案例式教學法在大學《數學建模》課程中的應用

摘要：案例教學實際上是一種“做中學”的形式，著眼點在于學生創造能力以及實際解決問題的能力的培養。本文通過收集與專業相關的教學案例，并在大學《數學建模》課程教學中進行講授，縮短了數學知識和實際生活的距離，使學生了解數學概念的工程背景，了解數學系列課在今后專業學習中所發揮的作用，學生學習的積極性和主動性得到了增強。

關鍵詞：案例式；教學法；《數學建模》課程

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）25-0067-02

一、學校《數學建模》課程進行教學改革的背景

1.《數學建模》課程的發展歷史。《數學建模》課程是在20世紀中葉進入西方國家的一些大學里面，我國的幾所著名大學也在上世紀80年代初將《數學建模》課程引入課堂教學。經過20多年的不斷發展與創新，現在絕大多數本科院校和許多專科學校都開設了各種形式的《數學建模》課程和講座，20多年來出版了數十本教材，1992年開始舉辦并迅速發展的全國大學生數學建模競賽，更是極大的推動了數學建模教學及其課外活動在各院校的開展，為培養學生利用所學的數學知識與數學方法分析、解決實際問題，培養大學生的數學素質與創新的能力提供了實踐的平臺。

2.學校《數學建模》課程的現狀。我校是1996年在兄弟院校老師的指導和帶動下開始開設《數學建模》課程的，同年開始參加全國大學生數學建模競賽，經過17年的建設，我校的《數學建模》課程已經被評為校級精品課，所在團隊也被評為校優秀教學團隊，經過整個活動的訓練，我們鍛煉了一支優秀的教師隊伍，編寫了《數學建模》、《數學建模與數學實驗》等教材，學生的能力也在參賽的過程中得到了提高，數學建模獲獎證書也成為一些學生求職的重要砝碼。

3.《數學建模》課程改革的初衷。為了更好的開展數學建模競賽活動，課題組的成員多次參加全國大學數學報告論壇，深入學生當中廣泛征求意見，發現課程中有相當一部分內容與中學有重復，教學體系亟待調整；有一部分教學內容陳舊，理論體系與教學模式單一；課程體系結構不盡合理，內容與中學所學知識重復，不適應當前學時整體減少及高校擴招后學生的學習層次多樣化的實際；教學內容與學生專業脫離，忽視對學生實踐能力和數學素質的培養。

針對上述教學中存在的問題，結合我校人才培養和專業課程建設的總體要求，我們課題組成員進行了多次研討，明確課程建設要按照以知識為基礎、專業為核心、能力為主線、案例為載體的教學改革指導思想的要求，在《數學建模》課程進行教學頂層設計時，注重體現四個結合：一是結合學生學習實際。由于我校學生招生對象的不同，針對基礎學生、中等學生和精英學生設置不同方案和培養目標。基礎學生要做到基礎理論扎實，實踐能力強；中等學生要注重計算能力與應用能力的培養。二是結合學生所學習的專業。教師授課時要介紹數學概念與專業相關聯的工程實際和工程背景，為學生后繼課程的學習提供動力和基礎。三是結合學生能力培養主線。按照學生分析問題的過程，培養學生發現、解決、創新和協作能力。四是結合多媒體和教師的現代教育技術。為此，在教材編寫過程中，我們既注重學生基本能力的訓練，又結合學生的專業實際，介紹體現專業特點的數學模型、素質能力的綜合模型。

二、《數學建模》課程改革的應用案例

為了使學生更好地了解課程的工程背景和數學課在今后專業中的應用，我們在介紹相關數學理論的時候，以專業案例導入，激發了學生學習的主動性和學習興趣，收到了較好的教學效果。

案例1：在給安全工程學院學生介紹定積分的概念時，我們以安全生產中的自然風壓案例導入。

圖為礦井通風系統，2-3為水平巷道，0-5為通過系統最高點的水平線。在冬季，由于空氣柱0-1-2比5-4-3的平均溫度較低，平均空氣密度較大，重力之差就是該系統的自然風壓。在夏季時，若空氣柱5-4-3比0-1-2溫度低，平均密度大，系統產生的自然風壓方向與冬季相反。自然風壓的計算；在一個有高差的閉合回路中，只要兩側有高差巷道中空氣的溫度或密度不等，則該回路就會產生自然風壓。根據自然風壓的定義，圖所示系統的自然風壓，可用下式計算：HN=■ρ1gdz-■ρ2zgd，

式中z為礦井最高點至最低水平間的距離；g為重力加速度；ρ1，ρ2分別為0-1-2和5-4-3井巷中dz段空氣密度。

案例2：在給電子信息工程學院學生介紹定積分的理論時，我們以信號波形案例導入。

單位階躍信號波形如圖所示，定義為U（t）=0，t<01，t>0 在t=0跳變點處函數值未定義。

任意形狀的波形均可以表示成無限多個階躍信號的疊加，即f（t）=f（0）U（t）+■f（1）（τ）U（t-τ）dτ.

案例3：在給機械工程學院學生介紹微分理論時以機械振動的案例導入。

經典控制理論研究的是單輸入、單輸出、線性定常系統，所以對非線性因素影響較小的系統，通常要先進行線性化，然后對其分析。

下圖為單擺，在研究該系統時，首先要對其線性化，對質量m受力分析，列寫微分方程，根據牛頓第二定律，有：

Ti（t）-[mgsinθ0（t）]l=（ml2）■

這是一個非線性微分方程，將sinθ0在θ0=0附近用■臺勞級數展開，得：

sinθ0=θ0-■+■-…當θ0很小時，則sinθ0=θ0可近似為線性方程。

三、《數學建模》課程改革后的實際效果

在《數學建模》基礎課中針對不同專業采用與專業匹配的教學模式，體現了教學方法的靈活性與適用性。該教學法以學生能力培養為主線根據各專業對數學課的要求分別采用啟發式、類比式、CDIO等精細化的教學模式，貫徹“學生參與，師生互動；科研滲透，學用結合；課堂為主，課外為輔”的教學原則，保證優秀教學效果。經過四年的教學實踐，項目組共獲得省級獎勵13項，主持省、校教學研究項目13項，發表教學研究論文20篇，出版專著2部、教材6部，獲得實用新型專利3項，獲得全國多媒體大賽國家一等獎1項，校教學成果一等獎1項，省級精品課1門，省教學名師獎1人，省教學新秀1人。近三年的全國大學生數學建模競賽和數學競賽獲國家獎24項，獲省級獎136項。學生的實踐能力和數學素質得到了提升。

基金項目：黑龍江省高等教育綜合改革項目《案例式教學法在大學工程數學系列課中的研究與實踐》（JGZ201201244）