不定積分換元法的教學(xué)案例

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)是師生互動的數(shù)學(xué)思維的行為活動。教師在教學(xué)中要教會學(xué)生分析問題的基本方法，這樣有利于學(xué)生在數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，提高自身分析解決問題的能力。針對積分換元方法這一教學(xué)目標(biāo)，采用“分層教學(xué)法”來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，課堂反應(yīng)良好，得到滿意的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：分層教學(xué)法；積分換元法；高職院校

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A？搖 文章編號：1674-9324（2013）18-0244-03

高等數(shù)學(xué)課程是高職院校理科學(xué)生的必修課程。通過該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在專業(yè)課的學(xué)習(xí)中儲備了必須的基礎(chǔ)知識，同時提高了運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、思想和方法研究事物的數(shù)學(xué)關(guān)系的能力，提高了思想和觀點(diǎn)的邏輯性、準(zhǔn)確性，增強(qiáng)了自身的科學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)了學(xué)生的自我學(xué)習(xí)能力。是學(xué)生創(chuàng)新能力形成，最終養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)的一種重要途徑。而微積分是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，學(xué)生只有“消化吸收”，才能在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中做到得心應(yīng)手。

分層教學(xué)法[1]是“因材施教”理念的良好體現(xiàn)。它是指在學(xué)生知識基礎(chǔ)和非智力因素存在明顯差異的情況下，教師有針對性地實施分層教學(xué)，從而達(dá)到不同教學(xué)層次、教學(xué)目標(biāo)的一種教學(xué)方法。分層教學(xué)有利于每個學(xué)生自主性、探索性和創(chuàng)造性的潛能發(fā)揮，真正為每位學(xué)生未來的發(fā)展夯實基礎(chǔ)。

本文采用“分層教學(xué)法”對“換元積分習(xí)題課”一節(jié)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，課堂反應(yīng)良好，教學(xué)效果較為滿意。

一、教學(xué)設(shè)計理念

一般教材都是基于“直接利用基本積分公式或適當(dāng)改變被積函數(shù)后再利用基本積分公式能夠計算的積分是有限的，故需進(jìn)一步探討求積分的其他計算方法”引入積分換元方法的學(xué)習(xí)內(nèi)容的。

本次積分習(xí)題課程是依據(jù)“分層教學(xué)法”的理念講授的。在“分層教學(xué)法”的一些實際教學(xué)應(yīng)用案例[2]中提到將“學(xué)生分組”。本文作者認(rèn)為，這在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中是不易實施的。首先，高等教育是成人教育，“平等、寬容”是其核心教學(xué)理念之一。其次，“課時緊，任務(wù)重”，公共基礎(chǔ)課往往成為學(xué)校課時精簡壓縮的首選。故數(shù)學(xué)教學(xué)中“分層教學(xué)法”的做法，應(yīng)多體現(xiàn)在題型的難易程度上，即“階梯式展現(xiàn)”，盡量使得每個學(xué)生都有所收獲。

二、案例陳述

（一）教學(xué)目標(biāo)

定理一（第一類換元積分法）設(shè)函數(shù)F（u）是f（u）的原函數(shù)，設(shè)函數(shù)u=φ（x）可微，則有

■f[φ（x）]φ'（x）dxu=φ（x）=■f（u）du=F[φ（x）]+C

第一類換元積分法的基本思想是：將被積函數(shù)的一部分與dx湊成變量u的微分f（u），被積函數(shù)剩下的部分表達(dá)成u的函數(shù)使之成為■f（u）du的形式，因此該積分方法又叫湊微分法。

定理二（代換法）設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，函數(shù)x=φ（t）單調(diào)可微，且φ'（t）≠0，則有

■f（x）dx=■f[φ（t）]φ'（t）dt

第二類換元積分發(fā)的基本思想是：在求不定積分用第一類換元法比較困難時，做反方向的換元，即設(shè)x=φ（t）來求解，以期求得積分結(jié)果。

（二）教學(xué)內(nèi)容

例1 計算■（3x+2）dx

解：第一步，計算填空題d（5x+2）= x（這一步的教學(xué)目的，是使得積分變換的前提條件得以呈現(xiàn)）。

第二步，引導(dǎo)推出填空題d（ax+b）= dx（這一步的教學(xué)目的，是對學(xué)生展開需記憶的公式，學(xué)習(xí)領(lǐng)會并加以應(yīng)用）。

第三步，看積分■（3x+2）dx式子中dx前面添加哪個數(shù)字使得積分式子能夠恒等變成■（3x+2）d（3x+2），（這一步的教學(xué)目的是，使得盡量多的學(xué)生會套用公式，到這里教學(xué)基本目的達(dá)到，數(shù)學(xué)思想得以呈現(xiàn)）。

例2 計算■cos2xdx

例3 計算■■dx

例2、3積分變換的難度逐步提高。在例2教學(xué)中，讓一位基礎(chǔ)較好的學(xué)生黑板演示，例3通過教學(xué)提示，學(xué)生思考后，加以講解。其中例1講授時間占整個教學(xué)時間的三分之二（教學(xué)時間以標(biāo)準(zhǔn)課時50分鐘為準(zhǔn)），以保證學(xué)困生能夠思考、理解并簡單應(yīng)用；例2偏向于中等以上的學(xué)生能夠獨(dú)立完成，或在看同學(xué)演算中能夠獨(dú)立理解；例3是一道面向優(yōu)秀學(xué)生的拔高題目，教學(xué)時間只占總時間的六或七分之一。

