討論式教學法在高等數學課程中的應用

摘要：為適應當今人才能力培養的要求，本文結合多年高等數學教學經驗和改革實踐，提出了教學改革中變習題課為討論課的運作方式，有效地轉變了學生的學習狀態，使其變被動為主動學習，且教學效果明顯。

關鍵詞：高等數學；教學改革；能力培養

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）26-0170-03

高等數學是理工類本科生的一門基礎課。目前的普遍做法是，配備一定量的習題課，由教師在課堂上依照各類題型講解若干習題，為學生稍作引導。但是，這種做法并不能起到培養學生能力的作用。為了從根本上實現培養學生能力的目的，我們經過多年的實踐，摸索出了一套符合現代學生能力培養的切實可行的方法，對習題課進行了改革。將傳統意義上的習題課變成了具有相同學時的、目標化管理的討論課。

很多學生對習題課的認識是：老師出題，學生做題。一堂課只是在單純地做題，導致有些學生對習題課不以為意。為了改變學生這種不正確的想法，讓他們重視起來，我們多數情況下采用“問題教學法”來組織教學。高等數學與中學學習的初等數學在思維模式上有很大差別，而且內容銜接不連貫。大部分學生在學習高等數學的時候普遍感覺十分困難，在學習的過程中不會思考、發現問題，不能靈活運用所學知識來解決問題，甚至離開了教師的提示便寸步難行。因此，在多數情況下，我們是以“問題教學法”來組織習題課的教學。

1.提出問題，營造氛圍。在每堂課開始的時候，先提出一些問題，營造一個良好的求知環境。以重概念、究本質的高要求來激發學生的求知欲望。有針對性地收集、精選、歸納各類典型問題，精心設計問題。利用各種生動的問題，使學生進入一種積極的學習狀態。針對學生認識的片面性設計問題，是一種行之有效的方法。例如：利用洛必達法則求極限。在這一節的授課中，按照慣例，先處理鞏固性的商的極限的相關題型。之后有意識地提出■x（■-arctanx）求的極限問題讓大家討論，氣氛非?；钴S。因為雖然它不是在求商的極限，但可以化為■■或■■兩種不同的形式。對兩種形式分別利用洛必達法則，學生很容易發現第二種形式使用洛必達法則之后會得到一個十分復雜的式子，且其極限更加難以求出，最終得出應化成■■形式求解極限的結論。這個討論過程不僅讓學生學會思考問題，而且學習能力也逐漸提高。

2.對抽象問題善于抓住本質進行討論。高等數學理論性強，且較為抽象，這樣就給學生們的理解帶來了一定的困難。越是抽象的東西，越容易使人的認識產生片面性，因此討論課的基本任務之一就在于幫助學生全面認識新知識，抓住它的本質特征。對于一些較容易找到直觀形態表述的內容，我們往往尋求直觀輔助，通過數形結合來解決問題。在講課中給予適當的引導，指明其幾何意義。例如：極限是高等數學的基礎理論，學生接觸高等數學的第一堂課便是十分抽象的數列極限概念。在高中，數列極限是采用描述性語言來定義的，理解起來比較容易。而在高等數學中是采用抽象的“ε-N”定義，與高中的描述性定義完全不同。學生無法把同一概念在前后兩個階段的定義融合起來，對新定義不接受，即便勉強接受，也只是認識表面，不能深入到概念的本質。在這堂課上我們畫出數軸，通過討論，一方面使學生深化了對數列極限的認識，另一方面也初步展現了高等數學的邏輯思維模式，為今后的學習打下良好的基礎。再如兩個重要極限：■■=1和■1+■■=e。其推導過程可以采用取特殊值列表格（表1）這種生動直觀的處理方法，表內的結果可以讓學生自行填寫。

這種方法不僅解決了極限非常抽象不易掌握實質的問題，而且直觀地感受到了這兩個結論的真正含義，尤其是■1+■■=e的結論效果更佳。

3.復雜問題著重于思路，善于歸納。培養能力是教學活動的關鍵。因此，討論課的重心旨在培養學生的邏輯思維和創造性思維、分析和解決問題的能力。我們在講解習題的時候并不是簡單地講具體結論，也不會糾纏于具體的求解過程，而是著重于分析思路和研究方法，讓學生們掌握習題的基本思路。在高等數學的理論中，有許多相似的概念和定理，這給理解這些概念和定理帶來困難。在相似的事物之間尋找差異可以幫助我們區別事物。同樣，在相異的事物中尋找共同點，可以幫助我們認識事物的本質，從而使問題迎刃而解。在討論課上，我們要求學生對同類問題應用多種方法，對各種不同的解法進行比較，從中更深刻地理解各定理、公式之間的內在聯系，培養學生根據問題選擇最佳的解題方法，對較為復雜的問題善于尋找突破口。例如：在學習不定積分時，學生普遍感到吃力。尤其是分部積分，學生往往不知如何著手。這一部分主要有兩個難點。第一是公式■udv=uv-■udu中的u和v如何選?。坏诙切稳纭鯽rcsinxdx中，被積函數只有一個時，想不到利用分部積分處理。針對這些問題，在習題課上一定要抓住這兩個重要的環節。對于第一個問題，為了正確選擇u和v，先以■xcosxdx為例，首先取u=cosx，v=x得到結果：

