何計算

當兩個三角形相似時，就會構成相關線段的比例等式，而在比例等式當中，若有一條線段是未知的，而其他線段是已知的或是未知線段的代數式，那么這樣的比例等式就成了未知線段的方程，借此方程求出未知線段，因此，用兩個三角形之間的相似關系，也可以實施與完成許多幾何計算.

例3：如圖3，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點E、F.

點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質、平行線的性質、等角對等邊、相似三角形的性質等.

例4：如圖4，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，OE⊥BC于點E，連結ED，交OC于點F，FG⊥BC作于點G.

（1）CG和CB有怎樣的數量關系？說明理由；

（2）若想在CB上確定一點H，使CB=4CH，請依據（1）得出的結果，說出畫圖的方法（不必說明理由）.

分析：顯然，圖中有一些相似三角形，比如：

△CFG∽△COE∽△CAB（Ⅰ組）；△EFG∽△EDC（Ⅱ組）；△OEF∽△CDF（Ⅲ組）；△EFC∽△FDA（Ⅳ組）等.

通過分析可知，應用到第Ⅰ組，因為其中含有線段CG和CB（即△CFG與△CAB）.

而其中的CF又包含在第Ⅲ組的三角形中，這樣就有：

（2）應這樣確定點H，連結DG，交CO于點M，作MH⊥CB于H，則應用CB=4CH，如圖5.

點評：從本例可以看出，有不少情況，需從較多的三角形相似關系中選取最為直接的能夠實現計算目的的兩對或幾對相似三角形，這既需要對圖形性質有深刻的認識，也需要善于對問題情意及要達到的目的進行深入分析.

點評：利用相似三角形解決問題，首先就要善于從圖形中找到相似三角形，這就需要對三角形相似的條件不僅熟悉，且能靈活運用.

從以上幾例可以看出：認識到相似三角形的計算功能，善于選用相似三角形，進而適時又恰當地構造出相似三角形，是充分發揮相似三角形在幾何計算中重要作用的思想基礎和知識基礎.