如何認(rèn)識《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的三重聯(lián)系

【摘 要】針對2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出的“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系……”這一課程目標(biāo)，本文運用教學(xué)實例較為詳細(xì)地討論了“如何正確地認(rèn)識三重聯(lián)系”這一問題，并明確指出：應(yīng)在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中運用準(zhǔn)變量（表達(dá)式）；應(yīng)在聯(lián)系其他學(xué)科時注意避免“數(shù)學(xué)的喪失”；應(yīng)在聯(lián)系生活時注意區(qū)分“數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用”與“數(shù)學(xué)知識的鞏固”。

【關(guān)鍵詞】義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 三重聯(lián)系 小數(shù)教學(xué)

2001年版的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》提出了“體會數(shù)學(xué)與自然及人類社會的密切聯(lián)系……”[1]這一總體目標(biāo)，10年后的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》更為明確地提出了“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系……”[2]這一總體目標(biāo)。那么，我們該如何認(rèn)識這三重聯(lián)系呢？在本文中，筆者將結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐來談?wù)勛约簩@三重聯(lián)系的認(rèn)識，以期望能夠引起人們的重視，并激發(fā)小學(xué)數(shù)學(xué)教育界的相關(guān)研究熱情。

一、數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系

就現(xiàn)實而言，小學(xué)數(shù)學(xué)包括“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四部分內(nèi)容，它們之間的相互聯(lián)系的重要性自不待言。但是，我們卻往往忽視了其各自內(nèi)在的聯(lián)系。譬如，“數(shù)與代數(shù)”中的“數(shù)”與“代數(shù)”之間究竟是如何聯(lián)系在一起的？這不僅需要我們從數(shù)學(xué)本身來思考，更需要我們從學(xué)生學(xué)習(xí)與教師教學(xué)的視角來分析。

就數(shù)學(xué)發(fā)展而言，算術(shù)（主要是指數(shù)尤其是整數(shù)甚至有理數(shù)[3]及其運算）的發(fā)展要早于代數(shù)，而且代數(shù)的學(xué)習(xí)相比于算術(shù)的學(xué)習(xí)需要更高的智力。但是，時至今日，當(dāng)我們把數(shù)與代數(shù)合稱為“數(shù)與代數(shù)”時就不能僅僅局限于其歷史發(fā)展上的割裂，而應(yīng)探討其“內(nèi)在可能的”關(guān)聯(lián)。其實，算術(shù)可以視為“關(guān)于數(shù)的代數(shù)”，而代數(shù)則可看作“關(guān)于字母的算術(shù)”，其間的基本運算不外乎加、減、乘、除，甚至乘方與開方、絕對值等及其運算規(guī)律。

就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)而言，我們還需要“教學(xué)法的思量”。算術(shù)學(xué)習(xí)是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，但是，算術(shù)的思維卻與代數(shù)的思維有著本質(zhì)的不同：前者主要是程序思維，而后者則主要是關(guān)系思維；算術(shù)主要是由程序思維來刻畫的，也即，算術(shù)程序思維的核心是獲取一個（正確的）答案，以及確定獲取這個答案與驗證這個答案是否正確的方法；而代數(shù)思維則是由關(guān)系或結(jié)構(gòu)來描述的，它的目的是發(fā)現(xiàn)（一般化的）關(guān)系、明確結(jié)構(gòu)，并把它們連接起來。那么，我們應(yīng)該如何從數(shù)學(xué)本身出發(fā)，并為學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)考慮，來設(shè)計數(shù)與代數(shù)之間的關(guān)聯(lián)呢？

算術(shù)中的準(zhǔn)變量（表達(dá)式）可能就是這樣一種關(guān)聯(lián)。而在我們運用準(zhǔn)變量這一概念時就意味著：一個或一組數(shù)字語句，它（們）蘊涵著一個潛在的數(shù)學(xué)關(guān)系，在這種關(guān)系中，不管它所包含的數(shù)字是什么，這（些）語句都是真的。譬如，62-38+38=62、53-71+71=53（這兩個等式蘊含著這樣一個代數(shù)關(guān)系式：a-b+b=a），32-5=32+5-10、63-7=63+3-10（這兩個等式也蘊含著一個相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式：知道是什么嗎？），34-28=（30-20）-（8-4）（這類等式也蘊含著一個相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式：能寫出來嗎？），2000-1987=1999-1986、2001-1987=1999-1985（這類等式所蘊含的代數(shù)關(guān)系式是什么？）……