最終加以言語引導(dǎo)，展開后續(xù)課程內(nèi)容，順勢列出常用的湊微分公式，第一定理的順利講授。

例4 計算■■dx

解：第一步，計算積分■xd（x2）（這一步的教學(xué)目的，是使得積分代換的思想得以呈現(xiàn)）。

第二步，進(jìn)而引導(dǎo)推出■=t及相應(yīng)的x=t2（這一步的教學(xué)目的，是對學(xué)生展示代換的基本類型）

第三步，看積分■a■dx（其中a>0），令a■=t，積分式子能夠恒等變成■atadt（這一步的教學(xué)目的是，使得盡量多的學(xué)生會應(yīng)用公式。到此教學(xué)目的基本達(dá)到，數(shù)學(xué)思想得以呈現(xiàn)）。

例5 計算 ■5■dx

例6 計算 ■■dx

例4、5、6三個例題的講授思想和教學(xué)步驟，與定理一的講授思想和教學(xué)步驟、安排大體一致（以標(biāo)準(zhǔn)課時50分鐘為準(zhǔn)）。

最后加以言語引導(dǎo)，展開后續(xù)課程內(nèi)容，順勢指出其他的代換公式，第二定理的講授完成。

（三）兩種積分法的聯(lián)系和區(qū)別

第一換元法用的是“湊積分”的辦法，即不改變原有函數(shù)以及自變量形式，通過湊出相同或部分相同的函數(shù)或自變量形式來求不定積分。而第二換元法則是用另外的函數(shù)形式或部分形式來替代，達(dá)到簡潔積分式子目的，最后通過回代的方式來求不定積分。第二換元法必須要求換元函數(shù)的反函數(shù)存在，用萬能公式等是典型的代替方法。兩種換元法可以互用。如不行就使用后面講的分步積分法。

三、教學(xué)效果及反思

這節(jié)課的所有教學(xué)環(huán)節(jié)均進(jìn)行得順利，課堂上學(xué)生學(xué)習(xí)熱情高，課堂參與度高，師生交流較多。針對于本文作者所帶11級的教學(xué)班與采用本教案的12級教學(xué)班相比較，課堂表現(xiàn)及課后檢查，情況有了相當(dāng)?shù)母挠^，知識掌握的優(yōu)秀率和良好率均有10到12個百分點(diǎn)的提升。

積分是數(shù)學(xué)思想的一個方面的具體體現(xiàn)，加上近年來，數(shù)學(xué)軟件的廣泛應(yīng)用，做過難的題已經(jīng)失去意義，學(xué)生們只要會做一般的題型，就達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。這種情況，其實給教師提出更高的要求，既教授課程是教授思想，教學(xué)中心不是圍繞“題型”，教學(xué)理應(yīng)回歸到“教會學(xué)生科學(xué)思考”的教學(xué)本質(zhì)。

數(shù)學(xué)教學(xué)是師生互動的數(shù)學(xué)思維的行為活動。教師在教學(xué)中要教會學(xué)生分析問題的基本方法，這樣有利于學(xué)生在數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中提高自身分析解決問題的能力。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，必須有諸多的相關(guān)因素參與其中，但高職院校的學(xué)生在這一方面欠缺比較多。所以教學(xué)設(shè)計的起點(diǎn)應(yīng)有所降低，依照實際情況，適當(dāng)分解、分散難點(diǎn)，使得盡量多的學(xué)生參與，烘托課堂氣氛，提升學(xué)生參與度，增加學(xué)生學(xué)習(xí)信心。

四、總結(jié)

高職院校的公共基礎(chǔ)課教育教學(xué)改革是大家特別關(guān)心的一類問題，原因是近些年來，學(xué)生的意志品質(zhì)和學(xué)習(xí)主動性較差，教學(xué)計劃無法順利完成。基于此，教師只有悉心研究教材，認(rèn)真研究學(xué)生，精心設(shè)計教案，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程和劃歸與解決問題的過程，從而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的理解，方能取得預(yù)期的教學(xué)效果，學(xué)生也會得到進(jìn)步和發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭游瑞，何月俏.高職高專數(shù)學(xué)課程的教學(xué)構(gòu)想[J].廣東技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報，2009，（1）：110-115.

[2]周明，仲發(fā)祿.高等數(shù)學(xué)[M].西安：電子科技大學(xué)出版社，2012.

[3]楊鏞.導(dǎo)數(shù)的教學(xué)設(shè)計[J].軟件（教育現(xiàn)代化），2012，2（3）：117-117，125.

[4]楊鏞.泰勒公式的引用[J].新課程學(xué)習(xí)，2012，（8）：143.

基金項目：校級科研項目（yzk1104）

作者簡介：楊鏞（1971，10-），碩士，講師，研究興趣：高等數(shù)學(xué)教學(xué)。