高中數學與思維的嚴密性

劉高峰

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2013）04-0148-01

培養學生邏輯思維能力是高中數學教學的首要任務。而思維的嚴密性是良好思維品質的一個重要方面，高中數學中經常遇到學生錯誤解題的思維缺陷，本文謹以一些實例說明思維的嚴密性在高中數學教學中的重要性。

例：已知集合{1，a，x}={a2，a，ax}，求x、a。

錯解：令1=a■x=ax或1=axx=a■分別解得a=1x∈R或a=±1x=0

正確的思維不僅考慮到兩組等集合中的元素分別相等，而且集合中的元素滿足無序性和互異性，將所得結果作檢驗只有a=-1，x=0。

例：判斷y=x2+（x+1）0的奇偶性。

錯解：∵（x+1）0=1

∴y=x2+1，f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x）

∴y=x2+（x+1）0是偶函數。

正確的思維首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，事實上x≠-1，函數既非奇函數也非偶函數。

例：求y=sin x■（30■≤X≤60■）的最小值。

錯解：∵ 30■≤X≤60■ ， ∴ sin x？酆■？芻0

∴ sin x+■≥■=2 ， 得y的最小值為2。

正確的思維是對“均值定理”中“一正、二定、三相等”三方面條件逐步檢驗，事實上，在給定的范圍內sin x 與■ 不存在相等的情況，因而當用函數單調性解之，得ymin=■ 。

例：一數列的前幾項和為sn=2n2+3n+1 ，求其通項公式。

錯解： ∵ sn=2n2+3n+1 ， ∴ sn=2（n-1）2+3（n-1）+1

∴ an=sn-sn-1=4n+1

正確的思維應當考慮到sn-1 存在的條件為n≥2 ，故只有當n≥2 時，an=4n+1 ， a1=s1=6不符合上述公式。

例：若loga2？酆logb2 ，比較a與b的大小。

錯解：loga2？酆logb2 ， ∴ ■？酆■ ，∴ logab？酆logba ，得b？酆a？酆0 。

正確的思維應慮及1og2■與1og2■ 同號或異號的情況，分類討論a？酆1？酆b 或1？酆b？酆a 或b？酆a？酆1 。

例：與空間不共面的四個點距離相等的平面有多少個？

錯解：四個點不共面，任何三點確定一個平面，另一點向此平面作垂線段，過此線段中點平行于此平面的平面即為所求，因而有C43=4 個。

正確的思維既考慮到分居于平面兩側的3～1情況，又考慮到2～2情況，因而正確的答案應為C43+C42/=7 個平面。

例：已知兩點A（-2，-1） 和B（1，1） ，ΔABC的頂點C在曲線xy-y-9=0 上移動，求ΔABC的重點M在軌跡方程。

錯解：設M的坐標為（x，y） ，C的坐標為（x0，y0） ，

則x■=3x-1-（-2）=3x+1y■=3y-1-（-1）=3y ，于是（3x+1）·3y-3y-9=0

化簡得xy-1=0 為重心M的軌跡方程。

正確的思維應考慮到點C作為ΔABC頂點不能在直線AB上，因而重心也不能在直線AB上，正確的結論應為：重心M的軌跡方程為xy-1=0（y≠-■，且 y≠0）。

例：六個人分成三組，每組兩人，有多少不同分法？

錯解：分兩步完成這個事情：第一步：從6個人中任取2人作為一組，方法數為C62，第二步：從余下4人中任取2人作為一組，余下的2人為另一組，故有C62.C42種分法。

正確的思維要考慮分得的三組沒有序號，但分步完成事情的過程卻使得組與組之間有了序號上的區別，即同一分法重復了A33 次，因而正確答案為■=15 種。

如上所述，思維的嚴密性幾乎滲透在高中數學解題的方方面面，教學中應強化概念的理解并引導學生有意識地強化嚴謹性思維習慣的培養。