數學教學中如何滲透“數形結合”思想

【摘 要】在解決數學問題時，根據問題的背景、數量關系、圖形特征，或使“數”的問題借助于“形”去觀察；或將“形”的問題借助于“數”去思考，這種解決問題的思想稱為數形結合思想。數形結合是重要的數學思想方法。把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而達到優化解題的目的。

【關鍵詞】數形結合 由數到形 由形到數

著名數學家蘇步青說過：“看書要看到底，書要看透，要看到書背后的東西。”這背后的東西，在數學教材中就是數學思想方法。教師在教學中不僅要抓實數學知識這根教學明線，更應抓住數學思想方法這根暗線，為學生良好數學素養的養成打好基礎。

“數”準確而抽象，“形”形象而直觀，各有特點。數形結合的實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形聯系起來，使抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，揭示數和形之間的內在聯系，實現抽象概念和具體形象、表象之間的轉化。數形結合有利于兒童更好地認識數學，訓練思維，培養良好的數學素養。

一、由數到形，有效教學

由數到形，突出圖的形象思維功能，將抽象的數學概念、運算性質和數量關系形象化、簡約化，給學生以直觀感，讓學生從已有的知識經驗出發，親歷將實際問題抽象成數學模型的過程，讓學生進行充分的感知，在形成表象的基礎上進行想象、聯想，達到最終理解數學本質、解決數學問題、形成數學思想的目的。由數到形可以使數學教學化繁為簡，化隱為顯，化難為易。

1.以形算數，深入理解算理。

抽象的計算和學生的形象思維是一對矛盾，解決這一對矛盾，需要用數形結合來調和。在算理直觀與算法抽象之間應該架設一座橋梁，鋪設一條道路，讓學生在充分體驗中逐步完成動作思維—形象思維—抽象思維的發展過程。

以一年級下學期的《兩位數加兩位數進位加》為例，例題通過情境圖得到算式：34+16，我首先請學生用小棒擺一擺，看看結果是多少。學生操作后反饋（如下圖）：

操作的目的是為了更好地理解算理，因此在反饋時，老師應結合操作，突出計算的重難點，有效組織，精心設問。結合小棒圖，老師可以質疑以下幾個問題：

（1）擺好3捆帶4根后，再擺1捆帶6根時需要注意什么？（整捆和整捆對齊，單根和單根對齊，這與豎式中的數位對齊對應）

（2）原來有幾捆小棒？（4捆）為什么現在是5捆？多出的1捆是哪兒來的？（與計算過程對應）

（3）單根的小棒還有嗎？（與個位上寫0占位對應）

有了這3個簡單的質疑，就使得操作具有明確的目的性，與后面的豎式計算遙相呼應。

在教學34+16的豎式時，老師仍然應結合小棒圖來理解算法。

質疑：（1）個位上4+6滿十了，該怎么辦？個位上應寫幾？（結合圖，明確一個也沒有寫0占位）

（2）十位上應該得幾？十位上原來是3+1=4，再加的1是從哪兒來的？（看圖說明）

從圖到算式，再從算式到圖，針對重難點，精心設計，學生對算理的掌握就會水到渠成。

2.以形構數，形象建立概念。

數學概念具有較強的邏輯性和抽象性，運用圖形提供一定的數學問題情景，通過對圖形中的情景分析，將枯燥的數學概念形象化、情境化，再抽象出數學概念的內涵和外延，可以使學生對概念的理解更深入、更透徹。

如：三年級下冊《認識分數》，教材中安排讓學生先初步認識一個整體的幾分之一。在教學中我緊密聯系例題，利用猴子分桃圖，讓學生在分一分、比一比的過程中，逐步形成幾分之一的概念。

環節一：

1.出示：

學生分一分，得到的一份是這盤桃的 。

2.還是這盤桃，分一分，得到的一份是這盤桃的 。

3.出示：

對比：同樣是4個桃，為什么第一次的一份是它的 ，而第二次的一份是它的 ？

環節二：

1.分一分，得到的一份是這盤桃的 。

2.出示：

對比：6個桃和4個桃，個數不同，為什么每一份都是它的 ？

環節三：

8個桃，如果你是猴王，你準備平均分給幾個小猴，每個小猴分得這盤桃的幾分之一？

有了直觀的圖片作為理解的支撐，學生能在操作和觀察中，有效地認識一個整體的幾分之一。

3.以形思數，輕松拓展思路。

運用數形結合思想有時能使數量之間的內在聯系變得比較直觀，成為解決問題的有效方法之一。在分析問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，根據問題的具體情形，把圖形的問題轉化為數量關系的問題，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。

