分類討論思想在中學數學中的應用

周洪榮

【摘要】本文舉例說明了分類討論的思想在中學數學中的應用，對幫助學生領悟數學中的思想方法和技巧有一定的幫助。

【關鍵詞】中學數學 分類討論 思想方法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2013）04-0149-01

數學思想較之數學基礎知識，具有更高的層次和地位。它蘊涵在數學知識的發生、發展和應用過程中，它是一種數學意識，屬于思維的范疇，用以對數學問題的認識、處理和解決。數學思想方法是數學思想的具體體現，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段。只有認真領會數學思想與方法，才能在分析和解決問題時得心應手；只有領悟了數學思想與方法，書本的、別人的知識和技巧才會變成自己的能力。

數學思想方法種類繁多，諸如數形結合，化歸，分類討論，整體思想等等。每一種數學思想方法都有與之相適應的特定環境和依據的基本理論，本文以分類討論思想為例，談談數學思想在解決數學問題中的應用。

一、由于概念本身需要分類的，像等比數列的求和公式中對公比的分類和直線方程中對斜率的分類等

例1.[2012年重慶卷21題] 設數列{an} 的前n 項和 Sn滿足Sn+1 =a2Sn+a1，其中a2≠0，

（1）求證：{an} 是首項為1的等比數列；

（2）若a2>-1，求證：Sn≤■（a■+a■），并給出等號成立的充要條件。

解析：（1）略

（2）當n=1 或2時，顯然Sn≤■（a■+a■） ，等號成立。

設n≥3 ， a2>-1且a2≠0 ，由（1）知a=1 ，an=a2n-1 ，所以要證的不等式化為1+a2+a22+...+a2n-1≤■（1+a2n-1），（n≥3 ）

即證：1+a2+a22+...+a2n-1≤■（1+a2n），（n≥2 ）

當a2=1 時，上面不等式的等號成立。

當-1

當a2>1 時，a2r-1 與a2n-r -1 （ r=1，2，…，n-1）同為正。

因此當a2>-1 且a2≠1 時，總有（a2r-1）（a2n-r -1）>0 ，即

a2r-1+a2n-r <1+a2n（ r=1，2，…，n-1）

上面不等式對 從1到n-1求和得：

2（a2+a22+...+a2n-1）<（n-1）（1+a2n）

由此可得1+a2+a22+...+a2n-1≤■（1+a2n），（n≥2 ）

綜上，當a2>-1 且a2≠1 時，有Sn≤■（a■+a■），當且僅當n=1，2或a2=1 時等號成立。

本題在等比數列求和時對公比進行分類討論。因此在此類題目中，我們一定要確定分類標準，只能按確定的標準進行合理分類。

二、同解變形中需要分類的，如含參問題中對參數的討論、解不等式組中解集的討論等

例2.（2012高考真題安徽理19）設f（x）=aex+■+b（a>0） 。

（I）求f（x） 在[0，+∞） 上的最小值；

（II）設曲線y=f（x） 在點（2，f（2）） 的切線方程為y=■x ；求a，b 的值。

解析：（I ）設t=ex（t≥1） ；

則y=at+ ■+b？圯y'=a-■=■，

①當a≥1 時， y'>0？圯y= at+■+b在t≥1 上是增函數，

得：當t=1（x=0） 時， f（x）的最小值為a+■+b 。

②當0

當且僅當at=1（t=ex= ■，x=-1na）時，f（x）的最小值為（b+2）。

（II）略

本題考查函數、導數的基礎知識，運用導數研究函數性質等基本方法，考查在有參數的情況下用分類討論思想解決問題的能力。由于分類討論使這類題變得易于解決。

由以上示例可看出，用分類討論思想解決數學問題的基本步驟大致可分四步：（1）確定討論對象和確定研究的區域；（2）對所討論的問題進行合理的分類（分類時需要做到不重復、不遺漏、標準統一、分層不越級）；（3）逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決；（4）歸納總結，整合得出結論。這就是戰略戰術里的“分而治之，各個擊破”。

參考文獻：

[1] 孫洪權，淺談數學中的分類討論[J]，數學大世界：教學導向-2006年1期。

[2] 張喬富，數學思想在教學中的應用[J]，理科考試研究：初中版-20。