談圓錐曲線中的方程思想

蘇金鳳

數學思想方法是在一定的數學知識、數學方法的基礎上形成的數學意識和方略，它對理解、掌握、應用數學知識和數學方法，解決數學問題能起到促進和深化的作用.圓錐曲線是解析幾何乃至高中數學重要內容，也是數學思想方法的重要載體，方程的思想方法在圓錐曲線中有著廣泛的應用.

在解決數學問題時，對于一些形式上看是以非方程的問題出現時，但經過一定的數學變換或構造，使這一非方程問題轉化為方程形式并應用方程的有關性質處理這一問題，進而使數學問題得到很好的解決，這一思想方法稱之為“方程的思想方法”.

我們知道，圓錐曲線是解析幾何的重要內容，而解析法就是借助于坐標用代數方法解決幾何問題的方法.由于圓錐曲線都和方程存在一一對應關系即圓錐曲線上的任一點的坐標是其方程的解，以方程的解為坐標的點都在曲線上，因此可以把許多圓錐曲線問題用解方程或利用方程的性質來解決.如圓錐曲線定義應用問題，圓錐曲線幾何性質問題，求方程問題，關于交點及弦長問題等，都可拋開具體曲線而從方程入手加以解決.

一、關于圓錐曲線的定義應用問題

圓錐曲線是滿足條件的動點的軌道，由定義可得到動點所滿足的條件，而將此條件用坐標表示后即得圓錐曲線方程，曲線上任一點都滿足曲線方程，從而可拋開具體幾何圖形，用方程的思想方法著手解決一些問題.

例如：已知橢圓■+■=1上一點到其一個焦點的距離為3，求此點到另一焦點的距離.

解此題需按橢圓的定義列出方程，解方程得此題結果為7，關鍵在于按定義列出方程.

二、關于圓錐曲線的幾何性質問題

橢圓、雙曲線、拋物線的簡單幾何性質均為可拋開具體圓形，而只對其方程進行研究得到，如橢圓的幾何性質如范圍、對稱性、頂點、離心率、準線等可直接從方程■+■=1（a>b>0）得到，雙曲線、拋物線的幾何性質同樣從其方程可得到.在有關圓錐曲線性質問題中，只要按其性質列出方程即可求解.

例如，已知橢圓■+■=1和雙曲線■+■=1有公共焦點，求雙曲線的漸近線方程.

此題用方程的思想方法求解.注意到雙曲線焦點在x軸上，漸近線為y=±■，橢圓焦點也在x軸上，只需由已知列方程：C■=3m2-5n2=2m2+3n2=C■解得■=■，所以漸進線方程是y=±■.

三、關于求方程問題

求曲線方程是圓錐曲線部分一種重要題型，所用方法一般有待定系數法、定義法、直譯法，相關點法.前兩種方法多用于能確定動點軌跡類型時，由型定方程，由已知定參數，后兩種方法多用于有直接或間接等量關系時，按等量關系列出方程從而可求出方程.

例如：雙曲線上有動點■-y2=1是雙曲線的兩個焦點，求△PF1F2的重心M的軌跡方程.

此題中M點的運動受到P點的制約，而P點在已知曲線上運動，所以只要找到從M點的坐標和P點的坐標間的關系，將P點的坐標用M點的坐標表示出來，即找到M點和P點坐標之間的等量關系，代入已知曲線方程問題就容易解決了.

四、關于交點及弦長的問題

對于直線與圓錐曲線交點及弦的問題，往往用直線方程與圓錐曲線聯立得出方程組，若無解，則直線與曲線無交點，若有一解，則直線與曲線有一個交點，若有兩解則直線與曲線有兩交點.而交點的橫坐標與方程組消去y所得關于x的方程的解相等，縱坐標與方程組消去元x所得關于y的方程的解相等.若所得一元二次方程，判別式適用、韋達定理適用，則“設而不求”是解交點及弦長問題中常用的方法.“不求”不代表“不用”，用什么呢？主要是用方程的根與系數的關系，直線斜率與方程的根之間的關系，及相關點坐標之間關系.

例如：點M（1，1）位于橢圓■+■=1內部，過點M的直線與橢圓相交于兩點A、B，且M為線段AB的中點，求直線AB的方程及 的值.

此題是求弦所在直線方程和弦長的題目，考慮到A、B兩點在橢圓上，設A（x1，x2），B（y1，y2）代入橢圓方程成立，作差可出現含 x1+x2，x1-x2，y1+y2，y1-y2的等式，而■為直線的斜率，又M為線段AB中點，即有x1+x2=2，y1+y2=2，從而直線的點斜式方程易得.在求弦長AB時，A、B為直線與橢圓的交點，從而A、B兩點的橫坐標為直線方程與橢圓方程消去y得關于x的一元二次方程的兩根，從而由韋達定理可得x1+x2，x1x2的值，再由弦長公式AB=■可得AB的值.

由以上可見，方程的思想方法在圓錐曲線中比較重要，只有熟悉圓錐曲線的相關基礎知識與方法，才能抓住相等關系，列出方程或構造方程，自如地運用方程思想解決圓錐曲線問題.

（作者單位 陜西省榆林第二實驗中學）