用圖形說(shuō)話

丘紫珍

摘 要：幾何直觀能力具有幫助學(xué)生較好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)和促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的功能，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。具體來(lái)說(shuō)，培養(yǎng)幾何直觀能力可以從夯實(shí)幾何圖形基礎(chǔ)、感受圖形分析、動(dòng)手作圖、圖文互譯、用圖形語(yǔ)言來(lái)思考解決問(wèn)題等幾個(gè)方面入手。

關(guān)鍵詞：幾何直觀能力；空間想象力；作圖；圖文互譯；數(shù)形結(jié)合

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路、預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀能力可以較好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性，形成良好的思維品質(zhì)。

那么，如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力呢，以下就談幾點(diǎn)自己的體會(huì)。

一、夯實(shí)幾何圖形基礎(chǔ)，讓學(xué)生參與模型制作

新課標(biāo)在幾何數(shù)學(xué)中強(qiáng)調(diào)幾何學(xué)習(xí)的直觀性，強(qiáng)調(diào)實(shí)物、模型對(duì)幾何學(xué)習(xí)的作用。課外讓學(xué)生親手制作立體幾何模型，動(dòng)手做一做，可以更直接地感受空間幾何圖形的特征。如，要求學(xué)生用紙板或游戲棒或細(xì)鐵絲做出正方體、長(zhǎng)方體、三棱錐等幾何體的模型。學(xué)生通過(guò)動(dòng)手做，親身體驗(yàn)柱、錐、臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力，從而加強(qiáng)對(duì)學(xué)生看圖、作圖能力的培養(yǎng)。

二、圖形是幾何的靈魂

看圖、作圖更是學(xué)習(xí)幾何最基本的能力。圖形的訓(xùn)練包括認(rèn)識(shí)圖形和畫(huà)圖訓(xùn)練兩個(gè)方面。在教學(xué)過(guò)程中要把概念教學(xué)與圖形相結(jié)合。如，教“直線、射線與線段”三個(gè)概念時(shí)，首先要緊密結(jié)合圖形，讓學(xué)生了解三者之間的聯(lián)系與區(qū)別。其次是引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別部分疊合的不同圖形。如直線上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，問(wèn)圖中有幾條射線和線段，并分別指出它們的名稱。最后是教尺規(guī)作圖時(shí)，要求學(xué)生掌握用尺規(guī)畫(huà)幾種基本作圖時(shí)，還要嚴(yán)格要求學(xué)生會(huì)寫(xiě)作法，不要滿足學(xué)生會(huì)畫(huà)就行了。

三、過(guò)好“翻譯”關(guān)

在解決用文字語(yǔ)言表達(dá)的數(shù)學(xué)練習(xí)題中，首先就必須將文字語(yǔ)言翻譯成符號(hào)語(yǔ)言，有的還得借助于圖形才能正確理解題意。要多鼓勵(lì)學(xué)生多說(shuō)、多繪、多寫(xiě)，不要怕錯(cuò)。逐步做到準(zhǔn)確簡(jiǎn)潔的幾何語(yǔ)言，當(dāng)好“翻譯”。例如，“讀下列語(yǔ)句，并畫(huà)出它們的圖形：直線a、b相交于點(diǎn)C，直線b、c相交于點(diǎn)A，直線a、c相交于點(diǎn)B。這時(shí)我們說(shuō)‘直線a、b、c兩兩相交‘。”此題要求我們把幾何文字語(yǔ)言“翻譯”成幾何圖形語(yǔ)言，如果“翻譯”（畫(huà)）成圖1就錯(cuò)了，因?yàn)轭}中a雖然出現(xiàn)兩次（“直線a、c相交”和“直線a、b相交”），可是都在同一道題中，所以在圖中只能出現(xiàn)一次。至于直線b、c同樣如此，分別在圖中只允許出現(xiàn)一次。正確的“翻譯”（畫(huà)法）應(yīng)是圖2。

