量綱法則在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

摘要：量綱法則是物理學(xué)研究中的重要方法之一。在研究諧振動(dòng)的問(wèn)題中，振幅、角頻率和相位三個(gè)特征量首先出現(xiàn)在微分方程的通解——諧振動(dòng)的表達(dá)式中，沒(méi)有直觀的物理意義。本文提出首先用簡(jiǎn)單的量綱法則確定三個(gè)特征量的量綱，再研究其物理意義的學(xué)習(xí)方法。

關(guān)鍵詞：理論力學(xué)；量綱分析；量綱法則；簡(jiǎn)諧振動(dòng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）03-0104-02

物理量的量綱（dimension of quantity）是用于表示一個(gè)物理量怎樣由基本量（包括這些量的冪次）組合的式子，是指該物理量單位的性質(zhì)或種類(lèi)，不表示該量的大小。在國(guó)際單位制中，確定了7個(gè)基本量：長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、電流、溫度、光強(qiáng)度和物質(zhì)的量，它們的量綱分別為L(zhǎng)、M、T、I、Θ、J和N，稱(chēng)為基本量綱。在此基礎(chǔ)上通過(guò)各種物理定律可得出其他導(dǎo)出量?；玖烤V是代表基本物理概念的量綱，它不涉及其他量就能直接說(shuō)明某物理量。導(dǎo)出量綱是由基本量綱組成，任何一個(gè)導(dǎo)出量Q的量綱dimQ均可用基本量綱的冪次積表示：[Q]=L■M■T■I■Θ■J■N■，其中x1、x2、x3、x4、x5、x6和x7稱(chēng)為量綱指數(shù)。量綱是研究物理問(wèn)題的重要方法之一。利用量綱可以定性地表示出物理量與基本量之間的關(guān)系；可以應(yīng)用它有效地進(jìn)行單位換算，可以用來(lái)檢驗(yàn)物理公式、方程的正確與否；特別是可以通過(guò)量綱分析法來(lái)推測(cè)某物理規(guī)律，為科學(xué)地組織實(shí)驗(yàn)過(guò)程、整理實(shí)驗(yàn)成果提供定性指導(dǎo)。如理想氣體的物態(tài)方程由量綱特征確定到可以只差一個(gè)常數(shù)，波意爾氣體族的物態(tài)方程族可由量綱特征完全確定。另外，通過(guò)單位和量綱，可以加深對(duì)物理基本概念、基本規(guī)律的理解，有助于對(duì)科學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)。量綱法則在簡(jiǎn)諧振動(dòng)教學(xué)中可以得到充分應(yīng)用和討論。在學(xué)習(xí)相對(duì)陌生物理量的過(guò)程中，尤其是在數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程中得出的一些未知量，如角頻率和相位，但從數(shù)學(xué)角度很難找出這些未知量的確切物理意義，這種情況下不妨首先分析這些未知量的量綱和單位，確定量綱對(duì)理解其物理意義會(huì)有積極的引導(dǎo)作用。

一、量綱分析基礎(chǔ)

1.量綱分析的齊次定理：凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須是一致的。①推論：必須是具備相同量綱的物理量，才可以相加減。②推論：量綱為1的數(shù)A，其量綱指數(shù)均為零。③推論：三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的宗量的量綱必為1。④推論：每個(gè)物理量與它的單位具有相同的量綱。

2.量綱分析的理論基礎(chǔ)-Π定理：設(shè)某物理問(wèn)題內(nèi)涉及n個(gè)物理量（包括物理常量）P1、P2…，Pn，而我們所選的單位制中有m個(gè)基本量（n>m），則由此可以組成n-m個(gè)無(wú)量綱的量Π1，Π2，…，Πn-m，P1P2…，Pn之間存在的函數(shù)關(guān)系：f（P1，P2...，Pn）=0?？杀磉_(dá)成無(wú)量綱的形式：F（Π1，Π2，…， Πn-m）=0。

