三階時變線性微分方程積分因子解法探索

摘要：高階時變線性微分方程有多種求解方法，如分離變量法、變量替換法、常數變易法等，但求解過程都比較復雜、繁瑣，甚至有時無法求解。本文通過待定積分因子法對三階時變線性微分方程進行探討，并給出了一個三階時變線性微分方程積分因子存在的條件及求解方法，通過此法，可以有效的求解此類微分方程。

關鍵詞：三階時變線性微分方程；待定積分因子；通解

中圖分類號：G642.4？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）26-0175-02

對于高階時變線性微分方程來說，一般情形，它的解通過常用解法是很難求得的，甚至無法求解，但高階微分方程應用之廣泛又使得我們不得不對其求解。因此，本文給出了一種新的解法——待定積分因子法。

我們知道：如果存在連續的可微的函數μ=μ（x，y）≠0，使得μ（x，y）M（x，y）dx+μ（x，y）N（x，y）dy=0

為一恰當微分方程，即存在函數v，使得：

μMdx+μNdy≡dv （1）

則稱μ（x，y）為方程（1）的積分因子。

引理[1]：n階含有積分因子的微分方程必含有n個積分因子。

因此，對于三階時變線性微分方程

ym+P1（x）ym+p2（x）y'+P3（x）y=Q（x） （2）

我們有，定理：若方程組

3[F11（x）+F21（x）]+2F1（x）P1-6F12（x）=0P2=3[F12（x）+F22（x）]+2F2（x）P1-6F22（x）-6F1（x）F2（x）

有解，則三階時變線性微分方程含有三個積分因子且可以求得。

證明：在這里，我們不妨假設微分方程（2）存在的第一、第二、第三待定積分因子為f1（x），f2（x），f3（x），并將三個積分因子同時乘在方程（2）的兩端。

則由積分因子和全微分方程定義有：{f3（x）[f1（x）f2（x）y]''}'=[f1（x）f2（x）f3（x）]Q（x） （3）

將方程（3）展開、化簡得：y'''+[3■+3■+■]y''+[3■+3■+6■+2■+2■]y'+[■+■+3■+3■+■+■+2■]y=Q（x） （4）

將方程（2）與（4）比較得：P1（x）=3■+3■+■

P2（x）=3■+3■+6■+2■+2■

P3（x）=■+■+3■+2■+■+■+2■ （5）

下面求f1（x），f2（x），f3（x）。我們令：

F1（x）=■ F2（x）=■ F3（x）=■

則F'1（x）=■-[■]2

即：F''1（x）=■-3■+2[■]3 ■=F'1（x）+[F1（x）]2

同理有：■=F''2（x）+[F2（x）]2■

=F''2（x）+3F2（x）[F'2（x）+F22（x）]-2[F2（x）]3

代入（5），

得：P1（x）=3F1（x）+3F2（x）+F3（x） （6）

P2（x）=3[F'1（x）+F21（x）]+3[F'2（x）+F22（x）]+6F1（x）F2（x）+2F1（x）F3（x）+2F2（x）F3（x） （7）

P3（x）=F''1（x）+3F21（x）[F'1（x）+F21（x）]-2F31（x）+F''2（x）+3F1（x）[F'2（x）+F22（x）]-2F23（x）+3F1（x）[F'2（x）+F22（x）]+3F22（x）[F'1（x）+F12（x）]+F3（x）[F'1（x）+F21（x）]+F3（x）[F'2（x）+F22（x）]+2F1（x）+F2（x）+F3（x） （8）

將（6）代入（7）消去并化簡得：

P2（x）=3[F'1（x）+F21（x）]+2F1（x）P1-6F21（x）+3[F'2（x）+F22（x）]+2F2（x）P1-6F22（x）-6F1（x）F2（x） （9）

下面求解F1（x），F2（x），F3（x）。

在方程（9）中，我們令3[F'1（x）+F21（x）]+2F1（x）P1-6F21（x）=0，則聯立方程（9）有：

3[F11（x）+F21（x）]+2F1（x）P1-6F12（x）=0P2=3[F12（x）+F22（x）]+2F2（x）P1-6F22（x）-6F1（x）F2（x）

（10）

若方程組（10）有解，則方程（2）的積分因子存在。在此方程組中問題的關鍵是如何求解F1（x），F2（x），在這里，我們容易求得它們的特解，進而求得待定積分因子：

f1（x）=ee■ f2（x）=e■ f3（x）=e■

代入方程（2）可求得原方程的通解。

例：求解方程xy'''+3（3x-1）y''+（3x-2）y'+（2x-1）y=e-x

解：方程兩邊除以x得：y'''+（3-■）y''+（3-■）y'+（2-■）y=■

顯然，P1=3-■，P2=3-■，P3=2-■，Q（x）=■

代入方程組（10），

我們解得F1（x），F2（x）的特解為：F1（x）=1，F2（x）=1

代入方程（6）解得：F3（x）=-■

進而有：f1（x）=ex，f2（x）=1，f3（x）=■

所以原方程的通解為：y=e-x（-■x2+■C1x3+C2x+C3）

雖然此種待定積分因子法能夠解決此類三階時變線性微分方程的求解問題，但其求解過程稍顯復雜，對于簡化求解過程和將此種方程應用到更高階時變線性微分方程還需要我們進行進一步的探討。

參考文獻：

[1]Nail H.Ibragimov，S.V.Khabirov.Existence of integrating factors for higher-order ordinary differential equations[Z].ALGA publications，BTH，Karlskrona，Sweden，2007.

[2]王高雄，周之銘，朱思銘，王松濤.常微分方程.第三版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]寧榮健，唐爍，朱士信.一類二階變系數線性微分方程的積分因子解法[J].大學數學，2006，22（2）.

基金項目：重慶郵電大學青年科學研究項目，項目編號：A2012-82；重慶郵電大學博士啟動基金，基金號：A2012-23.