用氣軌實驗系統與Spss標定重力加速度

摘要：使氣墊導軌處于水平方向的平衡狀態下，通過設定滑行器所受外力，調整系統質量，用智能機使系統精準測出滑行器在水平氣軌表面運動的加速度，用物理天平稱量出系統質量。由測量原理、不確定度分析，引入Spss軟件的曲線估計功能分析測量數據，得到系統質量與質量加速度綜合量的定標曲線，并驗證得系統質量與質量-加速度綜合量存在線性關系，由此標定出重力加速度，并用置信概率為95%的不確定度對測量數據及其實驗結果進行合理的分析和評價，能得到更加合理的實驗結果。

關鍵詞：氣軌實驗系統；牛頓第二定律；質量-加速度綜合量；Spss；標定

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）31-0176-03

測量重力加速度的方法很多，最經典的是打點計時法、單擺法[1]，常見的有落球法[2]、圓錐擺法[3]等。打點計時器法因紙帶與打點計時器之間存在一定程度的摩擦，且重物在下落過程中會受到空氣阻力，所以通常測得的重力加速度與真實值相比要有較大偏差。單擺法因空氣阻力、復擺、起始位置難控制等因素，會給周期的測量帶來很大的誤差。落球法因設定的毫秒計擋光寬度與條形物體的真實擋光寬度存在誤差，以及物體下落時受到空氣阻力會帶來較大誤差。落球法對外界條件要求較高，溫度偏高或偏低都會影響蓖麻油的密度和黏滯系數。用圓錐擺法難以控制物體處于平衡態下錐擺穩定的狀態。由于氣墊導軌的平衡狀態易于控制（靜態、動態調平），而且計時系統定速度、加速度的精度較高，使用用物理天平測定系統質量。并引入Spss[4]分析實驗數據的方法，可以顯著減小因儀器或者認為因素帶來的誤差，使得實驗結果更加準確與合理。

一、實驗裝置及調試

氣墊導軌實驗系統裝置圖1所示。主要由氣軌（J2125—2B15M）、氣源、智能計時器（J0201—DM）、光電門、滑塊及擋光片、若干條碼（約50g）、若干天平砝碼（1g、2g、5g）、水平儀等構成。

氣墊導軌的調平是測試優良實驗數據的基礎，先進行靜態調平，后進行動態調平，調平順序一般不可逆。靜態調平是在氣墊導軌滑行表面的左、中、右端反復進行的，先把滑塊放置在導軌表面，再將水平泡放置在滑塊上，然后調節氣墊導軌的底腳螺釘，使氣墊導軌逐步進入靜態水平狀態。動態調平應先給氣墊導軌通上氣源，給滑塊一個初速度，觀察滑行器通過兩個光電門的速度（先從右到左，再從左到右），根據兩光電門的速度差判斷出氣軌的高低，調節腳底螺母。測試滑塊從右到左通過兩光電門的速度差，使之盡量接近滑塊從左到右通過兩光電門的速度差，此時，我們可認為兩光電門所在兩點在同一水平線上，使氣墊導軌進入動態平衡狀態。若要得到優良的實驗數據，應合理選定小桶與砝碼的質量，還必須盡力保證滑行器每一次的起始狀態的一致性。

二、實驗原理

1.測量原理。測量原理圖如圖2所示，若不計空氣阻尼與滑輪摩擦產生的影響，根據牛頓第二定律[5]，分析?搖?搖m1（小桶與砝碼質量）、m2?搖（滑行器與條碼質量）的受力情況，可得m1g?搖-T=m1a （1）

?搖?搖T=m2a （2）

由（1）、（2）式可得

?搖m1g=（m1+m2）a （3）

令系統質量M=m1+m2，則（3）式可化簡為m1g=Ma （4）

設質量-加速度綜合量w=■，則（4）式可化簡為M=gw（5）

在m1一定的情況下（設定m1=10g），用氣軌系統測量m2的加速度（a），用物理天平稱量小桶與砝碼質量（m1），可得質量-加速度綜合量（w），用物理天平稱量滑行器與條碼質量（m2），可得系統質量（M）。應用Spss線性估計功能，分析系統質量（Mi）與質量-加速度綜合量（w）的線性關系（即M-w圖），由此可標定出重力加速度g，并對其不確定度做出估算。

