淺談新課標下如何引導學生牢固掌握公式

摘要：公式的教學歷來是看似簡單，但學生真正掌握卻很難的教學。而新課程標準強調數學課程的教學中，應注重培養學生的符號意識。針對這個問題，筆者通過一堂公開課的教學案例的改進和嘗試，體現了如何螺旋式引導學生對公式的掌握。

關鍵詞：新課標；引導；掌握；平方差公式

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）26-0172-03

公式的掌握是歷年來老師們頭疼的問題，公式看似簡單，但是要想真正掌握并運用自如對學生們來說卻是個難點，而新課程標準強調數學課程的教學中，應注重培養學生的符號意識。首先，新課標（2012年版）指出學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。同時強調在數學課程中，應當注重發展學生的符號意識。其次，符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。另外，作為教育工作者，更應該在日常的教育教學中培養學生的符號意識，并正確引導其牢固掌握數學公式。本文將通過筆者的一堂公開課《平方差公式》的教學案例的展示，介紹如何引導學生牢固掌握公式。

●教學目標

（一）知識與技能目標

1.經歷探索平方差公式的過程。

2.會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算。

（二）過程與方法目標

1.從猜想平方差公式到推倒公式的過程中，發展學生的符號感和邏輯推理能力。

2.培養學生觀察、概括、運算能力。

（三）情感與價值觀要求

從公式的猜想到推倒，及對公式結構特征的概括，感受數學嚴謹的推理和結構美。

●教學重點

平方差公式的推導和應用。

●教學難點

利用平方差公式的特征解決一類能使用平方差公式的問題。

●教學方法

探究與講練相結合。

使學生在計算的過程中猜想公式→證明公式→用符號表示公式（探索公式的特征）→應用公式運算

●教學過程

一、創設情境，引入新課

[師]某一期的開心辭典有這樣一道速算題目，請聽題：請問21×19的結果是多少？看看哪位同學能以最快的速度得出答案。（10秒后有一位學生舉手）

[生]答案是399。利用多項式乘法法則可以得出結果21×19=（20+1）（20-1）=202-20+20-1×1=202-12=400-1=399

[師]很好！我們利用多項式與多項式相乘的法則，將21×19中的21，19化成為有關于20和1的運算，其實還能更加簡單地得出答案，這就是本節所學習的初中數學的一個重要公式——平方差公式。

首先來回憶，多項式乘法的法則是怎樣敘述的？

[生]多項式與多項式相乘，用一個多項式的每一項去乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

給出三個計算，使學生在計算過程中，通過觀察、歸納發現規律，并用自己的語言和符號表示其規律。

利用多項式乘法計算下列各題：（1）（x+2）（x-2）；（2）（1+5a）（1-5a）；（3）（x+4y）（x-4y）。

[生]解：（1）（x+2）（x-2）

=x2-2x+2x-4=x2-4；

（2）（1+5a）（1-5a）

=1-5a+5a-25a2=1-25a2；

（3）（x+4y）（x-4y）

=x2-4xy+4xy-16y2

=x2-16y2。

觀察以上算式及運算結果，你發現什么規律？

學生基本能根據算式猜想出規律，即算式的結構特征，兩個數的和與兩個數的差相乘，等于它們的平方差，同時可用公式表示即（a+b）（a-b）=a2-b2其中a、b可以表示任意的數，也可以表示單項式、多項式。

印象深刻的導入，使學生能夠以更加積極的態度投入學習，同時用多項式乘法作為鋪墊，學生能感受到知識的相互聯系，而并非無根無據，引導學生根據計算的結果得出公式的一般式。

二、公式的證明及公式特征的探索

[師]請同學們以小組為單位，討論怎樣去證明這個公式？

[生]利用多項式與多項式相乘的運算法則可以對規律進行證明，即

（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2

[師]因此根據公式的結果特征，由于是先求平方再求差，故稱為平方差公式。平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式。用它直接運算會很簡單，但要注意必須符合公式的結構特點才能利用它進行運算。那么為了很好地應用這個公式，我們需要了解其結構特點。

