普通高中生學習“圓錐曲線與方程”的常見問題與對策

摘要：圓錐曲線是高考的必考內容，在高考的考題中，以大題的形式出現，近年來都處于壓軸題的地位。同學們在學習這一內容時，普遍感到困難。常會出現不會恰當運用圓錐曲線的定義來解題；直線與圓錐曲線的問題的解題模式不夠熟練；不習慣結合幾何性質解題；對圓錐曲線與方程的一些綜合問題求解的“整體”意識不強；不會用特殊化解定值問題“等五方面的問題。

關鍵詞：圓錐曲線；整體；特殊化；定義；幾何性質

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2013）18-0090-03

普通高中的學生在學習高中數學選修2-1“圓錐曲線與方程”這一章時，常會有以下幾點常見問題。

一、不會恰當運用圓錐曲線的定義來解題

例如，人教A版《高中數學選修2-1》教材中的習題2.2A組的第1題：“如果點M（x，y）在運動的過程中，總滿足關系式■+■=10，點M的軌跡是什么曲線？為什么？請寫出它的方程。”

（一）常見的存在問題

在解該題的時候，絕大多數的同學都是從方程入手，對所給的方程兩邊平方、簡化、整理，最后花了大量的時間，經過大量的運算，才能得出曲線方程。而用這種方法時，又常常會因為計算能力的問題做不下去。

其實，只要利用所給方程式子右邊所反映的幾何意義，再結合橢圓的定義，很快就能求解。由題意可知，由于點M（x，y）是到兩個定點F1（0，-3）與F2（0，3）的距離之和等于定值10，且定值10大于兩定點的距離6，所以點M的軌跡是以F1（0，-3）與F2（0，3）為焦點，長軸長為的橢圓，因此它的軌跡方程為：■+■=1。

（二）存在問題的分析

由此可見，圓錐曲線的定義在這一章中的重要位置。可是很多同學對定義不夠重視。

再如，課本教材的習題2.2A組的第7題、課本習題2.3A組的第5題等，都是運用定義就可以簡化運算的題目，可以很多同學都不會恰當結合定義來解題。這種現象可能與教師在教學過程中過于重視講完定義后如何推導標準方程，而對變式理解定義不夠有關。

（三）解決問題的對策

教師在講授圓錐曲線的概念時，突出圓錐曲線定義的重要性，多點強調圓錐曲線的定義，多給出定義的變式練習。學生在解軌跡題時，首先要想到所求的點的軌跡是否滿足圓錐曲線的定義，多點從定義入手。將定義放到首要位置來考慮。

二、直線與圓錐曲線的問題的解題模式不夠熟練

（一）常見的存在問題

這類問題反映在直線與圓錐曲線的綜合題上，也是學生解題時經常見到的題目。例如：過橢圓■+■=1內一點M（2，1）引一條弦，使弦被M點平分，求這條弦所在直線的方程。

學生對解析幾何題的解題模式不夠熟練，不知從何入手，常常找不到突破口，對解析幾何題常感到困難。作業考試時，會出現交空白卷的。

（二）存在問題的分析

從解題思路上來說，解決直線與圓錐曲線問題的主要有兩種方法：

第一種方法是韋達定理，也是通法。因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程間關系問題，最終轉化為一元二次方程問題。將直線設為含斜率的方式比較好：若是已知直線過某些點（比如圓錐曲線的頂點、焦點、其他定點等）可以設為y-y0=k（x-x0），或是y=kx+b，但是設成這兩種形式都要考慮到直線斜率不存在的問題即x=x0，在解題中不妨先考慮這種情況，以免忘記。將直線方程與圓錐曲線方程聯立后，就是要利用已知條件找到參數與參數之間或是參數與已知量之間的關系，即結合圖形，分析已知和所求，將已知條件或圖形特征翻譯成等式或不等式，化簡解決。這時一般會用到韋達定理進行轉化，但應注意不要忽視判別式的作用。通法中有的時候需要用到對稱的技巧，如用-K代替K，得到對稱的式子，使問題得到解決。

第二種方法是設而不求法。解析幾何的運算中，常設一些量而并不解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設而不求法”。與弦的中點有關的問題，常用“點差法”，即設弦的兩個端點（x1，y2）、B（x1，y2），弦AB中點為M（x0，y0），將點A坐標代入圓錐曲線方程，作差后，產生弦的中點與弦斜率的關系，這是一種常見的“設而不求”法，這類題的計算量一般不大，在解題時可以使用一些小技巧簡化計算。