二、量綱法則在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)不僅是解決物理問(wèn)題的工具，數(shù)學(xué)方法更是物理學(xué)的研究方法之一。在物理解題中，可以運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，將“物理模型”轉(zhuǎn)化成“數(shù)學(xué)模型”，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行求解或論證，再將數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問(wèn)題中進(jìn)行驗(yàn)證，完成物理問(wèn)題的求解。首先根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理模型確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的微分方程。簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單和最基本的振動(dòng)，任何復(fù)雜的振動(dòng)，都可以看成為許多簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件是：在任何時(shí)候所受到的力與質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移成正比，其指向與位移相反，始終指向平衡位置，對(duì)于彈簧振子，所受的力與位移的關(guān)系表示為F=-kx式中k為彈簧勁度系數(shù)。根據(jù)牛頓第二定律，簡(jiǎn)諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的微分方程寫(xiě)成m■+kx=0式中ω=■，這是一個(gè)二階常系數(shù)微分方程。其通解形式為：x=Acos（ωt+φ0），這是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是單從微分方程解的角度理解和研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)能得到的有用信息是很有限的，下面的問(wèn)題就是如何把微分方程通解中的數(shù)學(xué)量轉(zhuǎn)換成具有確切物理意義的特征量。首先，式中x表示振子離開(kāi)平衡位置的距離，所以其量綱應(yīng)為M，由量綱分析的齊次定理，明確了與之對(duì)應(yīng)的積分常數(shù)A的量綱亦為M，單位為m，且余弦函數(shù)絕對(duì)值不能大于1，所以振子的最大位移為A，稱(chēng)之為振幅。其次是ω的問(wèn)題，ω是在求解微分方程過(guò)程中定義的一個(gè)中間量ω=■，是為求解微分方程的方便做的一種純數(shù)學(xué)的代換技巧，不能看出其物理意義。因此不妨先分析一下ω的量綱：dimω=（LMT-2）■L■M■=T■，其中dimF=LMT-2得出ω的量綱是T■，量綱為T(mén)■的物理量有很多，例如頻率、角頻率、指數(shù)函數(shù)e-αt和對(duì)數(shù)函數(shù)ln（βt）中α、β的量綱都是T-1，但是在學(xué)生所熟知的物理量里面，量綱為T(mén)-1的物理量最先想到的應(yīng)該是頻率這個(gè)概念。根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期性規(guī)律：x=Acos[ω（t+T）+φ0]=Acos（ωt+φ0）得出ω=■，通過(guò)與頻率f=■的簡(jiǎn)單對(duì)比即可得出ω的物理意義，表示在2π秒內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)，此時(shí)就可以賦予ω一個(gè)名字了，叫角頻率，這樣處理就自然多了。若直接指出ω是角頻率，再解釋其物理意義，會(huì)略顯突兀，不利對(duì)其物理意義的理解。最后，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、速度方程和加速度方程可知，振動(dòng)物體在任何時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（指位移、速度和加速度）都由（ωt+φ0）決定，振幅和相位一起體現(xiàn)了振動(dòng)的完整信息，因此相位在表征振子振動(dòng)狀態(tài)的地位與振幅是同等重要的，但是相位的概念比較抽象，不像振幅那樣的直觀，所以對(duì)相位的理解要比振幅困難得多。相位（ωt+φ0）是振動(dòng)與波動(dòng)問(wèn)題中的一個(gè)重要概念。相位是決定諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，形式上（ωt+φ0）是三角函數(shù)的宗量，而由量綱分析齊次定理的推論3，三角函數(shù)宗量的量綱為1，平面角和雷諾數(shù)等等都是綱量為1的量，學(xué)生熟悉的只有平面角了，這樣為理解兩個(gè)諧振動(dòng)中相位的“超前”與“落后”提供了幫助，也為學(xué)習(xí)振動(dòng)的合成以及波動(dòng)問(wèn)題打下基礎(chǔ)。在諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法中相位也被直接等效為振幅矢量與坐標(biāo)軸的夾角，利用旋轉(zhuǎn)矢量圖，還可以很容易地表示兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位差，因此，明確相位量綱為1，對(duì)掌握旋轉(zhuǎn)矢量圖示法也具有很好的輔助作用，可以幫助理解數(shù)學(xué)方法和旋轉(zhuǎn)矢量圖示法在解決振動(dòng)問(wèn)題中的統(tǒng)一性問(wèn)題。最后需要指出的是，量綱法則為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的課堂學(xué)習(xí)提供了很大幫助，但是物理教學(xué)的最后還是要回到物理概念上來(lái)，ω是圓頻率、相位是平面角的本質(zhì)并不是來(lái)自它們的量綱，而是來(lái)自簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式。

首先確定物理量的量綱，在理解某個(gè)物理量時(shí)就有了方向性，比如角頻率和相位的概念是陌生的，但頻率和角度的概念卻是熟悉的，這樣對(duì)概念的理解和認(rèn)知效果必定是深刻的，這種方法在其他物理內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中也具有很好的借鑒意義。

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基金項(xiàng)目：此項(xiàng)目受?chē)?guó)家自然科學(xué)基金資助，項(xiàng)目編號(hào)：11274187（基于光學(xué)超晶格中單通級(jí)聯(lián)的非線(xiàn)性過(guò)程制備多色連續(xù)變量糾纏光場(chǎng)的研究），負(fù)責(zé)人：俞友賓

作者簡(jiǎn)介：王懷軍（1981-），男，浙江寧波人，講師，博士，研究生講師，研究方向：光學(xué)設(shè)計(jì)，強(qiáng)激光防護(hù)、微納光學(xué)。