例談構建民主、平等的數學課堂

教學是師生雙邊的活動，應以學生為主體，教師為主導.體現民主、平等的數學課堂教學是開放式的教學，它不限于教師講，學生聽，還可以在師生之間、學生之間，相互啟發(fā)和交流，師生完全處于平等的地位.讓學生參與揭示知識發(fā)生的全過程，讓學生參與例題分析、數學思想方法總結的全過程，教師要給學生創(chuàng)設一種有利于創(chuàng)新的民主教學氛圍，積極引導學生多角度、多方位、多層次地思考問題，有效地培養(yǎng)學生的思維能力.

下面是筆者的兩個課堂教學情景：

教學情景一：

例1：已知α是三角形的內角，且sinα+cosα=■，求tan α的值.

教師：請同學們結合前面所學的三角知識，積極思考如何解決這個問題，各抒己見.

學生1：我們聯立方程sinα+cosα=■ ①sin2α+cos2α=1 ② 求出sinα和cosα，從而求出tanα.

教師：這個方法好不好？

學生2：好是好，但就是計算量很大，有一點麻煩.

教師：計算量很大嗎？大家試試！

幾分鐘后學生就計算出結果.

學生3：老師，沒有想象中那么難算，我們由①得cosα=■ -sinα，將其代入②，整理得25sin2α-5sinα-12=0.

∵α是三角形的內角，∴sinα>0

∴sinα=■cosα=-■ ，∴tanα=-■.

教師：回答得太好了，很多時候，我們要親自體驗后才能下結論，同學1的解法思路很簡單，計算有點“麻煩”（學生笑了），那我們還有更好的方法嗎？

學生4：老師，前面我們學過sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα這三個式子，已知其中一個式子的值，可以求出另外的兩個式子，故我們可以由sinα+cosα=■，求出sinα-cosα的值來，再聯立方程解出sinα和cosα，從而求出tanα.

教師：思路不錯，大家動手試試！

幾分鐘后……

學生5：老師，我的計算結果跟前面方法的結果不一樣，不知錯在哪？

教師：說來聽聽，我們一起探討一下！

學生5：∵sinα+cosα=■，① ∴（sinα+cosα）2=（■）2

即1+2sinαcosα=■， ∴2sinαcosα=-■，

∴（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=1+■=■.

∴sinα-cosα=±■，②

這樣由①②就會求出兩組解來，不知錯在哪？

教師：大家覺得錯在哪？

學生6：老師，他的解法其實沒錯，解出來兩組解，其中一組解因為α是三角形內角，故sinα>0，舍去一組得sinα=■cosα=-■ ∴tanα=-■.

教師：非常好，我們要勇敢地算下去，就會柳暗花明又一村！還有其他解法嗎？

學生7：還有，∵sinαcosα= -■<0且0<α<π，

∴sinα>0，cosα<0，

∴sinα-cosα>0，

∴sinα-cosα=■，

由sinα+cosα=■ sinα-cosα=■

得sinα=■cosα=-■

∴tanα=-■.

教師：太妙了！通過挖掘隱含條件sinαcosα=-■<0得到sinα-cosα=■，看來我們要有發(fā)現美的眼晴，還有不同的想法嗎？

學生又陷入了積極的思考和討論中……

教學情景二：

例2：若函數f （x）=loga （x2-ax+3）（a>0且a≠1）滿足對任意的x1、x2，當x10，則實數a的取值范圍為_____.

教師：學生8，請你幫我們分析一下解題思路.

學生8：老師，我不會……

教師：是嗎？相信自己，可以的！不信跟著老師來分析分析，好嗎？

學生8：好的……

其他學生自動給予掌聲鼓勵.

教師：“對任意的x1、x2，當x10”，這是什么意思？

學生8：說明函數 f（x）在區(qū)間-∞，■上是減函數.

教師：非常好！ f（x）=loga （x2-ax+3）是復合函數嗎？如果是，可以看成是由哪兩個函數復合而成的函數？

學生8：是由u=x2-ax+3和y=logau復合而成的復合函數.

教師：他們的單調性怎么確定呢？

學生8：u=x2-ax+3在-∞，■上是減函數.

教師：那函數y=logau呢？

學生8：由復合函數的單調性知函數y=logau在定義域內單調遞增.哦！老師，我知道了！所以要求a>1，故實數a的取值范圍為a>1！（很興奮）

教師：同學們說說，結果正確嗎？

大部分學生表示結果正確.

教師：剛才學生8表現得非常好，但還有誰有不同的意見嗎？

學生9：老師，還要考慮-∞，■是否在定義域內.

教師：不錯！請接著說……

學生9：定義域要求u=x2-ax+3>0，即umin>0，

又∵u=x2-ax+3在-∞，■上是減函數，

∴umin=u（■）=（■）2-■+3=-■+3>0，

∴-2■

又∵a>1

∴a實數的取值范圍為1

教師：太漂亮了！我們考慮單調性的同時不要忽略定義域.

課室里又響起了掌聲……

兩個教學情景充分暴露了學生的思維過程，鼓勵、引導學生自己發(fā)現問題、解決問題，主動參與，由“嘗試成功”逐步進入“自主成功”.課后學生反饋這種形式的數學課堂是他們喜愛的、高效的數學課堂.

在充滿民主、平等的數學課堂中，學生有足夠的機會充分披露靈性、展示個性，優(yōu)等生得到提高，后進生受到帶動，雙方相互配合，相互啟迪，相得益彰.

責任編輯 羅峰