基于數(shù)學(xué)建模視角的教學(xué)演繹

【摘 要】智慧是生命成長(zhǎng)的目標(biāo)，數(shù)學(xué)建模作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)智慧的生長(zhǎng)具有非凡的意義。綜觀時(shí)下的數(shù)學(xué)課堂，存在著忽視從建模視角來(lái)組織教學(xué)的現(xiàn)象。在本文中，筆者嘗試運(yùn)用建模思想來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究，從概念教學(xué)、計(jì)算教學(xué)以及解決問題教學(xué)等層面初步構(gòu)建利于學(xué)生形成模型思想、生成數(shù)學(xué)智慧的課堂教學(xué)體系。

【關(guān)鍵詞】建模思想 教學(xué)演繹 概念 計(jì)算 解決問題

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的基本途徑”。而“就許多小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，本身就是一種數(shù)學(xué)模型……我們每堂數(shù)學(xué)課都在建立數(shù)學(xué)模型”（張奠宙）。這就要求教師能自覺運(yùn)用建模思想來(lái)指導(dǎo)課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主的“意義建?！钡倪^程，從中感悟數(shù)學(xué)的思想與方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)智慧的生成與積淀。但在當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的實(shí)踐中，數(shù)學(xué)建模教學(xué)并未引起廣大教師的重視，導(dǎo)致模型思想的滲透沒有取得盡如人意的效果。

數(shù)學(xué)就其本質(zhì)而言，就是在不斷抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來(lái)的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“建?！钡囊饬x上，才真正走進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“腹地”。基于建模視角展開數(shù)學(xué)教學(xué)，教師們首先要善于對(duì)熟悉的內(nèi)容進(jìn)行“陌生化”審視，用建模思想來(lái)觀照數(shù)學(xué)的概念、命題、方法等，發(fā)現(xiàn)其中的“模型”因子。概念、計(jì)算和解決問題構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主體部分。下面，筆者結(jié)合有關(guān)課例就基于數(shù)學(xué)建模視角的課堂踐行談?wù)勛约旱奶剿髋c思考。

一、數(shù)學(xué)概念教學(xué)：前后溝聯(lián)，尋找原型，達(dá)成知識(shí)建構(gòu)的系統(tǒng)性

《常見的數(shù)量關(guān)系》（路程、時(shí)間、速度）教學(xué)片段：

師：聯(lián)系二年級(jí)時(shí)認(rèn)識(shí)的乘法和除法，想一想：為什么速度×?xí)r間=路程，要用乘法？

生：速度表示一份有多少，時(shí)間就是有幾份，乘起來(lái)表示總共有多少，就得到路程。

師：路程÷時(shí)間=速度、路程÷速度=時(shí)間為什么用除法呢？

生：因?yàn)橛贸ū硎究倲?shù)除以份數(shù)等于每份數(shù)，也表示總數(shù)除以每份數(shù)等于有份數(shù)。

課件呈現(xiàn)：□×□=□ □÷□=□ □÷□=□

師：熟悉吧！這“一乘兩除”該怎么填空呢？

生：4乘3等于12，12除以4等于3，12除以3等于4。

師：這三個(gè)數(shù)據(jù)里面，哪個(gè)數(shù)據(jù)相當(dāng)于速度？

生：是4。

師：4表示每份，那3和12又分別相當(dāng)于什么呢？

生：3是時(shí)間，12是路程。

課件呈現(xiàn)： 墻面圖

師：這面墻有多長(zhǎng)，我們可以只看第一排，其中一塊磚的長(zhǎng)度就相當(dāng)于什么？

生：一份，就好比速度。

師：那什么相當(dāng)于時(shí)間呢？

生：這一排有幾塊。

師：這面墻的長(zhǎng)度相當(dāng)于什么？

生：路程。

師：這樣一組數(shù)量關(guān)系就是我們學(xué)過的乘除法的一種情況。還有哪些數(shù)量也是“一乘兩除”的關(guān)系……

教師通過精妙的設(shè)問，巧妙地將速度、時(shí)間和路程之間的關(guān)系與已學(xué)的乘除法知識(shí)勾連起來(lái)，為“數(shù)量關(guān)系”找到了更具統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)原型，即“一乘兩除”，并通過組織細(xì)致的類比、抽象等思維活動(dòng)，讓學(xué)生真切地意識(shí)到，“數(shù)量關(guān)系”就是二年級(jí)學(xué)習(xí)的乘除法之間關(guān)系的一種具體表現(xiàn)，其實(shí)也是一種數(shù)學(xué)模型。至此，學(xué)生順利完成了對(duì)于“數(shù)量關(guān)系”的“意義建?！?。但教師并未就此罷手，為了讓學(xué)生對(duì)此類模型的感受更深刻，教師又繼續(xù)呈現(xiàn)生活中的現(xiàn)實(shí)素材和已學(xué)的習(xí)題題材，引導(dǎo)學(xué)生理解它們與模型之間的關(guān)系，自然而然地拓展了模型的外延，做到了前引后伸，幫助學(xué)生成功尋找到了所學(xué)知識(shí)在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的嵌入節(jié)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的塊狀編碼與結(jié)構(gòu)化。