2.對重力加速度的不確定度分析。直接測量k而言，其不確定度可分為A類、B類進行評定。測量列平均值的標準偏差[7]為

u■=■ （6）

對A類，若測量為8次，測量結果服從t分布，當p=0.95時，tp=2.36，即u■=2.36u（■） （7）

（6）式中的k可以分別表示■■、■■、a。

對于B類分量，若其誤差極限為Δ，儀器誤差服從均勻分布C=■，當p=0.95時，kp=1.96，那么u■=1.96■ （8）

（7）式中的k可以分別表示m1、m2、a，那么直接測量 的合成不確定度為u■=■ （9）

對間接測量y=f（k1，k2，…，ki，…，km），則y的標準不確定度u■為

u■=■ （10）

y的相對不確定度u■為

u■=■ （11）

考慮（5）、（11）式，重加速度的相對不確定度為

u■=■ （12）

由（12）式知，要減系統質量M對u■的影響，應合理選擇測量工具（物理天平），而質量-加速度綜合量w對u■的影響為主導因數，應合理調整氣軌實驗系統顯得尤為重要（調整氣軌實驗系統平衡，滑行器質量的合理選擇，滑行器起始狀態一致性的控制問題；應適當控制小桶內的質量）。

三、實驗數據處理

1.測量數據及處理。

表1 滑行器質量與相應加速度的實驗數據

表2 系統質量與相應的質量-加速度綜合量實驗數據

2.用Spss軟件分析Mi—wi定標曲線。將表2中的Mi、wi的實驗數據輸入到Spss軟件中，以w為自變量，M為因變量，通過Spss的曲線估計功能，可得其定標方程為

Mi=9.775378868032421wi-0.3112407898525356 （13）

所得曲線如圖3所示。

3.重力加速度的不確定度估算。根據圖3的Mi—wi定標曲線，在直線上適當取樣w1、M1，w2、M2值，合理估算g的不確定度。由（13）可得

u■=■ （14）

由圖3直線上w1、M1，w2、M2取樣值，可得

g=■ （15）

由（15）可得

u■=■（16）

由圖3不確定度評定取樣點，結合（14）、（15）、（16）可得表4實驗結果。

表3 實驗結果

由緯度，海拔修正的重力加速度理論公式[6]為

g理=980.161-25928cos?漬+0.0069cos2?漬-3.086×10-6H（17）

（17）式中，?漬表示緯度，H表示海拔。經查閱，云南省楚雄市的?漬=25.03°，H=1773m，因此，重力加速度理論值為g理=9.783m/s2。

四、分析與討論

由表2數據，應用Spss軟件分析得定標方程（13）式及其圖2，并得到Mi—wi定標曲線圖。得出了系統質量（Mi）與質量—加速度綜合量（wi）成線性關系，圖3實驗曲線與理論分析（5）式具有一致性。

由表1、2、3測量數據可知，當小桶與砝碼質量設定為10g，兩光電門的距離設定為40cm時，經多次實驗驗證，滑行器的質量應控制在463-789g以內，這樣可以有效保證滑行器通加速度度可控制12-21cm·s-2以內。既可以充分保證計時系統測試加速度的精度（0.01cm·s-2），又可忽略空氣阻尼、滑輪摩擦帶來的影響，使得測量結果更加可靠，實驗結果更為合理。能夠得到較為理想的（13）式、圖3、表3的實驗結果，除了借助了強有力的計算機輔助（Spss軟件）分析手段外，表明所測量數據（表1、2）的質量較高，說明水平狀態氣軌系統的調整、光電門相對位置設定、小桶與砝碼質量的選擇較為合理，滑行器每次起始狀態的一致性控制較好，使得因儀器或人為因素所致的偶然誤差與系統誤差已降為較小。查看表3中重力加速度的實驗結果，對照由緯度所修正重力加速度（17）式的計算結果，二者吻合度較好，尤其查看表3中的u■，由該實驗方案所得重力加速度的實驗值只在千分位上可疑，而以往的實驗方案所得慣性質量的實驗值一般為十分位或百分位可疑。表明利用水平狀態的氣軌實驗系統測量加速度可以保證高質量測量數據，用Spss分析實驗數據可以保證高質量實驗結果，該實驗方案可提高實驗數據與實驗結果的分析精度。因此，該實驗方案值得推廣。

參考文獻：

[1]安學立，田存偉.用單擺法測重力加速度實驗中單擺周期的測定[J].物理通報，2012，（3）.

[2]朱道云，龐瑋，等.多管落求法測量重力加速度[J].實驗科學與技術，2012，（4）.

[3]軒植華.用圓錐擺測重力加速度[J].物理實驗，1984，（8）.

[4]宋志剛.SPSS 16.0 guide to data analysis [M].人民郵電出版社，2008.

[5]張三慧.大學物理學（力學、電磁學）[M].清華大學出版社，2011.

[6]沈佳旺，王新春，等.標定法求鋼絲楊氏模量的實驗研究[J].技術物理教程，2012，（6）.

基金項目：國家特色專業項目資助（編號：12467）

作者簡介：楊紅明（1990-），云南省祿豐縣人，大學本科，主要研究方向為普通物理實驗；王新春（1970-），云南省祿豐縣人，教授，主要研究方向為普通物理實驗。