其實，我們在教授學(xué)生用計算器時也能夠運用算術(shù)中的準(zhǔn)變量表達(dá)式來幫助學(xué)生靈活地掌握與運用計算器來解決問題。譬如，我們可以設(shè)計這樣的問題情境，以“逼迫”學(xué)生運用準(zhǔn)變量思維：請用計算器（其中的數(shù)字鍵“7”壞了）來解答如下這些計算題：（1）727+217，（2）371-277，（3）869×271，（4）779÷271。

由此可見，只要小學(xué)數(shù)學(xué)教師有一雙代數(shù)的眼睛（善于觀察算術(shù)中潛在的一般關(guān)系或形式）與一副代數(shù)的耳朵（善于傾聽學(xué)生的思考），我們就可以在算術(shù)中教授學(xué)生代數(shù)——“數(shù)與代數(shù)”也就名至實歸了。不僅如此，這將更有助于我們降低或排除學(xué)生在初中（較為系統(tǒng)地）學(xué)習(xí)代數(shù)時的困難甚至障礙。

二、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系

在小學(xué)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系當(dāng)中，數(shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系最為緊密，尤其是在“數(shù)與量的關(guān)系”當(dāng)中這種聯(lián)系則顯得更為明顯。譬如，在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”當(dāng)中就蘊含著“數(shù)與量的關(guān)系”，因而也就隱含了“數(shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系”。但是，在我們的教學(xué)實踐當(dāng)中，由于過于強(qiáng)調(diào)對分?jǐn)?shù)的“初步認(rèn)識”而往往忽視了“數(shù)與量的區(qū)分”，并因此以喪失“數(shù)的意味”為前提而著力關(guān)注于“量的含義”。

具體而言，我們可以“■的認(rèn)識”為例。在不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，大多都是把某一具體的物件（譬如，月餅或圓形紙片、正方形或長方形紙片）平均分為兩份，并因此而把其中的一份記為■個（物件，教學(xué)實踐中，這一物件都具體地指稱為上述月餅等）。但是，當(dāng)課堂上有學(xué)生指出：“老師，半個正方形和半個長方形好像不一樣大，為什么都用‘■’來表示呢？”每到此時遇此事，老師們都會強(qiáng)調(diào)指出：“這里的‘■’后面都有一個具體的物件，譬如，正方形或長方形，而‘■’只是表示其中的‘一份’。所以，‘■’可以表示把不同或任何物件平均分成兩份之后的‘一份’。”而不遇此事的任何時刻，老師們一般都不會如此強(qiáng)調(diào)。因為這種強(qiáng)調(diào)對于三年級的小學(xué)生而言猶如“成人的文字游戲”——無聊而晦澀難懂！問題是，不僅如此，更為關(guān)鍵的是我們這里所強(qiáng)調(diào)的可能還并不是數(shù)“■”的“數(shù)學(xué)意味”，而是其“量的含義”（即科學(xué)也是日常生活中的含義）。