二、計(jì)算教學(xué)：提出假設(shè)，驗(yàn)證猜想，體現(xiàn)法則生成的探究性

《分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘》教學(xué)片段：

教師創(chuàng)設(shè)“一個(gè)分?jǐn)?shù)與整數(shù)怎么乘才能算出正確得數(shù)”的問題情境，誘發(fā)學(xué)生對(duì)計(jì)算方法提出了三種模型假設(shè)，并組織學(xué)生進(jìn)行分析與推論，從中甄選出合理的假設(shè)，即“分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘，整數(shù)與分子相乘的積作分子，分母不變”，由此邁出了算法探究的關(guān)鍵一步，這其中充滿了探索與創(chuàng)造，能有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力。提出合理的假設(shè)后，讓學(xué)生自主選擇方法進(jìn)行驗(yàn)證，再組織全班交流、分享驗(yàn)證的過程和成果，體會(huì)驗(yàn)證方法的多樣化。學(xué)生真正經(jīng)歷了“猜想——驗(yàn)證”的“類科學(xué)研究”過程。由于計(jì)算方法不是教師直白式的“告訴”，而是學(xué)生自主研究的成果，因此，計(jì)算方法的模型也就能牢牢地系在認(rèn)知的錨樁上。同時(shí)，學(xué)生獨(dú)立思考鉆研的習(xí)慣和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度也得到了培養(yǎng)和積淀。

三、解決問題教學(xué)：變式拓展，豐富內(nèi)涵，感受策略應(yīng)用的廣泛性

《梯形的面積計(jì)算》活動(dòng)課教學(xué)片段：

教師組織學(xué)生經(jīng)過如下圖所示的演示，探究出了問題“原先的一面墻共有磚多少塊？”的簡(jiǎn)便列式：（3+8）×6÷2=33（塊）。

師：“3”“8”“6”分別指這面墻的什么？為什么還要除以2呢？

（學(xué)生回答后，教師板書：（最上層塊數(shù)+最下層塊數(shù)）×層數(shù)÷2。）

師：這樣列式，像哪個(gè)圖形的面積計(jì)算方法？

生：梯形。

師：對(duì)！堆放的橫截面近似梯形，且每?jī)蓪游矬w個(gè)數(shù)的差都相等。這里最上層塊數(shù)、最下層塊數(shù)和層數(shù)其實(shí)就相當(dāng)于梯形的——

生：上底、下底和高。

課件出示：一只掛鐘，一點(diǎn)鐘敲一下……十二點(diǎn)鐘敲十二下，從一點(diǎn)到十二點(diǎn)共敲了多少下？

師：求鐘擺敲的下數(shù)，看起來(lái)好像有點(diǎn)繁瑣呢！

生：我覺得這與墻面用磚塊數(shù)問題還差不多，（該生走到黑板前邊畫點(diǎn)演示邊繼續(xù)講）敲一下畫一塊磚，敲十二下畫十二塊磚。

師：真不簡(jiǎn)單，善于借助圖形來(lái)轉(zhuǎn)化，把鐘擺敲的下數(shù)問題一下子就轉(zhuǎn)換成了墻面磚塊問題。同學(xué)們能算出共敲了多少下嗎？

（學(xué)生練習(xí)，教師巡視指導(dǎo)。）

師：現(xiàn)在看來(lái)，墻面用磚塊數(shù)的問題換成求鐘擺敲的下數(shù)的問題，仍然可以“套用”磚塊數(shù)的列式來(lái)計(jì)算，歸根到底，用磚塊數(shù)的問題其實(shí)就是解答這類問題的一個(gè)模型。

在“磚塊”問題研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合“鐘面”這個(gè)不同情境的變式呈現(xiàn)，使學(xué)生強(qiáng)烈感知到“磚塊”問題只是一個(gè)“模型”。雖然情境在不斷變化，但問題的實(shí)質(zhì)，也即數(shù)量之間的內(nèi)在關(guān)系是不變的。學(xué)生在解讀、研究、解決問題的過程中，逐漸形成了關(guān)于此類問題的解題方法。引導(dǎo)學(xué)生“建模”的過程也不是“一竿到底”的，而是遵循了“拾級(jí)而上”的原則，讓學(xué)生在“逐級(jí)登攀”中運(yùn)用類比、抽象、概括等思維方法，漸進(jìn)地對(duì)“模型”的本質(zhì)與外延有了系統(tǒng)認(rèn)識(shí)。值得一提的是，有學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想，把“鐘擺”問題進(jìn)行提煉、轉(zhuǎn)化為“磚塊”問題，展現(xiàn)了“數(shù)學(xué)建?！钡倪^程，于潛移默化中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)建模”的手段和方法也有所體悟?？梢源_切地說(shuō)，學(xué)生以后再遇到類似問題時(shí)，一定能從認(rèn)知倉(cāng)庫(kù)中準(zhǔn)確清晰地提取出已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型，有效迅速地解決問題。

用“建?！彼枷胫笇?dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅僅是為了獲得數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)結(jié)論，而是要幫助學(xué)生從系統(tǒng)化的角度更準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界，更為重要的是讓學(xué)生有效經(jīng)歷自主“知識(shí)建構(gòu)”的過程，同時(shí)養(yǎng)成自覺地“模型化”處理數(shù)學(xué)問題的思維習(xí)慣與數(shù)學(xué)觀念，真正感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力，成長(zhǎng)為富于數(shù)學(xué)智慧的人。這，應(yīng)該就是數(shù)學(xué)教學(xué)的理想狀態(tài)與至高境界吧！

注：本文獲2012年江蘇省“教海探航”征文一等獎(jiǎng)

（作者單位：江蘇省海安縣曲塘鎮(zhèn)中心小學(xué)）