實踐比設計更精彩

摘要：作為一位負責任的老師，在課前精心準備教學，寫出詳細的教學設計是必不可少的，這也為正常的教學進行做好了鋪墊，但是縱然你在課前已經做了非常充足的準備，包括各種預設，但是課堂上還是有可能出現一些意想不到的事情，這也正是課堂教學的魅力所在。同時，一個好的教學設計如果沒有經過課堂這一實踐關的檢驗，那也只是紙上談兵，“實踐才是檢驗設計的唯一標準”。以下記錄的是筆者在一次有關“費馬點”的教學實踐前后所發生的事。

關鍵詞：教學設計；課堂教學；費馬點

中圖分類號：G423 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）25-0183-02

一、教學實踐前的教學設計

探究：費馬點之找法

課堂預設：如圖1，以B點為中心，將△APB旋轉60°到△C'BP'，因為旋轉60°，且PB=P'B，所以△P'PB為一個正三角形？圯PB=P'P，因此，PA+PB+PC=

P'C'+P'P+PC，由此可知當C'、P'、P、C、四點共線時，PA+PB+PC=P'C'+P'P+PC為最小；若C'-P'-P共線時，則∵∠BP'P=60°？圯∠C'P'B=∠APB=120°，同理，若P'-P-C共線時，則∵∠BP'P=60°？圯∠BPC=120°，所以P點為滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點。

二、教學實踐中的課堂實錄

探究：費馬點之找法

師：大家思考一下該如何尋求三角形的費馬點呢？

生1：和對應的課堂預設一樣（略）。

生2：如圖2，假設P為滿足PA+PB+PC最小的點，令PA+PB=k為一定值，則滿足P'A+P'B=k的P'點的軌跡為一橢圓，故P點必為C點到橢圓上點的最短距離的點。由此可知，CP與過P點與橢圓相切的切線MN垂直，所以，∠CPM=∠CPN=90°，再由橢圓的光學性質，可得∠APM=∠BPN，故∠CPM+∠APM=∠CPN+∠BPN？圯∠CPA=∠CPB，同理可證出∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。

師：太漂亮了，用解析幾何的想法給出了一種構造方法，那你能證明嗎？

生2：如圖3，∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，又A'BPC四點共圓（∵？搖∠BPC+∠BA'C=180°），所以∠CPA'=60°。故∠APC+∠CPA'=180°，因此P在AA'上，同理可證P在BB'、CC'上，故P為AA'、BB'、CC'三線交點。

師：這位同學給出了三角形的費馬點的非常漂亮的構造與證明，那誰還有其他方法嗎？（此時學生熱情高漲）

生3：記得在物理課上做過一個實驗力的平衡實驗，好像可以證明費馬點的性質：AP、BP、CP所夾的三個角必為120°。

以木條為邊組裝正三角形，三頂點各裝置一滑輪，取三條等長棉線一端各懸掛一等重黏土塊W，分別由三滑輪垂下，另一端連在一起代表P點，讓重物自然垂下到達靜止狀態，測量∠APB、∠APC、∠BPC的角度，因為三重物重量相等，三條線的張力亦相同，即F1=F2=F3=W。

在平衡時所構成的力圖（圖4）形成的“封閉三角形”（圖5）為正三角形，亦即該力圖之三力所夾的三個角皆為120°。

將之前實驗裝置垂直置于一坐標平面之上方，記錄P點坐標，再求出之P點一次函數，以計算機程序計算是否符合，重復以上步驟5次，并改變三角形的形狀重復操作。

師：有點神奇了，鼓掌。

生4：這不算神奇，還有更神的。

（笑）

師：說說看。

生4：以木條為邊組裝正三角形ABC置于水平面上，三頂點各裝置一滑輪，取三條等長棉線一端各懸掛一等重黏土塊W，分別由三滑輪垂下，由實驗一已知P點為費馬點。于P點（費馬點）懸掛一黏土塊W，讓重物自然垂直向下移動到達靜止狀態（圖6），量測此時P點與水平面之垂直距離，分別作三次后取平均值，高度為hF。將P點任意移向三邊BC、AC、AB上的任意點，然后將重物放開，發現不論在任何邊上，均會趨向費馬點。

根據“物體會自由趨向能量最低點”的原理，可證明費馬點具有最低的位能。將之前實驗過程分別紀錄得到位能高度h'（三次平均值）■、■（代表從BC點釋放后的狀況，依此類推）、■、■、■、■。

重復以上步驟3次，并改變三角形的形狀重復操作。

師：完了，我幾乎不懂了。（笑）

生：沒關系，我們懂了。（笑）

這時下課的鈴聲響起，同學們意猶未盡。

師：沒關系，大家下課再查閱一下資料，看還有沒有其他方法，就留作今天的作業吧。

三、教學實踐后的課后反思

這節課總的來說符合新課程的理念，但是若能夠把學生帶到物理試驗室去上這節課就更好了。這樣的教學能更好的體現學生探究、操作的能力。一些表象原來要通過平面幾何添加輔助線和多步的求解才能得出的結果，現在可以通過一個有趣的實驗事實就可得到。從而可以使學生們對“數學實驗”有初步認識并產生了興趣，也體現了教學模具發明的意義和作用。

另外，查閱資料后發現，還可以嘗試運用電學方法證明費馬點：在電學中，電阻的大小與電線導體的長度成正比，如果以費馬點到三角形三頂點的距離，分別以此量取三段長度的電阻線，并聯后的電阻，是否比非費馬點的并聯電阻小，試圖找出三線并聯后的電阻與費馬點的關系。取一根導線和一根電阻線串聯，再將上述之裝置三條并聯交于同一電源裝置。以上述裝置的導線與電阻線之交點為三角形的頂點，用木條組裝成正三角形。將三條電阻線之末端交于三角形內之P點，再與一個安培計串聯回到電源裝置形成通路。開啟電源，移動P點的位置，找出P點位于何處時電流值最大后，將實驗裝置垂直置于一坐標平面之上方，紀錄P點坐標，再求出P點的一次函數，以計算機程序計算（是否符合）。改變三角形的形狀并重復操作。

還可以嘗試從理論化學觀點探討費馬點的性質：在理論化學的發展上，已經可以以計算機程序仿真小型化學分子的結構狀態，并據以求得最穩定存在（能量最小）的分子排列，對一些三角形分子而言（如環乙烯、環乙醚、環乙胺，這些分子和外界原子的排列，在自然狀態下，勢必要保持最小能量的穩定態，而這些原子間的相關位置，是否和三角形分子構形中的費馬點有關，我想藉由一些較簡單的化學分子計算軟件（MM2，MOPAC），試著找出其中的奧秘。

所以老師應該不只是去設計一節課，更應該去實踐一節課。