二分法和牛頓迭代法求解非線性方程的比較及應用

摘要：本文基于計算機MATLAB和C語言編程去分析兩者的計算復雜性，并深入探討了兩種方法的優缺點。最后，通過將兩種方法結合起來解決非線性方程的求解問題，取得了顯著地效果。同時，這也再次證明了方法組合解決問題的高效性。

關鍵詞：二分法；牛頓迭代法；非線性方程

中圖分類號：O242 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2013）25-0139-01

求解方程的近似根，一般需要解決兩個問題：

1.根的隔離。即找出有根區域，使得在一些小區間中方程只有一根（或一對共軛復根）以便獲取各根的較粗糙的近似值。

2.近似根的精確化。即用求根的數值方法，使求得的近似根逐步精確化，直到獲得一定精度的近似根。

一、二分法和牛頓迭代法的基本思想

1.二分法。一般地，對于函數f（x），如果存在實數c，當x=c時，若f（c）=0，那么把x=c叫做函數f（x）的零點。解方程即要求f（x）的所有零點。假定f（x）在區間（x，y）上連續，先找到a、b屬于區間（x，y），使f（a），f（b）異號，說明在區間（a，b）內一定有零點，然后求[f（a+b）/2]，現在假設f（a）<0，f（b）>0，a=a，從①開始繼續使用中點函數值判斷。如果[f（a+b）/2]>0，則在區間（a，（a+b）/2）內有零點，注：（a+b）/2<=b，從①開始繼續使用中點函數值判斷。這樣就可以不斷接近零點。通過每次把f（x）的零點所在小區間收縮一半的方法，使區間的兩個端點逐步迫近函數的零點，以求得零點的近似值，這種方法叫做二分法。從以上可以看出，每次運算后，區間長度減少一半，是線形收斂。另外，二分法不能計算復根和重根。

2.牛頓迭代法。設r是f（x）=0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0，f（x0））做曲線y=f（x）的切線L，L的方程為y=f（x0）+f'（x0）（x-x0），求出L與x軸交點的橫坐標x1=x0-f（x0）/f'（x0），稱x1為r的一次近似值。過點（x1，f（x1））作曲線y=f（x）的切線，并求該切線與x軸交點的橫坐標x2=x1-f（x1）/f'（x1），稱x2為r的二次近似值。重復以上過程，得r的近似值序列，其中x（n+1）=x（n）-f（x（n））/f'（x（n）），稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。解非線性方程f（x）=0的牛頓法是把非線性方程線性化的一種近似方法。把f（x）在x0點附近展開成泰勒級數f（x）=f（x0）+（x-x0）f'（x0）+（x-x0）^2*f''（x0）/2！+…取其線性部分，作為非線性方程f（x）=0的近似方程，即泰勒展開的前兩項，則有f（x0）+f'（x0）（x-x0）=0設f'（x0）≠0則其解為x1=x0-f（x0）/f'（x0）這樣，得到牛頓法的一個迭代序列：x（n+1）=x（n）-f（x（n））/f'（x（n）），記為：{x（n）}。此時，當n趨于無窮大時，x（n）就會逐漸逼近f（x）=0的根。

二、例證分析

1.對此非線性方程x3-50x2-6610=0在單獨用二分法和牛頓迭代法時的效果都不顯著。

實驗的結果分析：

由此可見，牛頓迭代法是一種特殊的迭代法，用于求非線性方程單根時具有二階收斂速度。但是，牛頓法也有自己的缺點。如對初值要求苛刻，而且還要求函數的導數。

綜上所述，顯然，通過將兩種方法結合起來解決非線性方程的求解問題，取得了顯著地效果。迭代次數大大減少，極大降低了計算的復雜性，收到了很好的效果。

如何針對不同的方程構造不同的迭代公式，如何降低對初值的依賴性和提高收斂的速度，都是非線性方程求根問題中經?？紤]的問題。本文通過對比兩種算法的優劣，得出了牛頓迭代法和二分法各自的特點，并把兩種方法結合起來，先通過二分法找到合適的初始值，然后再用牛頓法進行迭代運算，大大節約了時間，降低了計算復雜性。這也證實了把各種方法的長處結合起來，來解決問題往往收到不錯的結果。

作者簡介：張曉勇（1987-），男，河南民權人，在讀研究生，研究方向：計算數學中的系統建模與仿真。