六年級上冊《解決問題的策略》中有這樣一道題目：在2個同樣的大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是100個。每個大盒比小盒多裝8個，每個大盒和小盒各裝多少個？在教學中我發現，學生知道要把大盒換成小盒，或者把小盒換成大盒，因為在替換過程中，球的總數發生了變化，是比100多還是比100少呢？一些學生犯了愁。教材在揭示全部替換成小盒的策略時，用了下面的圖：

我結合教學難點，把書上的圖作了進一步的改良：

學生看圖后不難發現，替換過程中盒子總數沒有變化，但100個球對應的是7個小盒加16個球，那么7個小盒里球的總數就是100-8×2。

有了這樣的示意圖，學生在自主完成全部替換成大盒時，也學會用這樣的畫圖方法，找準替換后的總數，輕松地解決問題。

二、由數到形，發展思維

由數到形，由抽象到具體，是訓練思維、提升數學學習能力的有效途徑。

1.以數想形，融會貫通知識點。

一些概念和法則，在通過直觀認識建立起來以后，如果再逆向運用于直觀圖形中解決問題，可以幫助我們檢驗學生的學習情況，有助于學生對知識點的深入理解和掌握。

如六年級上冊《認識比》這個單元，有這樣一道題：畫一個長方形，周長是16厘米，長和寬的比是5∶3。學生在畫圖時往往忽略長方形邊長和周長的關系，把長畫成10厘米，寬畫成6厘米。正是因為數和形沒有做到一一對應，才導致了錯誤的出現。我們在教學中可以利用學生畫出的錯誤圖形，組織學生驗證對錯，尋找錯因，讓學生明白這里（5+3）份，對應的不是周長，而是周長的一半。學生在這一出錯、糾錯的過程中對數與圖形有了感性認識，因而也掌握了解決這類問題的基本策略。

2.以數研形，學會研究知識點。

在教學中有這樣一種現象，有些圖形的計算公式課前學生就知道。為了順應教學，老師在課上不得不“壓”著學生，漠視學生學習的起點，把學生當成白紙，課堂上熱熱鬧鬧，看似以生為本，實質是以師、以書為本。其實在日常教學中不難發現，雖然大多數學生會公式，但是對于公式的由來和算理并不了解，教學中應抓住學生這個學習的盲區，有針對性地設計教學，以此提高課堂教學效率，激發學生學習的熱情。

有位教師在執教《長方形和正方形的面積》時，就較好地運用了數形結合的思想，由公式直接呈現開始，步步深入研究公式的由來，剝繭抽絲，課堂教學生動有趣。

課前老師發了一份研究單，讓學生課前根據要求有目的地研究，內容如下：

課上，老師拋出課題后，直接問：“有誰知道長方形的面積怎樣計算？正方形呢？”學生個個躍躍欲試地要發言。老師接著質疑：“為什么用‘長×寬’就能得到長方形的面積，用‘邊長×邊長’就能得到正方形的面積呢？答案就在你們的研究單里！”課堂上師生圍繞研究單開展小組匯報、操作，再質疑，交流，逐步得到計算公式的由來。

從課堂反饋看，課前的初步研究使得學生研究積極性高漲。在這一溯本求源的學習過程中，學生不僅知道了公式的由來，更深入理解了公式的含義，同時也培養了他們的研究意識，增強了學習能力。

3.以數造形，有效整合知識點。

在教學完規律、概念、運算方法后，我們要把這些知識點進行有效的梳理和整合，分散著的知識點，學生不方便系統理解和掌握，而“以數造形”可以有效直觀地解決這個問題。

在五年級教學完分數的概念后，可以把三年級學習的分數概念和當下學的知識進行有效整合。比如可以出示分數，讓學生用畫圖的方式來表示它，有的學生把單位“1”看作一個整體來畫，有的學生把單位“1”看作一個物體或計量單位來畫……學生的表現形式多樣，通過交流討論，可以幫助他們進一步理解分數的含義，靈活應用分數。

數學新課程改革呼喚我們每位教師要從根本上改變教學方法，強化數學思想方法的教與學，培養學生運用數學思想方法的意識和能力，鍛煉學生的思維品質，“數”和“形”作為數學知識表現的兩種形式，如果能在我們的課堂教學中巧妙結合，必然會使課堂教學“增值”，切實提高教學的有效性。

【參考文獻】

[1]劉娟娟.有效教學——小學數學中的問題與對策[M].長春：東北師范大學出版社，2010.

[2]謝明初.數學教育中的建構主義：一個哲學的審視[M].上海：華東師范大學出版社，2007.

（作者單位：南京市力學小學）