給微元法教學開對處方

摘要：指出微元法的重要性，并針對微元法教學過程中如何讓學生更好地理解、掌握微元法進行了探討。

關鍵詞：微元法；教學處方；教學理論

中圖分類號：G420？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）47-0049-02

《高等數學》是高校里非常重要的公共基礎課程，它是學生在今后的學習和生活中非常有用的理論工具。所謂“工欲善其事，必先利其器”，打好基礎對今后的學習是非常重要的。因此，基本上所有的理科專業都要開設《高等數學》這門課程。實際上，就教學目的而言，高等數學這門課程不僅僅是要教學生學會高等數學的基本知識和基本技能，更重要的是要學生學會研究高等數學的基本科學方法，培養學生的科學精神和科學態度，提高學生綜合運用所學知識分析、解決問題的能力以及主動學習、積極探究的創新精神和實踐能力。

微元法是高等數學中一個非常重要的思想方法和理論工具，它體現了以局部看整體、以微觀表宏觀、用近似值描述精確值的數學思想，展現了化整為零、以常代變、積零為整的數學處理方法，充分體現了極限思想的實質以及從精確到近似，再從近似到精確的過程，進而展示了數學上的曲與直之間、變與不變之間、無限與有限之間的看似矛盾卻能相互融合的轉化。微元法在實際中有著相當廣泛的應用，是分析不規則幾何量與不規則物理量重要的工具。例如，應用微元法可以計算不規則幾何體的體積、不規則曲線的長度、不規則曲面的面積，可以計算變力作用下質點沿曲線運動中所做的功、密度分布不均勻的物體的質量、任一剛體對轉軸的轉動慣量、任意帶電體電場的電勢分布、電流在任一點的磁感應強度、通電導線在磁場中所受到的磁場力等。

但是由于微元法的內容相對“抽象”，導致教師在教學中很難做到將其“生動體現”，而學生也覺得枯燥難學，因此很難做到深入理解這種數學思想，從而成了讓老師難教、學生不愿學的“硬骨頭”。

如何選擇教學方法和手段，如何讓我們的學生掌握微元法的思想，并能在今后的學習和生活中靈活應用，是一個很值得老師們思考的問題。作為一名多年從事教學工作的教師，筆者認為在教學中應該注意以下問題。

一、掌握學生學情，因材施教

學生是教學的主體，教學是為學生服務的，因此在設計教學過程之前一定要了解學情。現在我們的高等教育已經從“精英教育”轉為“大眾化教育”，教師們也要意識到，由“大眾化教育”所帶來的學生基礎差異大、學生的學習態度千差萬別、部分學生對學習缺乏好奇心、學習不夠努力等等現象都是正常的。作為教師，從教書育人的角度出發，要因材施教，針對不同基礎的學生、不同學科的學生、不同程度要求的學生，對教學內容要做不同的處理和分析，不能一概而論。

二、闡明理論依據，扎實基礎

在教學中，我們往往利用定積分定義求整體量精確值的過程來推導微元法的理論依據，即借助于定積分概念的推導過程——曲邊梯形面積的計算等問題導出的，通過“大化小、常代變、近似和、取極限”這四個步驟推導出來的。

例：求由函數y=f（x）（f（x）>0）、x軸及直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積。因為面積具有可加性，因此可以做如下處理：

1.大化小：將區間[a，b]任意分割成n個小區間，即在a、b之間任意插入n-1個分點x0=a

2.常代變：在局部上用長方形的面積近似代替曲邊梯形的面積，即在任意一個小區間[xi-1，xi]（i=1，…，n）上任取一點ξi∈[xi-1，xi]，令Δxi=xi-xi-1，將每一塊小曲邊梯形面積用小長方形的面積f（ξi）·Δxi近似代替：ΔSi≈f（ξi）·Δxi。

3.近似和：將所求的曲邊梯形的面積S用所有這些小長方形的面積之和近似表示，即S≈■f（ξi）Δxi。

4.取極限：用近似值的極限來表示所求的曲邊梯形的面積S的精確值：S=■■f（ξi）Δxi=■f（x）dx，λ=■{Δxi}

以上得到的公式的重點在于面積積分表示中的被積函數，因此為了更容易分析及找到被積函數，在第2步的常代變的過程中，將小區間[xi-1，xi]用[x，x+dx]表示，則此時小區間[x，x+dx]上面積的近似值為ΔS≈f（x）·dx，而從面積的精確值S=■f（x）dx可知，公式右端為面積S的微分dS，這表明在考慮ΔS≈f（x）·dx的近似值時可以略去比dx高階的無窮小量。

以上分析的過程即為微元法的雛形。將上面四個步驟中的前兩步合并即為微元法的第一步：化整為零，以常代變，即在區間[a，b]中任取區間[x，x+dx]，計算[x，x+dx]所對應的部分量ΔS，得到部分量近似表達式ΔS≈f（x）·dx，該公式右端即為所求整體量S的微分表達式；將上面四個步驟中的后兩步合并即為微元法的第二步：積零為整、無限累加，即對部分量近似表達式ΔS≈f（x）·dx，右端在[a，b]取定積分得整體量的精確值即其積分表達式S=■f（x）dx。

