如何講好時域取樣定理

摘要：時域取樣定理是“信號與系統”和“數字信號處理”等課程的重要內容，但是，目前高等院校普遍使用的國內外經典教材對這部分內容論述不夠清晰，沒有證明連續時間信號與離散時間信號頻譜的關系，尤其是引入了理想沖激取樣過程，物理意義不明確，影響了學生理解。本文對時域取樣定理進行了深入的思考，提出了兩種講解思路，教學實踐表明，對增強學生對該內容的理解，提高授課質量，有較強的針對性。

關鍵詞：時域取樣定理；理想沖激取樣；課程改革

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）18-0188-03

How to Explain the Sampling Theorem in Time Logically

Liu Jianbao，Qin Xinxin，Ouyang Hua

Naval University of Engineering，Wuhan，China

Abstract：The sampling theorem in time is very important in the courses of Signals and Systems and Digital Signal Processing.But it has not been explained logically in the books which have been used widely in colleges and universities，and the relationship between the spectrum in frequency domain of continuous-time signal and that of discrete-time signal has not been proved， especially the physical meanings of impulse-train sampling are illogical.So some students have difficult in comprehending the sampling theorem.Two methods have been used in teaching practices which are proposed in this paper，the efficiency testifies that the methods are beneficial to improve teaching effect.

Keywords：sampling theorem in time；impulse-train sampling；teaching reform

一、引言

“信號與系統”和“數字信號處理”課程是自動化、電子信息通信及計算機等專業本科生重要的基礎課，其基本的分析方法和系統原理廣泛應用于信號與信息處理、通信及電路與系統、計算機處理等領域，是一門理論性和應用性極強的課程，也是電子、信息、自動化等專業的必修課程之一，其教學質量的好壞將涉及到能否為后續專業課程打好基礎的問題。Nyquist時域取樣定理是“信號與系統”和“數字信號處理”等課程的重要內容，是聯系連續時間信號和離散時間信號的紐帶，如何有效地增強學生對該內容的理解，提高教學質量，值得廣大高等院校教師進行深入思考和教學實踐。

二、現狀

目前，高等院校開設“信號與系統”課程所使用的經典教材主要有吳大正主編的《信號與線性系統分析》[1]、奧本海姆AV等著的《信號與系統》[2]、鄭君里等編著的《信號與系統》等，[3]“數字信號處理”課程普遍使用的經典教材包括：程佩清編著的《數字信號處理教程》[4]、尹為民等編的《數字信號處理》[5]、奧本海姆AV等著，董士嘉譯的《數字信號處理》[6]等，均涉及了時域取樣定理，內容是一致的，比如在程佩清編著的《數字信號處理教程》[4]中時域取樣定理是這樣論述的：若xa（t）是頻帶寬度有限的，要想抽樣后x（n）=xa（nt）能夠不失真地還原出原信號xa（t），則抽樣頻率必須大于或等于兩倍信號譜的最高頻率。可以說，時域取樣定理在連續時間信號與離散時間信號之間架起了一座橋梁，為連續時間信號與離散時間信號的相互轉換提供了理論依據。但是，幾乎所有教材在推導時域取樣定理過程中，普遍存在以下兩個問題：

（一）沒有證明連續時間信號xa（t）與離散時間信號x（n）=xa（nT）的頻域關系

大部分教材只是對連續時間信號xa（t）和它的“所謂”的取樣數據信號■a（t）的頻域關系進行了分析，請注意，這里的取樣數據信號■（t）仍然是連續時間信號，圖1所示為教材上表示的連續時間信號的取樣過程，而沒有證明時域取樣定理論述的連續時間信號xa（t）和離散時間信號x（n）=xa（nt）的頻域關系。因此，推導得到的結論：取樣數據信號■a（t）的頻譜是原連續時間信號xa（t）頻譜的周期延拓，無法證明時域取樣定理的正確性。

（二）理想取樣過程物理意義不清晰

連續時間信號的取樣是由取樣器（實際中為A/D轉換器）來完成的。取樣器相當于一個電子開關，每隔T秒閉合一次，并對該時刻電子開關輸出值進行編碼，得到原連續時間信號xa（t）在nT時刻的樣本值，圖2所示為實際中連續時間信號的取樣。

可以看出，圖1（a）所示的自然取樣過程，并不能完整地表示連續時間信號轉換為離散時間信號的過程。圖1（b）所示的理想取樣過程也不是電子開關閉合時間為無窮短時，自然取樣的一種理想逼近，因為矩形脈沖序列p（t）的幅值一直為1，矩形脈沖寬度趨近無窮小時，矩形脈沖的面積也趨近無窮小，而不是為1，因此，不能用沖激函數序列δT（t）去逼近矩形脈沖序列p（t）。基于以上理由，可以說明圖1（b）所示的理想取樣過程是不存在的，沒有任何物理意義可言。