只有正確理解它們，才能進(jìn)行正確的圖文互譯。

四、重視解題教學(xué)

“數(shù)無(wú)形不直觀，形無(wú)數(shù)難入微。”“數(shù)形結(jié)合”的思想是重要的數(shù)學(xué)思想，其實(shí)質(zhì)是使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合起來(lái)，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)。直觀是抽象思維問(wèn)題的信息源。它不僅為抽象思維提供信息，而且由于直觀形象在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中鮮明性強(qiáng)，可以多思路、反復(fù)地給抽象思維以技巧。通過(guò)圖形的直觀性質(zhì)來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，相互滲透，不僅使解題簡(jiǎn)捷明了，還開(kāi)拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟了一條重要的途徑。直觀圖形的使用，不但可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解數(shù)學(xué)結(jié)論，而且有利于掌握數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間觀念。

問(wèn)題：公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，公路PQ上點(diǎn)A處有一所學(xué)校，點(diǎn)A到公路MN的距離為80m.現(xiàn)有一拖拉機(jī)在公路MN上以18千米/小時(shí)的速度沿PQ方向行駛，拖拉機(jī)行駛時(shí)周圍100m以內(nèi)都受到噪聲影響，試問(wèn)該校受影響的時(shí)間為多少秒？

分析：（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m，小于100m則受影響，大于100m則不受影響，并且影響學(xué)校的條件是在其周圍100m以內(nèi)。

（2）要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開(kāi)始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。

鑒于以上兩點(diǎn)的分析，我們可以大體知道影響學(xué)校的區(qū)域應(yīng)該是以A為圓心100m為半徑的一個(gè)區(qū)域，對(duì)于拖拉機(jī)在這個(gè)過(guò)程中可以抽象成一個(gè)點(diǎn)，從而可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”的一個(gè)題目，由此畫(huà)出幾何圖形。

解：由所畫(huà)的圖形可知學(xué)校受影響的范圍是公路MN上的BC路段，由題意可知AB=AC=100米

在RtΔABD中，根據(jù)勾股定理可得，BD=60（米）

∴BC=2BD=120（米）

∵18千米/小時(shí)=300米/分

∴學(xué)校受影響的時(shí)間就是拖拉機(jī)從C點(diǎn)到D點(diǎn)所需的時(shí)間：120÷300=0.4（分）

∴該校受影響的時(shí)間為0.4分鐘

從這個(gè)例子可以看出，拖拉機(jī)被看成一個(gè)點(diǎn)，影響學(xué)校的區(qū)域被認(rèn)為是一個(gè)圓，從而轉(zhuǎn)化成一個(gè)“點(diǎn)與圓的位置”關(guān)系的題目：拖拉機(jī)在B、C兩點(diǎn)時(shí)，認(rèn)為是點(diǎn)在圓上；拖拉機(jī)在BC之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，認(rèn)為是點(diǎn)在圓內(nèi)。把這個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)幾何圖形展示出來(lái)，使得問(wèn)題簡(jiǎn)單化，比較容易解決。

借助幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，可以形象生動(dòng)地展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，提高學(xué)生的思維能力和解決問(wèn)題的能力。

“用圖形說(shuō)話”，用圖形描述問(wèn)題，用圖形討論問(wèn)題，這是一種基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)。幾何直觀能力是利用圖形生動(dòng)形象地描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，直觀地反映和揭示思考、討論問(wèn)題的思路，揭示豐富多彩的數(shù)學(xué)思想。培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，是新教材的要求，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]詹松青.注重幾何直觀分析解題幾例.數(shù)學(xué)通報(bào)，1996.

[2]王敬庚.試論幾何直觀教學(xué)的作用.數(shù)學(xué)通報(bào)，1992.

[3]王尚志.數(shù)學(xué)教學(xué)研究與案例，2006.

（作者單位 廣東省興寧市黃陂中學(xué)）