■xcosxdx=■■cosxdx2=■x2cosx+■■x2sinxdx。

學生馬上就能發現問題，這種取法將導致得到的新的積分比原來的更麻煩，如果繼續下去只能更加復雜，于是改用另外一種選取方法u=x，v=cosx得到：■xcosxdx=■xdsinx=xsinx-■sinxdx=xsinx+cosx+C。通過比較，學生將體會到u和v的選擇對解題的重要性。通過上題的討論和課堂上大量類似習題的處理之后，師生共同得出一個口訣“指三冪（多）對反”，誰在前面誰為v的選擇方式。對于第二個問題，以特殊形式■arcsinxdx為例。雖然不是兩個函數的乘積，但是對照公式發現可以將其看成已經選取完u和v，其中u=arcsinx，v=x.于是套用公式完成。在這堂課的最后，讓學生對所有出現的問題進行討論、歸類，得出所有適用于分部積分法的類型，并加以生動的類型定義。如■xcosxdx稱顯然型，■arcsinxdx稱單一型，■x2exdx稱重復型，■exsinxdx稱循環型。應用這一方法后，學生不僅不用搞題海戰術，而且在提高獨立解題能力上有很大幫助，起到事半功倍的作用，其效果十分顯著。

4.學生才是課堂上的主角。在高等數學的討論課上，我們始終把握這樣一個原則：一堂成功的課，既不應該是教師講、學生聽，也不應該是學生提問、教師回答，而應該是師生之間以及學生之間多角度、多方位的交流。好的一堂課，應該是教師當導演，為學生提供培養自身能力的環境和機會；學生做主角，由他們來做題、討論、歸納、講解、總結。教師的作用是在適當的時機給學生以恰當的指導，充分調動學生的參與意識，有效提高學生學習的積極性和主動性，進而逐步形成師生之間的共鳴與默契，讓課堂在生動、活潑的氛圍中進行。討論課要求學生全員參與、全程參與，并不只是針對少數尖子生進行討論。這里說的“全員參與”是指全體學生在這堂課上都能做到積極參與討論，對某些問題提出自己的看法。力爭做到讓全體學生都在這次討論課的氛圍中受到熏陶和鍛煉，在知識、能力和素質各方面均得到提高。循序漸進是教學的一般原則，在討論課上并不是一次拋出全部問題，而是通過精心安排次序，由淺入深，適當跳躍，既重視學生解決問題的欲望，又要保護其參與討論的積極性，每個題后給學生留下思考和討論的時間與機會，再根據討論的具體情況引導學生步步深入，以求得問題的最終解決。例如：按定義求導是學生不易掌握的部分，以分段函數的求導為例，可以解決這一難點問題。具體實施方法是先給出一個比較容易畫出圖像的例子：已知f（x）=1-e■，x≤0x■，x>0，則f'（x）= 以填空題形式給出。大部分學生會很快得出結論f'（x）=-2e■，x≤02x■，x>0。以學生的現有知識水平幾乎不可能發現錯誤。接下來讓學生自己畫出函數圖象進行觀察，由于高中對分段函數的處理主要利用畫圖，學生對這一過程輕車熟路，很快就能完成。通過觀察x=0點處的圖像特征，大部分學生能夠發現自己答案中的錯誤，此時就可以開始討論交接點處的導數問題。最后，給出分段函數交界點處應按定義求導的關鍵性結論如下：f /-（0）=■■=■■=-2；f /+（0）=■■=■■=0。得出f /-（0）≠f /+（0），所以x=0是不可導點。故此題的正確答案為f /（x）=-2e■，x<02x■，x>0。

我們認為知識、能力和素質三者之間的關系是，雖然他們出于不同的層次，但卻是基礎；能力是在掌握知識的基礎上經過培養、訓練和提高而形成的，屬于里層。素質是在知識和能力的基礎上經過不斷升華和固化而養成的，是內核。知識的積累便于形成能力，知識越豐富也就越有利于能力的形成，而能力形成以后可以進一步促進知識的獲得。素質提高后可以使知識和能力更好地發揮作用，同時也可以推進知識的能力的充分發展。只重視知識傳授的教育是不完整意義上的教育，只注重知識傳授和能力培養的教育仍然不是完整意義上的教育。真正完整、健全的教育應將知識的傳授、能力的培養和素質的提高有機的結合起來，融三者為一體，使受教育者盡可能地在各個方面得到整體發展，使受教育者的知識、能力和素質協調發展。高等數學習題課討論形式是大膽的嘗試，通過幾年實踐，逐步完善，將可作為一種手段固定下來。

參考文獻：

[1]陳照輝.對討論式教學方法的探討[J].重慶科技學院學報，2006，（S1）：51-52.

[2]馬紅光.高校課堂教學方式淺論[J].科教文匯，2011，（5）：27-28.

[3]李偉.“高等數學”課程實施討論式教學的幾個問題[J].大學數學，2010，（2）：14-16.

[4]同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2002.

[5]張緒玲.怎樣提高學生學習高等數學的興趣[J].全國情商（理論研究），2012，（14）：70-71.

作者簡介：金英善（1963-），女，遼寧鞍山人。