那么，我們到底該如何來教授三年級小學(xué)生初步認(rèn)識“■”卻又不脫離其生活或科學(xué)常識呢？

這種數(shù)學(xué)概念的獲得顯然屬于“概念形成”。在數(shù)學(xué)概念的形成過程中，結(jié)合學(xué)生已有的生活實際和學(xué)習(xí)經(jīng)驗是值得肯定和鼓勵的，但如何從這些“感性材料”形成表象，再從表象歸納、抽象、概括出所教授的數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵則需要在具體的教學(xué)活動中來把握。首先，我們在引導(dǎo)學(xué)生用“■”來表示“半圓（面積）”“一個長方形的一半（周長）”“一塊月餅的一半（重量）”“10根小棒的一半（數(shù)量）”“一分米的一半（長度）”等時，似乎應(yīng)該明確“區(qū)分”這里的“■”是不一樣的，也就是說這里的“■”是“不同的量”，而非“不同的數(shù)”，即我們通常所謂的“分?jǐn)?shù)的意義”。這樣，我們就形成了關(guān)于單位分?jǐn)?shù)“■”的意義之“不同又相同的”表象，即“某個具體量的一半”（量在變化，數(shù)卻沒有變，即“一份與兩份之間的關(guān)系”不變）。其次，我們再分析、歸納這“不同又相同的”表象中的“不同中的相同”，舍棄其“不同”：量的不同，抽象、概括出其中的“相同”：數(shù)的相同，即“某個抽象的量的一半”或“單位整體的一半”（這里的“單位整體”不是某個具體的單位整體，而是沒有具體單位的“單位整體”或者說就是“1”）。再次，在得出“■”等單位分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵之后再回過頭去體會那“不同中的相同”和“相同中的不同”，我們還會形成更高層次的表象——數(shù)“■”的表象。最后，我們在做上述教學(xué)活動安排時都應(yīng)把單位分?jǐn)?shù)植入“分?jǐn)?shù)的概念框架”和“數(shù)的概念框架”之中來展開。上述內(nèi)容是安排在小學(xué)三至六年級的，因此，三年級至少可以教授至第一步（完成進(jìn)行式），而非第一步的未完成式。

此外，我們現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)大多會使用多媒體，但使用水平大多停留在對PPT的運用上：教材中問題情景、例題與練習(xí)的圖片再現(xiàn)，省卻了教師板書的辛勞，但卻很少使用教材。其實，如果運用好了其教學(xué)效果肯定會比傳統(tǒng)的“黑板加板書”的教學(xué)方法好。譬如，就上述“■的認(rèn)識”而言，如果我們能夠設(shè)計出如下的動態(tài)變化過程：一根孫悟空使用的金箍棒，依據(jù)其長度平均分成兩部分，上端部分涂以紅色，下端部分涂以藍(lán)色（總之，顏色反差不能太小），與此同時，教師可以通過“操控”來隨意地改變金箍棒的位置與整體大小，可快可慢，但顏色及其分配不變，并讓學(xué)生在仔細(xì)觀察的過程中來思考：這里變化的是什么？不變的又是什么？教師可在學(xué)生的回答與討論中幫助他們概括、抽象出如下的結(jié)論：不論金箍棒的位置如何變化，也不論金箍棒的整體大小如何變化，它們都被平均分成了兩個部分（即紅色部分與藍(lán)色部分）；就整個金箍棒而言，其中的一個部分與兩個部分的關(guān)系也沒有任何變化——其實，這就是我們要認(rèn)識的“■”。隨后，我們可以運用其他物件來代替“金箍棒”，并重復(fù)上述過程，以表明各種變化中的“不變”仍然是我們要認(rèn)識的“■”。如此的教學(xué)設(shè)計肯定會達(dá)成我們上面所描述的“對分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的“完成進(jìn)行式”。

不僅如此，這里其實還存在著更多的數(shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別。譬如，“科學(xué)中的平均分”似乎都是會有誤差的，而“數(shù)學(xué)中的平均分”是絕對不容許有任何誤差的。那么，如何進(jìn)行“數(shù)學(xué)的平均分”呢？其實，沒有任何具體現(xiàn)實的辦法——這是科學(xué)的問題，只有在大腦中理想化、抽象化、形式化地平均分——這是數(shù)學(xué)思考的方式方法。因此，“過程與方法”目標(biāo)的達(dá)成就必須通過這種“數(shù)學(xué)思考”，而非僅僅是“科學(xué)思考”所能夠完成的。

三、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系

盡管近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展給人們的印象是“越來越遠(yuǎn)離我們的生活”，但是，數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展無時無刻不與我們的生活緊密相連。而小學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)基本上都屬于“初等數(shù)學(xué)”的范疇，毫無例外地都與我們的生活聯(lián)系緊密。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)中聯(lián)系孩子們的生活來開展教學(xué)活動是自然而然的事情。但是，現(xiàn)實中卻經(jīng)常會出現(xiàn)“把成人過時的經(jīng)驗當(dāng)成當(dāng)下孩子們的經(jīng)驗”以及不能區(qū)分“聯(lián)系生活的數(shù)學(xué)運用與知識鞏固”等問題。

