初中數學“有理數與無理數”教學案例

林曉明

《數學課程標準（2011年版）》把無理數的概念提前到七年級上學期，在學生剛接觸過正數和負數的概念之后，和有理數的概念放在一節課呈現.實際上本節課的有理數和無理數的概念對學生來講，都是重點.不過，在定義了無理數的概念之后，教科書引導學生在數軸上表示無理數，列舉了無理數的絕對值和相反數，使得有關數的知識比較完整的呈現，為后續教學提供了方便，也更加合理.

一、教學過程

（一）問題情境

問題1：分數可以化成小數嗎？請學生舉例說明.

學生1：12=0.5；（師：有限小數）

學生2：13=0.3333…（或0.3·）（師：無限循環小數）

設計意圖：通過這個簡單的問題，把學生帶到帶有“分數形式”的世界中去，再由學生自己舉例，學生能舉出一種是能化成有限小數的分數，還有一種能化成循環小數形式的分數.反之，學生也就知道了有限小數和循環小數也就能轉化為分數.也降低了要學生能明白循環小數能化成分數這個知識點.

問題2：我們知道了有限小數和循環小數能化成分數，是不是所有的小數也都能化成分數嗎？

學生3：不是，小數還包括無限不循環小數.

師：能不能請學生舉例說明？學生4：如π.

設計意圖：通過這個簡單的問題，讓學生明白小數中還有無限不循環小數不能化成分數，同時這個問題為有理數的定義打下了伏筆.

問題3：我們還學過了哪些數？它們也都能化成分數嗎？

學生5：整數，不能.

師：那么，請學生舉幾個整數的例子. 學生6：1，2，3

師：如果我1表示成11，2表示成21，3表示成31.可以嗎？

全班齊答：可以.

師：其實我們可以把整數化成分母為1的分數.這樣的話，整數和分數就有一個共同的特征——都能化成“mn（m，n為整數，且n≠0）”這種形式的數.我們書上就把這種分數形式的數統稱為有理數，而將無限不循環小數（如π）叫做為無理數.

（二）講授新課

師：我們身邊的數中除了π外，還有別的無限不循環小數嗎？

1.活動：請學生拿出準備好的兩個邊長為1的小正方形和剪刀，將小正方形沿著圖中紅色對角線剪開，設法重新拼成一個大正方形，大家動手試一試.

師：你們知道這個大正方形的面積是多少嗎？為什么？

學生7：它的面積為2，因為它是由兩個面積為1的小正方形拼成的.

師：你知道了這個圖形的面積，對這個正方形，你還想知道它的一些什么信息呢？

學生8：邊長.

師：你知道這個邊長多少嗎？這個大正方形的邊長是不是有理數？

設計意圖：通過這個操作活動引導學生探索，這樣既能使學生確認這個無理數的存在，又能更能深刻的了解我們身邊的數，可能還有許多的無理數，更深的了解無理數的概念.

2.探索活動：為方便起見，我們設這個大長方形的邊長為a，則a2=2.

師：a是整數嗎？

學生9：因為12=1，22=4，a是1和2之間的數，1

師：a是分數嗎？

兩個一樣的分數相乘結果應該還是個分數，不可能是整數.所以a不是分數.師：a是怎樣的數？我們可以嘗試從小數的角度.

1.5×1.5=2.25； 1.41×1.41=1.9881；

1.4×1.4=1.96； 1.42×1.42=2.0164；

1.4

探索中，運用逼近的方法，得到1.4

按照這種方法探索下去，a的值是1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990…

師：你們發現這個數和π有什么共同點嗎？

學生10：無限、不循環.

設計意圖：在拼圖探索過程中，通過實踐、操作、探索、思考、歸納，展現了數學研究的方式，也體會了“無限”的過程，同時滲透了數學中的一種重要思想——逼近思想.讓學生初步感受這種數學思想.

二、案例設計反思

本教學案例首先根據《新課程標準》，從學生已有的知識結構出發，由3個問題把本節課要研究的主要問題自然而然的帶出來，從而也就輕松的揭示了本節課的課題.接著由拼圖活動通過學生思考、交流，先是體會到現實生活中確實存在他們并不了解的數，讓學生感受無理數的客觀存在.課堂比較活躍，學生聽的都比較投入、認真.在探索活動中，也讓以學生為主體，教師為主導的教學觀念和教學思想，始終引導學生運用不斷地試驗、操作、探索，教學過程中，滲透了“無限”和“逼近”的數學思想，引導著，直至概念的出現，漸漸走向真理.最后通過兩個辨析題，呈現了以前學生最易錯的兩個問題，希望能在學生以后的作業過程中，不再出現類似的錯誤.

[南京育英第二外國語學校 （210044）]