三、如何講好時域取樣定理

（一）連續時間信號離散化過程

講好時域取樣定理，首先要介紹連續時間信號轉換為離散時間信號的過程。

連續時間信號的時域離散化處理的一個關鍵設備是A/D變換器，實際的A/D轉換器如下圖所示。

取樣保持器件（S/H）的功能是將模擬信號轉換為階梯形信號xT（t），編碼器的功能是將階梯信號進行編碼，轉換為離散時間信號x（n）。圖4為連續時間信號轉換為離散時間信號的過程。

（二）時域取樣定理的推導

講好時域取樣定理，關鍵是要分析連續時間信號與取樣得到的離散時間信號的關系。

取樣過程的時域關系為x（n）=xa（nT），關鍵是分析原連續時間信號xa（t）的頻譜Xa（j？贅）與離散時間信號x（n）的頻譜X（ej？棕）的關系。本文提出了兩種思路：

思路一：直接法推導

根據傅里葉變換和離散傅里葉變換定義，有

xa（t）=■■Xa（j？贅）ej？贅td？贅 （1）

x（n）=■■X（ej？棕）ej？棕nd？棕 （2）

將取樣過程的時域關系x（n）=xa（nT）帶入（1）式，有

x（n）=■■Xa（j？贅）ej？贅nTd？贅 （3）

比較（2）式、（3）式，可得

■Xa（j？贅）ej？贅nTd？贅=■X（ej？棕）ej？棕nd？棕

將模擬角頻率？贅和數字角頻率？棕的關系？棕=？贅T帶入上式，得

■■Xaj■ej？棕nd？棕=■X（ej？棕）ej？棕nd？棕 （4）

為了分析Xa（j？贅）和X（ej？棕）關系，等式左右兩端的積分區間應一致，因此，將等式左端的積分區間分段

■■Xaj■ej？棕nd？棕=■■■Xaj■ej？棕nd？棕 （5）

令？棕→？棕+2rπ，并交換累加、積分次序有

■■Xaj■ej？棕nd？棕

=■■■Xaj■ej？棕nd？棕 （6）

對比式（4）、式（6），得到原連續時間信號xa（t）的頻譜Xa（j？贅）與離散時間信號的頻譜的關系為

X（ej？棕）=■■Xaj？贅+j■

即離散時間信號的頻譜是連續時間信號頻譜的周期延拓，周期是取樣角頻率？贅s=2π/T，幅度受？贅s=1/T加權。由于T是常數，所有除了一個常數因子外，每一個延拓的譜分量都和原頻譜相同。因此，只要各延拓分量與原頻譜分量不發生頻率上的重疊，則可以恢復出原信號，時域取樣定理得證。

思路二：間接法推導

教材中已經講解了連續時間信號xa（t）和它的取樣數據信號■a（t）=xa（t）δT（t）的頻域關系為

■a（j？贅）=■■Xa（j？贅-jk？贅s） （7）

通過頻譜的比較，證明■a（t）=xa（t）δT（t）所含信息量與離散時間信號x（n）=xa（nt）是等價的，證明如下：

■a（t）=xa（t）δT（t）的傅里葉變換，即頻譜為

■a（j？贅）=■xa（t）δT（t）ej？贅Tdt

=■■xa（nT）δ（t-nT）ej？贅Tdt

=■xa（nT）ej？贅nT （8）

x（n）=xa（nt）的離散傅里葉變換，即頻譜為

Xa（ej？棕）=δ■x（n）ej？棕n=■xa（nT）ej？棕n （9）

考慮到模擬角頻率？贅和數字角頻率？棕的關系？棕=？贅T，對照（8）、（9）有■a（j？贅）=X（ej？棕） （10）

證明了信號■a（t）=xa（t）δT（t）含有信息量與x（n）=xa（nt）是等價的。

將式（10）帶入式（7），可以得到原連續時間信號xa（t）的頻譜Xa（j？贅）與離散時間信號x（n）的頻譜X（ej？棕）的關系為

X（ej？棕）=■■Xa（j？贅-jk？贅s）

令k=-r，得到的結論與直接法一致。

四、結束語

本文針對目前高等院校普遍開設的“信號與系統”和“數字信號處理”課程，國內外經典教材對時域取樣定理的內容論述不夠清晰、理想沖激取樣過程物理意義不明確的問題，對時域取樣定理進行了深入的思考，提出了直接法和間接法兩種講解思路，教學實踐表明，對增強學生對該內容的理解，提高授課質量，有較強的針對性。

參考文獻：

[1]吳大正.信號與線性系統分析第四版[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]奧本海姆AV.信號與系統（英文版）第二版[M].北京：電子工業出版社，2009.

[3]鄭君里，應啟珩，楊為理.信號與系統第三版[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]程佩清.數字信號處理教程第三版[M].北京：清華大學出版社，2007.

[5]尹為民，歐陽華，錢美.數字信號處理[M].北京：機械工業出版社，2011.

[6]奧本海姆AV.數字信號處理[M].董士嘉，譯.北京：科學出版社，1975.

作者簡介：劉建寶（1978-）：男，講師，博士研究生，研究方向：檢測技術及自動化、電力電子與電力傳動。