譬如，老師在教授完一年級小學(xué)生“十加幾等于十幾”之后，布置了這樣一道練習(xí)題：一位小學(xué)老師帶領(lǐng)10名小朋友去公園游玩，請問需要買幾張門票？現(xiàn)實課堂中，有位小學(xué)生回答道：“10張?！倍蠋焺t依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)答案（11張，實為參考答案）判為“錯誤”。事后，我們通過詢問該學(xué)生“你是怎么想的？”獲悉：他上幼兒園時，老師曾帶領(lǐng)他們?nèi)ス珗@游玩，而老師當(dāng)時并不需要買票。由此可見，該老師在評判學(xué)生的回答時已經(jīng)錯把“自己的經(jīng)驗”（抑或編寫參考答案者的經(jīng)驗）當(dāng)成了孩子的經(jīng)驗。因此，我們不僅要糾正此類錯誤，更為重要的是我們要思考這樣的問題：我們到底應(yīng)該如何運用此類問題來幫助孩子們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？

事實上，這里存在著一個教學(xué)目的的確定與選擇問題。首先，這類問題的教學(xué)運用存在著兩個不同的目的。如果我們想要運用孩子們的生活經(jīng)驗來幫助他們鞏固所學(xué)習(xí)的“十加幾等于十幾”這一數(shù)學(xué)知識，那么我們該怎樣設(shè)計此類問題及其參考答案呢？如果我們意欲引導(dǎo)學(xué)生運用“十加幾等于十幾”這一數(shù)學(xué)知識來解決或解釋他們生活中的經(jīng)驗問題或事件，那么我們又該如何設(shè)計此類問題及其解答方式呢？其次，不同教學(xué)目的的確定與選擇則決定了問題設(shè)計的不同。

如果我們選擇了后者，那么原來的問題就很好，只是我們不會也不可能有唯一的參考答案，更不可能會有唯一的標(biāo)準(zhǔn)答案。而如果我們再讓學(xué)生說說自己的親身經(jīng)歷就更好了——學(xué)生的經(jīng)驗就是最好的教學(xué)資源之一；如果再把學(xué)生們的不同回答（譬如，“不需要買一張門票，因為我們那里的公園都免費！”“關(guān)鍵是要看你想去哪里的公園游玩，因為好像有些公園是免費的，而有些公園則是要門票的?！薄昂孟裎覀冇行┩瑢W(xué)的個子不是很高，是不是可以買半票呀？”……）引入課堂討論，那么“教學(xué)的教育價值”就會得到更好的彰顯——學(xué)生的相同或不同經(jīng)驗可以讓同學(xué)們體會到差異的客觀存在及其主觀感受。如果我們選擇了前者，那么我們就要想一想：我們真的懂孩子們嗎？我們?nèi)绾尾拍軌蛑?、了解甚至熟悉孩子們?dāng)下的生活經(jīng)驗？在我們熟悉孩子們當(dāng)下的生活經(jīng)驗之后又該如何設(shè)計聯(lián)系這些經(jīng)驗的問題（情境），以幫助他們鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識呢？還是以上述“十加幾等于十幾”為例，我們可以從孩子們經(jīng)常收集的卡片或玩耍的游戲入手。譬如，我們可以編制這樣一道題目：小學(xué)生小明現(xiàn)在（或本周前）有某種卡片10張，由于其本周表現(xiàn)都很好，母親每天都給他買一張，請問：本周五之前他有幾張卡片？本周三之前呢……這樣，就很有可能將有助于我們達(dá)成當(dāng)初所確定與選擇的教學(xué)目的，而避免甚至不會出現(xiàn)最初的“誤判”。

因此，“體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系”這句話很簡單，但是要把它運用得恰到好處卻并不是一件容易的事情，它需要我們真心地對待每一位孩子、數(shù)學(xué)與我們自己。

當(dāng)然，對這三重聯(lián)系的正確認(rèn)識與教學(xué)運用應(yīng)以學(xué)生獲取“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”[4]為前提，以學(xué)生“運用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”[5]為追求。

【注釋】

[1]教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001：6.

[2][4][5]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011：8.

[3]“課標(biāo)”中的分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、百分比和比例等均是“有理數(shù)”的不同表達(dá)方式或表現(xiàn)形式。

（作者單位：南京師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所）