高等數學思想在本科畢業設計中的運用研究

摘要：本科畢業設計是本科教育不可或缺的重要環節，是本科生將所學到的理論知識加以運用的重要平臺。本文主要研究如何將高等數學思想有效地融入到本科畢業設計當中，使學生在掌握大學數學理論知識的同時，能把它運用到實際問題上，從而提高數學素養、培養學生解決實際問題的能力、激發學生的創新能力，這項研究對提高數學專業本科畢業設計的質量具有一定的參考價值。

關鍵詞：本科畢業設計；高等數學；運用研究

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）36-0198-02

高等數學思想的精華和核心思想是極限，如何將極限的思想貫穿于本科畢業設計是作者從事高等教學工作以來經常思考的問題。指導老師給出的課題，既要保證學生能夠做出來，而且在這個畢業設計過程中要讓學生切身體會到這種思想的運用，不是一個簡單的問題，它需要從事高等數學的教育工作者去認真思考和琢磨：如何選題？如何將實際問題與高等數學思想緊密結合，又不乏趣味性？教師應該如何指導？等等，這些問題將是本文要進行探討的。為此，借助于一個具體的畢設計實例來對這些問題進行解答，相信這項研究會對數學專業的本科畢業設計質量的提高具有一定的參考價值。

一、畢業設計實例

在實際工程應用中為了解決許多科技問題，經常需要進行定積分的計算。因此探索一個簡便易行的求解定積分方法已成為許多學者的追求目標。在已知區間上對已知函數求定積分時，理論上可以用牛頓-萊布尼茨（Newton-Lipnize）公式求解，但在工程實際中并不實用。首先，許多經常接觸到的被積函數雖然理論上講一定存在原函數，但是需要用很高的技巧方可求出，求解過程相當繁瑣，且求出的原函數無法用初等函數的有限形式表示出來，或冗長而不便于計算，實際上難于應用。其次，有些從工程實際或科學實驗中測得的被積函數本身就不是解析表達式，而是表格或曲線，計算它們的定積分，就更加無法找到解析形式的原函數。基于上述原因目前國內外的學者已探索出了許多不同的求解定積分的數值方法，例如：拋物線法、矩形法、梯形法和辛普生法等，但是每種算法都存在或多或少的缺陷。

基于以上分析，給學生提出以下畢業設計課題。課題的名稱是“數學軟件Matlab在定積分求解方法中的應用研究”，研究的問題是探索更為有效的定積分數值求解算法。課題意義、研究內容、特色及關鍵問題可概括為：MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數學軟件，它在數學類科技應用軟件中尤其在數值計算方面首屈一指。MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數和數據、實現算法、創建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應用于工程計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域。把Matlab這一數學分析工具運用到定積分的求解問題上，一方面可以掌握Matlab在數值上的使用方法，達到學以致用的目的，另一方面可以探索更為有效的定積分數值求解算法，從而豐富定積分的數值計算方法。本課題的特色就是數學理論與應用軟件相結合，而探索更為有效的定積分數值求解算法是本課題的關鍵問題。

通過與學生的數次討論，我們在矩形中值法的基礎上，構造出依據被積函數導數的大小進行區間分割的數值算法，即閾值分割法。數值實驗結果表明，此方法與單純的矩形中值均分相比，不僅提高了計算精度，而且加快了運算速度。因此，該項工作為定積分的數值求解研究，提供了更為科學的指導。

二、選擇適合學生做，而且具有一定趣味性的課題

1.選題要合理，理論上不能太深奧。學生的綜合素質和學習能力各有差異，必須針對不同的學生選取合適的畢設課題。指導老師首先要充分和全面了解學生的學習情況、就業準備情況以及性格等，具體如專業課程的學習成績、是否校內進行畢設、是否已經找到工作、性格是否過于內向等等。只有充分了解學生，才能給出適合學生做的畢業設計題目。其次，選題的理論不能過于深奧，畢業設計的目的不是一味追求理論上的深度，而在于培養學生利用所學到的知識解決實際問題的能力，太理論的選題會打壓學生的學習興趣和自信心。課題“數學軟件Matlab在定積分求解方法中的應用研究”就是基于以上考慮而給出的選題。數學軟件Matlab和定積分求解都是數學專業學生最為熟悉的學習內容，利用數學軟件Matlab求解定積分對他們來說是一個全新的新穎的問題，理論上又比較淺顯，從而可以激發學生的好奇心和興趣。