[生]公式的左邊的數a，b，數a的符號相同，數b的符號相反，公式的結果是：（符號相同的數）2-（符號相反的數）2。

這一過程是帶著學生去體驗符號表示的意義，以及感受公式的推理能力。

說明：這部分很關鍵，通過公式推導的探索，讓學生不僅知其然，還知其所以然，所以，在日常的教學中，教師應在課堂上留足夠的時間在公式的推導以加深印象。當然，學生對公式特征的觀察和歸納概括也是必不可少的，這樣相當于在課堂上給了學生一把尚方寶劍，讓學生有規律可循，同時真正使學生感受到了數學美！

三、公式的應用

使學生體會平方差公式的應用，感受平方差公式給多項式乘法運算帶來的方便，進一步熟悉平方差公式。

1.判斷下列式子是否可用平方差公式。

（1）（-a+b）（a+b）；（2）（-a+b）（a-b）；

（3）（a+b）（a-c）；（4）（2+a）（a-2）；（5）（1-x）（-x-1）。

[生]只有（1）、（4）、（5）能用平方差公式。因為（1）符合平方差公式的標準形式；（4）利用加法交換律可得（a+2）（a-2），表示a與2這兩個數的和與差的積，符合平方差公式的特點；（5）同樣可利用加法交換律得（-x+1）（-x-1），表示-x與1這兩個數和與差的積，也符合平方差公式的特點。

[師]為什么（2）、（3）不能用平方差公式呢？

[生]因為在式子中，沒有符號相同的項和符號相反的項。

例1.利用平方差公式計算：

（5+6x）（5-6x）；

（x-2y）（x+2y）；

（-m+n）（-m-n）。

[師]下面我們就來做題，首先分析它們分別是哪兩個數的和與差的積的形式。

[生]（5+6x）（5-6x）是5與6x這兩個數的和與差的形式；（x-2y）（x+2y）是x與2y這兩個數的和與差的形式；（-m+n）（-m-n）是-m與n這兩個數的和與差的形式。

[生]（5+6x）（5-6x）=52-（6x）2=25-36x2；

（x-2y）（x+2y）=x2-（2y）2=x2-4y2；

（-m+n）（-m-n）=（-m）2-n2=m2-n2。

例2.利用平方差公式計算：

（1）（-x-y）（-x+y）；

（2）（ab+8）（ab-8）；

（3）（m+n）（m-n）+3n2。

[師]請同學們總結一下，利用平方差公式計算時應該注意哪些問題？

[生]我覺得利用平方差公式計算必須注意以下幾點：

（1）公式中的字母a、b可以表示數，也可以是表示數的單項式、多項式即整式。

（2）要符合公式的結構特征才能運用平方差公式。

（3）有些多項式與多項式的乘法表面上不能應用公式，但通過加法或乘法的交換律、結合律適當變形實質上能應用公式。

[生]還需注意最后的結果必須最簡。

[師]同學們總結得很好！下面我們再來練習一組題。

1.利用平方差公式計算：

（1）（a+2）（a-2）；

（2）（3a+2b）（3a-2b）；

（3）（-x+1）（-x-1）；

（4）（-4k+3）（-4k-3）。

說明：螺旋式上升的例題以及緊扣例題的練習題，將公式的基本要領體現得很清楚，教師在引導學生做練習和思考的同時，要注意反復強調符號相同數的平方減去符號相反數的平方，使學生加深印象。

接著出一組題目讓學生先判斷能否利用平方差公式計算，如果能，算出結果。

說明：以上是對基本規律掌握后的提高和區別，圖示更能幫助學生理解公式的精髓。

四、反思與總結

每次講平方差公式總是覺得很費勁，自己講得很累，學生上課反應很好，好像都懂了，但是課后做題卻是出錯率很高，所以，自己改進教學方法，通過一步一步地加深印象，反復練習總結，寫出了本課教案，和各位同行探討。