但是，在解有關直線和圓錐曲線的解答題時，學生總會感覺比較繁難，其原因主要是對這類解題模式的理解掌握不夠好，不知解題方向。

（三）解決問題的對策

教師在講解時，將此類題目的解題過程與步驟講得要透徹；學生在上課時要認真聽講，認真領悟與總結解題的過程與步驟，多做一些此類題目。

三、不習慣結合幾何性質解題

（一）常見的存在問題

例如：如圖，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則此拋物線的方程為___________。

學生解題時總是希望求出點的坐標，可是在用距離關系求點的坐標時，運算常會出錯。

（二）存在問題的分析

其實，若從圖形反映的平面幾何性質來考慮，只要發現，再結合拋物線的定義便可快速求解。

圓錐曲線的圖形是平面圖形，可是有的同學對平面幾何圖形的性質不夠熟練，或者是在解圓錐曲線題時，不會想起相關的三角形，平行四邊形等性質。

（三）解決問題的對策

圓錐曲線的圖形是平面圖形，圓錐曲線上的點可構成平面圖形。所以，對平面圖形中的三角形性質，平行四邊形性質，菱形的性質，正方形的性質等等平面幾何圖形的性質都可能要考慮到。教師在講題時，可提示學生考慮平面圖形的性質；學生平時訓練時，也要加強平面幾何圖形的意識。

四、對圓錐曲線與方程的一些綜合問題求解的“整體”意識不強

（一）常見的存在問題

例如：已知雙曲線■-y2=1的左、右頂點分別為A1，A2，點P（x1，y1），Q（x1，-y1）是雙曲線上不同的兩個動點。求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程；在解題時，學生的運算能力本來就不算強，尤其時在運算中也要體現整體思想時，學生更加不會。因此，很多同學雖然知道解題思路，但是不會算出結果。

（二）存在問題的分析

其實，本題中，只要在運算時運用整體思想，就可解決。

解：由A1，A2為雙曲線的左右頂點知，A1（-■，0），A2（■，0），A1P∶y=■（x+■），A2Q∶y=■（x-■），兩式相乘y2=■（x2-2），因為點P（x1，y1）在雙曲線上，所以■-y12=1，即■=■，故y2=-■（x2-2），所以■+y2=1，即直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程為■+y2=1。學生出現的問題是不會把■看成一個整體來求。

（三）解決問題的對策

在解圓錐曲線題時，常常在解題時用到整體思想來解方程，提高解題速度。同時加強整體思想的訓練。

五、不會用特殊化來解定值問題

（一）常見的存在問題

例如：已知圓的方程x2+y2=25，過M（-4，3）作直線MA、MB與圓交于點A，B，且MA，MB關于直線對稱y=3，則直線AB的斜率等于（？搖？搖 ）。

A.-■ B.-■ C.-■ D.-■

此題中，雖然點A，B關于直線對稱，但是由于A與B是圓上的任意點，所以感覺到不知如何下手。

方法一。用傳統的解法是：

依題意，直線MA與直線MB的斜率都存在，且互為相反數。設直線MA的斜率為k，則MB的斜率為-k，因為點M（-4，3），則直線MA方程為：y-3=k（x+4），直線MB的方程為：y-3=k（x+4）。

聯立直線MA與圓的方程，得方程組y-3=k（x+4）x2+y2=25，消去y得，（k2+1）x2+（8k2+6k）x+（16k2+24k-16）=0

設點A（x1，y1），且點M（-4，3），則有，x1+（-4）=-■，所以x1=-■………………①

同理，聯立直線MB與圓的方程，得方程組y-3=（-k）（x+4）x2+y2=25，消去y得，

（k2+1）x2+（8k2-6k）x+（16k2+24k-16）=0

設點B（x2，y2），且點M（-4，3），則有，x2+（-4）=-■，

所以，x2=-■……………②

因此，過點A（x1，y1）與B（x2，y2）的直線的斜率為：

kAB=■=■

=■

將①，②代入上式得，kAB=■=-■，所以答案為A選項。

（二）存在問題的分析

對于定值問題，可從特殊性（特殊位置，特殊值）來考慮。

方法二 用特殊思想巧解。

借助圖形可以看出，當A，B在圓上相關運動時（如圖1），直線AB的斜率保持不變（如圖2）。可以想象，當A與B兩點重合時，A，B點就是點M關于y的對稱點M'（4，3）（如圖3所示）。因此，直線AB就變為過點M'（4，3）做圓x2+y2=25的切線（如圖4所示）。

所以，kAB=-■=-■=-■。因此，選A。

（三）解決問題的對策

在解有關解析幾何的定值問題時，常用特殊法（包括特殊值、特殊位置等），來提高解題效率。

以上幾種都是學生的常見問題，需要通過題組形式加強訓練和形成基本的模式來解決。教師在平時應有意識地加強類似題的訓練，讓學生多做相關內容的題目。

參考文獻：

[1]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書《數學》（選修2-1）[M].人民教育出版社，A版，2007.