2.選題要有趣味性，激發學生的好奇心和研究動力。興趣是學生能夠主動學習的強大動力。如何選取一個既能反映學生所學專業的畢設要求又兼具趣味性的課題，是指導老師必須首先應該思考的問題。定積分是數學專業學生非常熟悉的學習內容，從大一開始就進行了學習，Matlab是學生比較熟悉的數學應用軟件，學過C語言的學生能夠很輕松地掌握它，但是利用Matlab從數值上來求解定積分是大部分學生沒有遇到的問題，而且利用數學軟件來解決數學問題本身就是一件很新奇的事情，因此學生對于這樣的課題會非常感興趣，也試圖把所學到的理論知識落實到實踐中去。

三、把高等數學的思想巧妙地嵌入到畢業設計當中

1.教師要弄清楚哪些高等數學思想是核心思想。對于大學高等數學而言，核心思想應該是極限的思想，而極限的思想又主要反映在求導和積分的計算中，因此選題應該把求導和積分思想考慮進來。課題“數學軟件Matlab在定積分求解方法中的應用研究”就是基于這種考慮提出來的。通過該課題的研究，必然會使學生對高等數學的核心思想有更加深入和全面地理解。

2.高等數學思想要與研究課題巧妙地結合并創新。高等數學思想既豐富又深刻，既完善又需創新，它要與研究課題巧妙地結合，才能提高畢業設計的質量。死板硬套的結合不僅缺乏趣味性，又難以有創新點。課題“數學軟件Matlab在定積分求解方法中的應用研究”是基于如下背景提出來的：牛頓一萊布尼茲公式提供了用原函數計算定積分的方法，但實際上在計算定積分時，常常會遇到下述幾種情況。（1）在生產實際或工程技術中，通常只給出一串由實驗或測量得出的被積函數值。（2）被積函數的原函數不是初等函數。（3）被積函數的原函數雖然是初等函數，但結構復雜，不易計算。因此必需尋求定積分的近似計算方法。目前已有的近似計算方法有拋物線法、矩形法、梯形法和辛普生法等，但是每種算法都存在或多或少的缺陷，例如計算精度不是很高，運算速度比較慢等。為此探索更為有效的數值方法是一件非常有意義的研究工作。在矩形中值法的基礎上探索了一種精確度更高，運行速度更快的方法—閾值分割法，并通過具體實例驗證了這一算法，達到了預期的效果。

四、為了取得良好的畢業設計效果，指導老師一定要舍得多花時間和精力

精心指導、全程監控和嚴格管理是保證畢業設計順利完成和取得良好效果的基本保障，指導老師需要花費大量時間和精力。一方面，指導老師要明確各個階段學生應該要完成的畢設任務，督促學生按時完成。大部分學生剛開始進入課題時信心百倍、情緒高漲和積極主動，但是過了一段時間，就會出現不耐煩和松懈的情緒，這就需要指導老師及時察覺和提醒，正確引導學生繼續課題的研究。另一方面，指導老師要與所指導的學生保持經常聯系，最好每周進行一次面對面的討論和交流，及時發現學生碰到的難題以及提出可能的解決辦法。課題“數學軟件Matlab在定積分求解方法中的應用研究”的初期研究階段，學生感到比較迷茫，通過與學生面對面的數次交流，學生決定首先對已有的數值求解方法進行對比分析，比較各種方法的優缺點，最后發現可以針對矩形中點法做改進，主要改進點為通過比較各小區域的端點和終點的斜率（即導數大小），來進行有選擇性地細分積分區間，以達到在提高精度及縮短運行時間的雙重效果。因此只有做到精心指導、全程監控和嚴格管理，才能有效提高本科畢業設計的質量。

五、總結

本科畢業設計是高校培養人才的重要實踐環節，是本科教學水平評估的重要依據，也是衡量一個高校的辦學水平和育人效果的重要參照。本文針對數學專業的畢業設計，研究了如何將高等數學思想融入到本科畢業設計當中，基于一個具體的畢設實例，提出了若干建議，主要包括選擇適合學生做而且具有一定趣味性的課題、把高等數學的思想巧妙地嵌入到畢業設計當中、為了取得良好的畢業設計效果，指導老師一定要舍得多花時間和精力。當然要想不斷地提高高等數學思想在本科畢業設計中的運用實效，我們仍需進一步探索、歸納和總結新的方法和技巧。

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基金項目：廣西教育科學“十一五”規劃課題“教師科研與數學基礎課教學相結合的應用研究”，項目編號：2010C066

作者簡介：李科贊（1982-），男，博士，副教授，碩士生導師，從事數學專業的高等教育和科研工作。