以上兩步驟合在一起即為微元法（也稱元素法）。即對實際問題中的各種量U，比如幾何上的弧長、體積、面積，或是物理上的功、壓力、路程、力矩、轉動慣量，或是生物醫學上的血流量、濃度等等，只要該量是一個與一個連續取值區間[a，b]有關的量并且在區間上具有代數可加性，就都可通過以上的方法進行計算。即通過分析部分量△U，對其取近似值，得到整體量U的微分表達式dU=f（x）dx；而后對微分表達式取定積分得整體量U的精確值U=■f（x）dx。微元法不僅簡便實用，而且準確可靠，它是一種根據定積分的極限定義，先分解后整合，從具體的實際應用出發，把所求的量表示成定積分的一種簡便方法。

三、舉例分析說明，強化基礎

應用微元法處理問題的關鍵在于根據實際問題找出適當的被積函數f（x），進而能夠寫出正確的整體量U的微分表達式dU。微分表達式dU是△U的近似值，而判斷近似公式正確與否的關鍵是看dU與△U之間是不是差一個dx的高階無窮小，這是應用微元分析法用定積分解決問題的一個極為重要的條件。但是在有些高等數學教材在微元法這部分內容的編寫中并沒有提到這一條件，或者有些提到了但是沒有用具體的實例加以說明，造成了部分學生對這一條件的忽視，從而導致在應用微元法解題的過程中微分表達式選擇錯誤。筆者認為對于微元法的課堂教學，在針對如何選擇正確的整體量的微分表達式時，下面的例題是一個極好的課堂教學范例。

例：設一個直角三角形，其三邊分別由x軸、直線x=h及直線OP（其中P（h，r））構成，計算將該三角形繞x軸旋轉一周后構成的圓錐體的體積和它的側面積。

解：過原點O及點P（h，r）的直線方程為y=■x，

（1）在[0，h]上任取一個小區間[x，x+dx]，圓錐體中[x，x+dx]所對應的薄片的體積可以圓柱體的體積來近似計算，該圓柱體的底半徑為■x、高為dx，因此圓錐體的體積的微分表達式為：dV=π（■x）2dx，

因此所求圓錐體的體積為：V=■π（■x）2dx=■πr2h。

（2）類似的，在[0，h]上任取一個小區間[x，x+dx]，圓錐體中[x，x+dx]所對應的薄片的側面積可以圓柱體的側面積來近似計算嗎？該圓柱體的底半徑為■x、高為dx，那么圓錐體的側面積的微分表達式取為dS=2π■xdx，這樣的分析對嗎？答案是否定的。

事實上，ΔS=S（x+dx）-S（x）=π■■（x+dx）2-π■■x2=2π■■xdx+π■■（dx）2

即側面積微元的正確取法是：dS=2π■■xdx

側面積S=■2π■■xdx=πr■

顯然，如果取dS=2π■xdx，這與“△S與dS相差一個比dx高階的無窮小”相違。

而解答（1）中體積微元dV=π（■x）2dx的取法是正確的，因為ΔV=V（x+dx）-V（x）=■π■（x+dx）3-■π■x3=π■x2dx+π■（dx）2+■π■（dx）3π■（dx）2+■π■（dx）3是比dx高階的無窮小量。

四、結合案例，提高應用能力

將由微元法推導的定積分公式應用到案例分析中，增強學生的求知欲，提高應用知識及分析解決問題的能力。

意大利數學家托里拆利（Evangelista Torricelli）將 y=1/x中x≥1的部分繞著x軸旋轉了一圈，得到了數學上著名的托里拆利小號。使用旋轉體的體積（V）和旋轉曲面的面積（A）公式，可得：

V=■■πy2dx=■■π■dx=π

A=■■2πy■dx=2π■■■dx>2π■■■dx=∞

因此可以得到托里拆利小號的一個性質——它的表面積無窮大，可它的體積卻是π。這明顯有悖于人的直覺：體積有限的物體，表面積卻可以是無限的！換句話說，填滿整個托里拆利小號只需要有限的油漆，但把托里拆利小號的表面刷一遍，卻需要無限多的油漆！這可以引導學生對該看似謬論的問題進行思考和分析，從而使學生對極限理論和微元法的思想有更深入的思考。

歸根結底，微元法是高等數學中的重要的思想方法，是微積分的靈魂。在教學中要因材施教，針對學生的基礎和學習需要，選擇合適的教學手段和方法，利用理論教學與案例講解相結合的教學模式，激發學生的興趣，引導學生學會應用微元分析法解決實際問題。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，1991.

[3]祝之光.物理學[M].北京：高等教育出版社，1987.